S ' BR

qui est du premier degré par rapport aux coordonnées ordinaires, et réquation

(28) 2(A, + >,)(r<-A) = fl

représente, quand on y fait varier À, toutes les quadriques passant par Tintersection de la cyclide et de (S). Développons cette équation; nous aurons

ou

Comme la cyclide a pour équation

on voit que la quadrique (28) coupe la cyclide suivant deux courbes distinctes, situées sur les sphères

Pour que la quadrique soit inscrite à la cyclide, il faut que ces deux sphères se confondent, c'est-à-dire que Ton ait

'^8(5 SUIS IINK CLASSE nEMARQUABM-:

On obtient alors

et l'équation (29) se réduit à la suivante,

(31) yA,.T,'-f = 0,

mai n

qui montre que la quadrique est inscrite à la cyclide proposée.

L'hypothèse B=-0, qui met les, raisonnements en défaut, correspond aux cyclides du S'' ordre, qui n'admettent pas de quadriques inscrites.

Ainsi les flans tangents de même rapport anharmonique formeront une suite de développables de 4^ classe^ circonscrites à la cyclide suivant des courbes sphériques du 4^ ordre. Les tangentes doubles de ces développables seront les seules droites par lesqtielles on pourra mener à la cyclide deux plans tangents distincts, de même rapport anharmonique.

DE COURBKS ET DE SUFlFAdES AI,GI' BRIQUES. 5J87

!%ote XTI.

Sur le problème des narmales aux cyclides.

Supposons que l'on se propose de mener d'un point des normales à une surface algébrique. Le problème, de quelque manière qu'on le traite, se ramène en définitive à la résolution d'une équation algébrique, contenant une seule inconnues. Le degré de cette équation donne le nombre des normales qu'on peut mener d'un point à une surface algébrique. Mais la discussion du problème est plus ou moins simple, suivant l'arbitraire qu'on a choisie.

Supposons qu'on se propose de chercher les points de l'espace pour lesquels deux normales menées à la surface se confondent. Si l'on exprime que l'équation en u a une racine double, on obtiendra un lieu géométrique, plus général que celui que l'on demande, et qui est la surface des centres de courbure.

Choisissons pour inconnue, par exemple, le carré de la distance du point d'où l'on mène des normales, au pied de chaque normale. Il est clair que, si l'on prend un point A sur le lieu des centres des sphères doublement tangentes à la surface, il y aura une sphère ayant son centre en A et tangente en deux points a , a' à la surface. Les droites ka , ka' seront deux normales menées du point A , et correspondantes à une même valeur de u. L'équation en w aura donc une racine double, sans que les deux normales menées du point A et correspondantes à cette racine double soient confondues.

Il en sera de même si l'on prend toute autre inconnue, l'abscisse, par exemple, du pied de la normale; car, si le

:2H8 SUR UNK CLASSR HIÎMAHQLABLE

point A se trouve sur la surface, lieu des points d'où Ton peut mener deux normales dont les pieds aient même abscisse, il est clair qu'on aura pour Tabscisse une racine double à laquelle correspondront deux normales différentes.

On voit donc que, de quelque manière qu'on aborde le problème, il sera bien difficile de ne pas avoir à examiner et à rejeter des solutions étrangères, dépendant uniquement du choix de l'inconnue et variant avec elle. On peut ajouter que la même normale peut correspondre à deux valeurs distinctes de l'inconnue. C'est ce qui explique les grandes difficultés qu'offre l'étude du problème des normales. Ces difficultés ont été surmontées d'une manière complète dans le beau Mémoire de M. Glebsch relatif aux surfaces quadriques.

Le problème des normales aux cyclides est beaucoup plus compliqué que le problème analogue relatif aux surfaces du second ordre. Il est d'ailleurs d'une moindre importance; aussi mecontenterai-jed'en indiquer la solution, sans examiner tous les cas particuliers.

On a déjà vu (art. 60) que la cyclide a trente normales doubles, qui sont les normales abaissées des centres des cinq sphères directrices sur les déférentes correspondantes.

On a vu aussi, dans la Note précédente, que d'un point on peut mener douze normiles à la cyclide. Yoici comment on peut former l'équation dont d. 'pendent ces douze normales.

