X-=::ka, oc^^^k'v., X — a?, =: (A' — k') a

Donc le discriminant contient a" en facteur. Or, si on l'écrit sous la forme

N étant formé des termes qui ne contiennent pas a^ , N devra être divisible par a", et par conséquent contenir a\i en facteur. Donc le discriminant est de la formée (^)

(20) Ma^ + M,a-„i.

Dans le cas où l'équation proposée aurait une racine multiple ajj différente de zéro, on serait ramené au cas précédent par la substitution x^x^ -\- x' .

Faisons l'application de la méthode précédente à l'étude de la question proposée. Le degré des facteurs Q,- résulte immédiatement du théorème de Joachimsthal. Cherchons le degré du facteur M , qui est la résultante des trois équations

B = '^f'—fy = 0 .

Si, pour une valeur de X , que nous pouvons supposer égale à zéro, on a

ArrrO,

l') Si l'on suppose que les termes

(In ,0,1 1 , Qn — z , • . .

soient en « des degrés

on arrive à cette proposition plus générale :

Si l'on considère, dans une équation, les p derniers termes comme étant des ordres p ,p — 1 , p — 2 , . . . , et les autres de l'ordre 0 , tous les termes du diycriminant sont au moins de l'ordre p {p — l).

en vertu de l' identité

on aura

?ûBo + '^ûC>0 0 5

Bo , Co , 'fo 5 ^0 désignant les termes constants des fonctions correspondantes. Ba , Co auront donc un facteur commun, que j'appelle a , et qui sera un facteur simple de la résultante,. L'équation (10) en X étant