OU

On sait que, lorsque cette équation a des racines égales, les doux sphères (S) , (S') sont tangentes; la condition de contact est donc

Si Ton tait Iw,' = 2m',% cette équation se décompose dans les deux conditions (22) déjà trouvées.

Si l'équation en X est identique, les deux sphères se réduisent à des points, et ces points sont sur une droite allant rencontrcT le cercle de Tinfini.

On sait que, étant données des sphères passant par un même cercle, quatre de ces sphères donnent lieu à un rapport anharmonique, comme quatre plans, et ce rapport anharmoniquc e-st égal à celui des centres de ces sphères, situés en ligne droite. Il est clair que le rapport anharmoiiique de quatre sphères, déduites de l'équation (28) en donnant à X quatre valeurs distinctes, sera le même que celui de ces valeurs de X.

Examinons maintenant une surface quelconque représentée par l'équation homogène

que, pour abréger, nous écrirons L'équation

où les Xi désignent les coordonnées d'un point M de la surface, et X, les coordonnées c ,urantes, représente, quand on y fait

I)K (OUUBKS F.T I>E SURKACKS Al.Gftm'.IQl.KS. !2(;()

varier A, une suite de splières tangentes en M à la surtVice. Si Ton dispose de À de telle manière que

ra^--)-'

alors réquation (33) représente un plan; c'est le plan tangent à la surface au point M .

Toute sphère

normale à la surface au point M, devra aussi être normale à toutes les sphères tangentes (33). On devra donc avoir, quel que soit a ,

c est-à-dire

Si Ton a, en outre,

l'équation (34) représentera un plan normal. Tous les plans normaux passent donc par la droite

Pour que le point (x,) soit un point singulier de la surface, ij faut que l'on ait, pour une valeur convenable de À,

(36) If;. + '■'-■ = »■

(') Celte notation abrégée indique qu'il faut égaler à zéro tous les déterminants formés avec les quatre lignes qu'on obtient en donnant à / quatre valeurs quelconques, prises dans la suite 1,2,3,4,5,