SUR UNR CLASSE REMARQUABLE
Pour que deux surfaces, représentées par les équations homogènes
soient orthogonales, il faut et il suffit que l'on ait, pour leurs points communs,
(37, If^^O.
Lia Xi à Xi
Cette équation a déjà été donnée dans le texte (art. 49). Enfin, étant donnée une sphère par Féquation
toute sphère concentrique aura pour équation
Par exemple, si l'on demande l'équation générale des sphères ayant pour centre un point {Xi) , cette équation sera
(39) ZI*'+r;j'''='*-
Ces dernières propositions se démontrent sans difficulté au moyen des formules générales déjà données. L'équation de la sphère réduite au plan de l'infini est
Vï.
Dans les calculs précédents, nous avons pris pour base de notre système cinq sphères deux à deux orthogonales, mais on peut aussi prendre cinq sphères quelconques, non orthogonales à une même sphère.
Soient en effet (S,) les cinq sphères orthogonales, et a?,- les coordonnées définies plus haut d'un point quelconque.
Effectuons la substitution linéaire
(41) œ, = '^may^, (z, /^=r i ,2,3 , 4,5) ;
on tirera de ces équations
(42) ij,= 2^P,uX, .
Les équations
Vi -^ 0
représentent donc cinq sphères quelconques, que nous appellerons (S',), et qui ne sont pas orthogonales à une même sphère, puisqu'il n'y a entre les ^,- aucune relation linéaire identique.
La signification géométrique des nouvelles variables y,- est donc la suivante. Elles sont proportionnelles aux puissances du point par rapport aux sphères (S,) multipliées par des facteurs constants.
De l'identité
on déduira par la substitution une relation (43) 9{yi) = Q
quadratique et homogène, et contenant en général les rectangles des variables ?/,• . Donc
Il existe^ entre les puissances d'un point par rapport à cinq sphères non orthogonales à une même sphère^ une relation quadratique et homogène, qui contient en général les rectangles des variables.
Nous n'étudierons pas d'une manière détaillée le nouveau système de coordonnées auquel nous sommes conduit ici. Les formules qui se rapportent à ce système se déduiront sans peine des précédentes, si l'on applique les notions relatives aux invariants et covariants des formes quadratiques homogènes. Nous nous bornerons à indiquer la condition pour que deux sphères soient orthogonales.
Soient
îl^ SUR []\E CLASSR RlîMAftQUAnLK
les équations des deux sphères et désignons par 'f,(?/,) la
forme adjointe de ^f (y.) . La condition d'orthogonalité pourra
s'écrire
, f? (»,(«?.■) , do,
On déduit notamment de cette dernière équation la proposition suivante ".
Pour que les cinq sphères qui composent la base du système soient deux à deux orthogonales, il faut et il suffit que la relation identique (43) ne contienne pas les rectangles des variables (^).
(') On pourra consulter sur celle rolalion un Mémoire de l'auleur, insén'" dans les Annales de l'École Normale supérieure, î» série, t. I, u" 0.
DK COl'HRRS ET DE Sl'HFArES Al.lîÉBRIQUES, 273
Application du système de coordonnées considéré dans la Note précédente à la théorie des cyclides.
Nous avons vu (art. Ai) que l'équation d'une cyclide peut se mettre sous la l'orme
A {œ- + îf + zy + ?<, t{x' + ?/- + 2") + n,t' = 0 ,
où X ,tj , z , t désignent les coordonnées homogènes ordinaires d'un point, et u^ ,u^ des polynômes du premier et du second degré. Si nous introduisons les cinq quantités (S,), définies par les équations suivantes,
l'équation de la cyclide se transformera en une équation homogène et du second degré par rapport à ces cinq quantités (Si). D'ailleurs, celles-ci sont liées, d'après la Note précédente, par une équation identique, qui est ici
(4) s,s,—è:—s.^—Sf = fis>i) = o .
