A- = 4BC

on voit que son terme constant contiendra a* en facteur, et le coefficient précédent a . Donc le discriminant sera seulement divisible par a^ ; et comme a est un facteur simple de M , le discriminant, qui contient a au carré, doit aussi contenir le carré de la résultante M en facteur.

Nous allons faire l'application des résultats analytiques qui précèdent à deux problèmes de géométrie.

Le problème des normales menées d'un point à la cyclide est compris comme cas particulier dans celui que nous venons d'examiner. 11 suffit de supposer que les deux sphères m, , m',soient concentriques. Alors toutes les sphères w,- + km'i auront même centre que les deux premières, et la recherche de celles qui sont tangentes à la cyclide revient à la détermination des normales menées de leur centre commun à la surface. On peut encore procéder comme il suit.

Soient Xi les coordonnées du point M d'où l'on veut mener des normales, et prenons

Alors les sphères m, + km'i auront pour centre le point M . Les fonctions f ,f ,'^ auront ici pour expressions

X + A,et © (X) , ^^ (X) seront du 3^ degré seulement. L'équation (10),

demeurera du 12® degré. Si l'on y considère X comme fixe et les Xi comme variables, elle représente la surface du 4® ordre à conique double, étudiée dans la Note précédente, lieu des centres des sphères de même rapport anharmonique, tangentes à la cyclide.

La conique double de cette surface est définie par les équations

Nous allons maintenant indiquer la signification géométrique des diff'érents facteurs du discriminant.

Les Q,- , égalés à zéro, représentent les cinq surfaces déférentes de la cyclide.

En effet, pour chaque point M d'une déférente, on peut mener deux normales correspondantes à une même valeur de X , et dont les pieds sont les points de contact de la sphère de centre M doublement tangente à la surface. L'équation en X a donc une racine double.

2', égalé à zéro, représente l'enveloppe des quadriques homofocales aux cinq déférentes. Pour tout point M de (2), deux normales à la cyclide viennent se confondre avec la génératrice rectiligne de (2) passant en M, et qui, considérée comme normale, a son pied sur le centre de l'infini.

G, égalé à zéro, représente la surface des centres de cour-

bure. D'après les remarques que nous avons faites, G est du 24® ordre par rapport aux binômes

CCi Xj Oj — ^j

Rj R,- RiRj

qui sont des fonctions du premier degré des coordonnées ordinaires du point. Donc

La surface des centres de courbure est du 24^ ordre.

Enfin, le facteur M , qui est la résultante des équations

(24) )fy-^f' = 0,

[ oà' — ^o' =0 ,

se décompose ici de la manière suivante. Les fonctions f ei^ sont du 3^ degré. Si donc on a

les trois premiers membres des équations (24) se réduisent au 4® degré, et l'équation (23) en X s'abaissera du 12® au 8® degré. Elle aura quatre racines infinies. Donc le facteur

doit figurer dans le discriminant, et, en appliquant la méthode générale déjà indiquée, on trouve qu'il y est à la puissance sixième. On a donc ici

= Gl;)'"

et N = 0 représente le lieu des coniques doubles de toutes les surfaces représentées par l'équation (23), quand on y fait varier A .

Nous connaissons maintenant les différents lieux que doit occuper le point M pour que l'équation en X, qui détermine les normales menées de ce point, acquière une racine double.

Nos équations générales s'appliquent aussi à la discussion