SUR UNK CLASSE REMARQUABLE

Ainsi, les sphères dont les coordonnées satisfont à Téquation

coupent la surface suivant des cyclides équiharmoniques.

Les quatre cercles ou plans sont, au contraire, en rapport harmonique, si les coordonnées de la sphère satisfont à l'équation

Les équations (17) et (18) étant des ordres 4 et 6, les plans qui satisfont à ces équations enveloppent des surfaces de la ¥ et de la 6® classe respectivement. Nous avons donc les théorèmes suivants :

L'enveloppe des plans coupant une cyclide suivant des courhes équiharmoniques est une surface de la 4^ classe.

L'enveloppe des plans coupant suivant des courhes harmoniques est de la 6^ classe.

Ces propositions, qui s'appliquent à toutes les surfaces du 4^ ordre à conique double, sont l'extension des théorèmes de M. Cremona relatifs aux surfaces du 3^ ordre ('^).

Plus généralement l'équation

(19) I^— KJ2:=0

convient à toutes les sphères coupant la cyclide suivant des courbes de même rapport anharmonique. Celles de ces sphères qui se réduiront à des plans envelopperont une surface de la 12^ classe.

Étant donnée la cyclide

(M Journal (le BorchanlL l. LXVllI, ii. GX.

nous avons vu que l'équation générale des sphères tangentes à la cyclide au point (Xf) est la suivante,

/ (A,--f-ÀjXf*',-=:0 .

Si l'on donne à / les six valeurs

on obtient successivement une sphère réduite au point de contact (Xi) et les cinq sphères doublement tangentes à la surface ayant un de leurs points de contact en (a^,) . Les rapports anharmoniques de ces cinq sphères ou, ce qui est la même chose, de leurs centres disposés sur la normale au point (Xi) seront les mêmes que ceux des six nombres précédents, c'est-à-dire seront constants. Donc

Une normale quelconque à la cyclide rencontre les cinq déférentes en cinq points ^ qui sont les centres de sphères doublement tangentes à la cyclide et ayant un de leurs points de contact au pied de la normale. Ces cinq points et le pied de la normale déterminent sur cette droite une division honiographique à nne division fixe; en d'autres termes, k rapport anharmonique de quatre quelconques de ces cinq points demeure constant (^).

La proposition précédente est la généralisation d'un théorème important, relatif aux normales des quadriques qui sont divisées, comme on sait, par les plans principaux de la surface et par leur pied en segments conservant des rappoits invariables. Nous allons compléter cette analogie en cherchant, dans le cas des cyclides, le lieu des points qui forment sur chaque normale, avec trois quelconques des six précédents, un rapport anharmonique constant. Cela revient à chercher le lieu des centres des sphères tangentes, correspondantes à une même valeur de / . Nous dirons que toutes ces sphères

(') Voir un Mémoire de rauleur, Annales de l'Ecole Normale supérieure, t. I, 2" série.

sont des sphères tangentes de même rapport anharmonique. Elles ^ se représenteront dans les Notes suivantes. Leurs coordonnées

satisfont évidemment aux deux équations

Si l'on désigne les coordonnées de leur centre par a;, , on aura, en vertu de la formule (39) de la Note précédente,

nii = Xi -\- — '

et il faudra, pour obtenir le lieu des centres, éliminer K entre les deux équations

Posons

Ai + /

'^' ^ro^-^lA

les équations (22) pourront être remplacées par le système suivant

et, en éliminant K, on aura

(24)- {ry-i>.'y=:{of'-f.-)(f^'-^n ,

OU encore

(25) (2^/'..^'-,Lo')'-:=4(f-v-^)(r'-v'f).

Cette équation est du 4® ordre par rapport aux quantités Xi', mais, comme elle ne dépend en réalité que des différences

Rj R, R,Rj

la surface qu'elle représente sera en général du 4® ordre. Elle aura d'ailleurs, d'après l'équation (24), une conique double, représentée par les équations

et enfin, d'après l'identité

elle se réduira, pour /. — — A., à une quadrique double. En effet f^ — 0:6 deviendra nul, et l'équation (25) prendra la forme

{L A,Aj \

Cette quadrique est une des déférentes de la cyclide.

Nous retrouverons la surface précédente dans la discussion du problème des normales.

Nous venons de considérer des sphères tangentes, et de définir ce que nous appelons les sphères de même rapport anharmonique. Nous sommes ainsi amenés à étudier tous les plans tangents de même rapport anharmonique, c'est-à-dire correspondants à une même valeur de / .

Soient w.- les coordonnées de ces plans tangents; elles

384 suK uinl; classe hkmahqlable

satisfei'ont aux deux équations

OÙ À reste constant; et comme, dans le système actuel de coordonnées appliqué au plan, les 7?^, sont simplement des coordonnées tangentielles ordinaires (Note X), nous voyons que

Les plans tangents de même rapport anharmonique enveloppent une développable de 4^' classe; circonscrite aux deux quadriques (26).

Nous allons compléter ce théorème en prouvant que les points de contact de ces plans tangents, correspondants à une même valeur de X, sont sur une courbe sphérique de la cyclide; que, si Ton fait varier À, les différentes courbes ainsi obtenues sont sur des sphères concentriques; et, enfin, que ces sections sphériques sont les seules suivant lesquelles une quadrique puisse être inscrite à la cyclide.

Soit, en effet,

réquation d'une sphère tangente, de rapport anharmonique a. Pour qu'elle se réduise à un plan, il faut que l'on ait

c'est- à-dii'e que le point de contact soit sur la sphère représentée par réquation précédente. Ainsi, le lieu des points de contact des plans correspondants à une même valeur de X est bien une courbe sphérique.

Si, dans l'équation (27), on fait varier X, on obtient une série de sphères concentriques. Il reste à démontrer que les sections de la cyclide par ces sphères sont les seules courbes suivant lesquelles une quadrique puisse être inscrite à la cyclide.

Soit, en effet,

=2,^iiiXi

DE COimBF.S F/r DR SUIlFAf.r.S AI.CÉFtP.lQlIF.S. "IH")

une sphère séeante quelconque, et posons

Pour tous les points d'intersection de (S) et de la cyclide, on peut remplacer la fonction du second degré a?,- par la suivante,