Cela posé, désignons, pour abréger, par
l'équation homogène de la cyclide. D'après des principes bien connus, les deux fonctions f (S,) , 'f (S,) pourront être ramenées par une substitution linéaire à ne contenir que les carrés des variables. L'identité (1) prendra la forme
274 sun UNE classk rkmarquablu
et les équations
représenteront, par conséquent, des sphères orthogonales. L'équation de la cyolide deviendra
(4) yAiXi' =
Nous retrouvons le résultat établi (art, 47),
Il est vrai que, étant données deux formes quadratiques, on ne peut pas toujours les ramener à des sommes de carrés ; mais ces cas d'exception peuvent se déduire du cas général par la méthode des limites.
Examinons, par exemple, le premier de ces cas, qui comprend tous les autres, et qui correspond à l'hypothèse où les sphères
se rapprochent indéfiniment, et viennent se confondre. Alors les équations (3) et (4') prennent les formes
Xi~ + x^^ + x^ + x,^ -h x,^x' i = 0 ,
Au moyen de la première de ces formules, qui est une identité, on peut éliminer x^x\ de la seconde. L'équation de la cyclide sera donc de la forme
(5) A,-.T,* + Kx.^ + \,xi -h k,xC' ~ 0 .
Mais la sphère {x^ , étant orthogonale à la sphère infiniment voisine {x,^ , devra se réduire à un point, et comme elle est aussi orthogonale à (S,) , (S,) , (Sj) , le point auquel elle se réduit sera à l'intersection de ces trois dernières sphères. L'équation (5) représente donc une cyclide, qu'on pourra transformer par une inversion en une quadrique. Il suffira de mettre le piMe de l'inversion au point
UE r.OURIiES F,T 1»F. SlIIil'Ar.l'S ALCl' uriquks. 275
lï.
Soit donf (6) -. ^A.-r,':
l'équation crime cyclide générale.
D'après la formule (33) de la Note précédente, les coordonnées 7»,- d'une sphère tangente au point a?, auront pour expression
où A a une valeur fixe, mais quelconque. Ces coordonnées devront, par conséquent, satisfaire aux deux relations
En éliminant À entre ces deux équations, on aurait la relation qui doit avoir lieu entre les quantités m,- , pour que la sphère qu'elles déterminent soit tangente à la cyclide. On obtiendra évidemment cette relation, en exprimant que la première des équations (8) a une racine double. Cette équation étant biquadratique, son discriminant sera du douzième ordre par rapport aux quantités m,- . Soit
(9) iF(?7?,) = 0
réquation qu'on obtient en l'égalant à zéro. Elle est homogène et du douzième ordre par rapport aux quantités ïw, ; on en déduit les conséquences suivantes.
Si l'on cherche combien on peut faire passer, par l'intersection de deux sphères données, de sphères tangentes à la cyclide, il faudra remplacer w,- par w, + Àw',, et l'on aura pour X une équation du douzième ordre.
Donc imr un cercle on peut mener douze sphères tangentes à la cyclide.
276 SUR UXK CLASSE REMARQUABLR
Si ce cercle devient une ligne droite, les sphères qui le contiennent sont des plans. Donc la cyclide est de la douzième classe.
Enfin, si les deux sphères données m,- , m',- sont concentriques, les sphères (m,- -f- Xm',) ont le même centre que les premières. Donc, dans une séi'ie de sphères concentriques, il y en a douze qui sont tangentes à la cyclide. En d'autres termes, à' un point on peut mener douze normales à la cyclide.
Toutes ces propositions, si 'différentes en apparence, sont ici des conséquences d'un principe unique.
Ajoutons que l'équation (9), en y regardant les m, comme les coordonnées d'un plan, est \ équation tangentielle de la surface. Cette équation est de la forme
Proposons-nous de rechercher, quand la sphère (m,) est quelconque, quelle est la signification géométrique des racines de l'équation
l -h Ai
Nous obtiendrons ainsi le résultat suivant. La sphère (mi) coupe la cyclide suivant une courbe située sur quatre cônes du second degré. La détermination de ces qîiatre cônes s'effectue par la résolution de l'équation précédente.