Soit

(1) ^{nu) = 0

la condition de contact déjà trouvée entre une sphère et la cyclide. Si les coordonnées du centre sont a?,-, on aura

(2) ' ^ mi — lo['i+~ >

et, en portant ces valeurs dans l'équation (1), l'équation en fera connaître les différentes sphères ayant pour centre le

IJK COURBES ET UE SUKEACES ALGÉBRIQUES. 289

point (Xi) , et tangentes à la cyclide, c'est-à-dire les normales menées du point {x,) . Mais il est préférable de suivre la méthode suivante. •

Nous avons vu, dans la Note précédente, que la condition de contact s'obtient en éliminant À entre deux équations

Là >~ -■)- A,-

Cela posé, soient deux sphères données (m,) , (m',) , et cherchons combien on peut faire passer par leur intersection de sphères tangentes à la cyclide. 11 suffira ensuite de supposer concentriques les deux sphères données pour obtenir la solution de notre problème particulier.

Toute sphère passant par l'intersection des deux proposées a pour coordonnées wi,- + A,m',-, et Ton aura, pour déterminer k et X , les deux équations

^ ' U l + Ai '

(6) yimr±Jnv^^

Posons

^ PO :=::(> -h A,) (-A + A,) ... O.+ A,),

). + Ai

les équations (5) et (6) seront équivalentes aux suivantes,

La première de ces équations est du 4-® degré en À , la seconde est la dérivée de la première par rapport à X .

Notre première méthode pour la recherche des normales revient à l'élimination de X entre ces deux équations, élimination qui se fait en exprimant que l'équation (8) en X a une racine double; mais nous aurons avantage à éliminer A- au lieu de X . On est ainsi conduit à l'équation finale

(10) {^.^^' —u'Y^ki'^r -fo'){f:i' -^n ,

qui est du douzième ordre en X, et qui peut être mise, comme on sait, sous la forme équivalente

(H) se/-/"' — ?f — ■^/)^=r:4(f — o-i.)(/''^— o'-XO-

Il y a quelques remarques à présenter sur cette équation. On a d'abord identiquement

et, si l'on introduit le polynôme du troisième degré suivant

(Wim'j — Wjni'iY

l'identité (12) peut s'écrire

et l'on déduit de là, en prenant les dérivées des deux membres,

On peut donc donner à l'équation (11) en X la forme nouvelle

(14) {uF'-\-^'Ff=z^v,F{f"—'/4>').

Nous avons ainsi deux formes distinctes et également importantes de notre équation en X . On voit que cette équation est du 8® ordre par rapport aux quantités m,. , w,- , et il est clair que, si on la développait, elle ne dépendrait que des binômes w,m' — m^m',-. Elle est donc à la fois homogène et

du 4® ordre, soit par rapport aux m, , soit par rapport aux m'i . Nous allons chercher dans quel cas elle peut avoir une racine double.

Son discriminant, que nous appellerons A et qui est du 22® ordre par rapport aux coefficients, devra donc être du 88® ordre, soit par rapport aux w,- , soit par rapport aux m',- . Nous allons chercher les facteurs de ce discriminant, et déterminer leurs degrés de multiplicité.

Si l'on désigne, pour abréger, par

le premier membre de l'équation (8), notre équation en À est le résultat de l'élimination de k entre les deux suivantes

Considérons les deux valeurs A;^ et ki de k, tirées de la seconde équation, comme des fonctions de X déterminées par cette équation^ et portons-les dans la première. Le résultat de l'élimination de k prend ainsi la forme

Pour qu'il y ait une racine double de l'équation en X, il faut que la dérivée du premier membre de l'équation (15) par rapport à X soit nulle, ce qui donne

Mais un des deux facteurs du premier membre de l'équation (15) est nul. On a, par exemple,

L'équation (16) se réduit alors à

<if{l,k^)d<f>{l,k,) = 0,

et, en tenant compte de l'équation

qui définit A;,, comme fonction de X , il reste

On est ainsi conduit aux trois hypothèses suivantes :

c'est-à-dire, les deux équations (8) et (9) en k doivent avoir deux racines communes ou la seconde une racine double A'a = A'i . Cette seconde supposition doit être rejetée, car elle

rendrait infinie la dérivée -y-" , et F examen de la première nous

conduit au résultat suivant :

Le discriminant cherché A contient un premier facteur, qui est le résultat de l'élimination de X entre les trois équations

Désignons par M ce premier facteur. Pour l'obtenir, multiplions chacune des équations (18) successivement par i , À , À" ; nous obtiendrons ainsi 9 équations du 8® ordre au plus en À. En éliminant X par la méthode dialytique, nous aurons une résultante M du 18'^ ordre soit par rapport aux w,-, soit par rapport aux m'i , et du 36® ordre par rapport à ces deux séries de variables prises simultanément. Cette résultante M figure dans le discriminant cherché a , élevée au carré. (Nous indiquons plus loin la méthode générale au moyen de laquelle nous avons déterminé les puissances auxquelles doivent être élevés les différents facteurs de A.)