Soit, en effet,
(11) S = /niiSi = X' + y' + z--i =0
l'équation de la sphère sécante, écrite en coordonnées ordinaires. Pour tous les points de la cyclide situés sur cette
Ssplière, on pourra remplacer ;r,- = ^' par la fonction du premier
degré —-^ — =^^,-, ^t, si l'on effectue cette substitution à la
DE OOUUHES ET DE SUBFACES ALGÉDHIQUES. '277
fois dans l'équation de la eyclide et dans la relation identique entre les quantités a;.- , on aura les deux équations
;J2) yA,«,'rr:0, yc.;-:=0,
qui représentent la première une quadrique, la seconde la sphère sécante (S) . On a aussi l'identité
en remplaçant oCi par a,- dans Féquation de la sphère (S) .
Cherchons les cônes passant par l'intersection des deux quadriques (12) . Pour cela, il faudra exprimer que l'équation
(Ai + /)yr = 0
représente un cône, en tenant compte de la relation identique (13) . On obtient ainsi, sans difficulté particulière, l'équation
et les coordonnées du sommet du cône ont pour valeur
mi
La proposition que nous avions en vue est donc démontrée, et l'on voit bien pourquoi une racine double de l'équation (14) correspond à une sphère tangente. Si deux cônes viennent se confondre, la courbe d'intersection de la sphère et de la eyclide aura un point double à leur sommet commun, qui sera le point de contact de la sphère avec la eyclide.
La méthode que nous venons de suivre fournit sans difficulté les sections circulaires des cyclides. Cherchons, en effet, les sphères doublement tangentes; il faudra que l'un des quatre cônes déterminés par l'équation (14) se réduise à deux plans,
27b ^ SUR UNE CLASSE REMARQUABLE
et pour cela il est indispensable que l'une des coordonnées du sommet, a, , par exemple, devienne indéterminée. Soit
comme À = — Ai doit être racine double, on aura, en exprimant ce fait,
Si, au lieu de a^ , on prenait a, , aj , . . . , on aurait bien les cinq séries de sphères doublement tangentes. Interprétons les équations (15).
Le première de ces équations indique que les sphères de la série sont toutes orthogonales à la sphère (S,) .
D'ailleurs, si l'on appelle S,- la puissance du centre de l'une des- sphères par rapport à la sphère (S,) , on a d'après la formule (9) de la Note précédente,
et par suite
En substituant ces valeurs dans la deuxième des équations (15), on obtient
Cette équation du lieu des centres est bien du second degré, et elle représente une surface conjuguée par rapport au tétraèdre formé des centres des sphères (S,) , . . . , (S^) .
On retrouve donc la génération des cyclides due à M. Moutard. Nous n'insisterons pas sur les démonstrations très simples qu'on pourrait donner ici des relations entre les quadriques, à l'aide du système de coordonnées que nous avons employé.
Dlî COUUBES ET DE SUK1'\4CES ALGÉBRIQUES. !27'J
Nous avons vu que la condition de contact d'une sphère et de la cyclide s'obtient en égalant à zéro le discriminant de l'équation
^ 'iiii"
A, + du 4^ ordre en À. Ce discriminant est de la forme
où I et J sont des fonctions, du A" et du 6^ degré respectivement, des quantités m,. On peut se demander quelle est la signification géométrique des équations
lr=0 ou J=rrO.
Pour répondre à cette question, nous rappellerons le théorème suivant, dû à M. Cremona (^).
I Si par deux points d'une cyclique (et en général d'une biquadratique gauche) on mène des plans tangents à la cychque, ou, si elle est plane, des cercles tangents, le rapport anharmonique des quatre plans ou des quatre cercles ainsi obtenus est constant.
Cette valeur constante est précisément le rapport anharmonique des racines de l'équation précédente du 4^ degré.
Quand
cette valeur est égale à une racine cubique imaginaire de l'unité; les différents rapports anharmoniques qu'on peut former avec les quatre racines sont égaux. Nous dirons avec M. Cremona que la courbe est équiharmonique.
(') Cremona : Mémoire de géométrie pure, sur les surfaces du 3* ordre. Journal de Borchardt, t. LXVIII, p. 119.