2° L'équation (17) sera aussi vérifiée dans Fhypothèse suivante :

âk,

c'est-à-dire si l'équation (8) en k a une racine double. Cela donne

OU, d'après les notations (13), L'équation (14) se réduit alors à

dl

Le discriminant A doit donc contenir comme facteur le discriminant de cyF, ce qu'il est d'ailleurs facile de reconnaître d'après la forme de l'équation (14).

Or, le discriminant de ctF se compose de trois parties : le discriminant de cj , qui est une constante; celui de F, que nous appellerons 1, et la résultante élevée au carré de o et de F.

F étant une fonction du 3*^ degré en À , son discriminant 1 sera du 8® ordre par rapport aux vw,- .

Quant à la résultante de r? et de F, elle se compose des cinq facteurs Q,- , qu'on obtient en portant dans F les racines de tô ,X=:: — A,-. On a

A,- Aj

J 3*^ Enfin, le discriminant de l'équation en X contient un dernier facteur, correspondant à l'hypothèse suivante, déduite de l'équation (17),

dk La dernière de ces équations peut être remplacée, en tirant -tt

de l'équation

par

Donc, notre dernier facteur correspond au cas où l'équa-

tion (8) en À a une racine triple, c'est-à-dire où la sphère correspondante a un contact stationnaire avec la surface. En appelant G ce dernier facteur, le discriminant cherché sera

18) M^GQ,^Q/Q3'Q,/Q/S=:A.

Il nous reste à déterminer le degré de G et aussi à indiquer comment on détermine l'exposant de chacun des facteurs du discriminant A. Commençons par G .

Exprimons que l'équation

Ai -h l

a une racine triple. Comme elle est du 4® degré en À , on aura les conditions cherchées en égalant à zéro les deux invariants I , J , ce qui donne

équations du 4^ et du 6® degré respectivement par rapport aux Mi .

Cela posé, pour avoir G , on remplacera dans ces équations nii par mi-\-km'i. On obtiendra deux équations en A;, l'une du 4^, l'autre du 6*^ degré, entre lesquelles il faudra éliminer k . Les coefficients étant homogènes par rapport aux w,- , m',- , et des degrés 4 et 6, G sera de l'ordre

par rapport à ces mêmes quantités. Il sera donc seulement de l'ordre 24 par rapport à chacune des séries de variables , par rapport aux m, par exemple; car, de même que A et tous les facteurs de A, G par la nature même de la question dépend uniquement des binômes ?«,m'j — m^m' i .

En réunissant tous les résultats trouvés, on voit bien que le discriminant (18) est, comme cela doit être, du 88® ordre par rapport aux m,-. Nous allons maintenant indiquer comment nous avons déterminé les degrés de multiplicité de ses différents facteurs,

A cet effet, nous exposerons d'abord une méthode générale qui permet de traiter, dans bien des cas, des questions de la nature de celle que nous avons à examiner ici.

Étant donnée l'équation

f{x ,y) = a,x'' -h a,x''-Uj -h a^w^'-^if -^ = 0 ,

on sait que le discriminant de cette équation est, à un facteur numérique près, égal à

(19) a,^''-^n{Xi—Xjy ,

les Xi désignant les racines de l'équation proposée. D'après cela, toutes les fois qu'un certain nombre d^ coefficients

(deux au moins) s'annuleront, l'équation aura une racine nulle multiple, et le discriminant s'annulera. Supposons, par exemple, que

"n 5 "n — 1 j (ln — 1 j ttn — Z ; • ■ •

contiennent en facteur des puissances

d'une quantité a . Le discriminant devra contenir une certaine puissance de a, que l'on déterminera comme il suit.

Lorsque a devient infiniment petit, plusieurs racines de l'équation sont aussi infiniment petites, et l'on sait, d'après la règle du parallélogramme de Newton, les développer en séries ordonnées suivant les puissances de a. Quant aux autres racines, elles demeurent finies et, en général, inégales. En substituant dans le discriminant (19) les expressions des racines infiniment petites, expressioiis qu'il suffit en général de limiter à leurs premiers termes, on verra quelle est la puissance de a qui se trouve en facteur.

Faisons d'abord une application de cette règle à la démonstration d'un théorème de Joachimsthal sur le discriminant. Supposons que l'on ait

(In = A k' , (In- 1 = B « .

Alors, pour a="0, deux racines deviennent nulles, et, pour a très petit, ces racines sont fournies par l'équation

qui donne