SUR UNE CLASSE REMAKQUABLE

des plans tangents menés par une droite à la surface, et dans ce cas nos différents. facteurs du discriminant (18) reçoivent de nouvelles interprétations géométriques.

Supposons ici que les w,- , m\ soient les coordonnées de deux plans; alors les m^ -\~km'i seront les coordonnées d'un plan passant par l'intersection des deux premiers, et les calculs que nous avons faits donnent la solution du problème suivant : Mener à la cyclide un plan tangent par une adroite donnée (m,- , m',) . Voyons dans quels cas l'équation en X aura ici une racine double.

G = 0 exprime que la droite est tangente à la développable formée par les plans ayant un contact stationnaire avec la cyclide. Cette développable est donc de la 24^ classe.

Qi — 0 exprime que la droite est tangente du cône enveloppe des plans tangents doubles passant par le centre de la sphère (S,) .

2 = 0 est la condition de contact d'une droite et de la cyclide.

L'interprétation de l'équation

est un peu moins simple.

Quand une droite satisfera à cette équation, on pourra mener par elle deux plans tangents de même rapport anharmonique à la cyclide; elle sera donc une -tangente double de l'une des développables définies à la fin de la Note précédente, qui sont les enveloppes des plans tangents de la cyclide, ayant même rapport anharmonique (^).

(^) Il ne sera pas inutile de lever ici une objection qu'on pourrait adresser à notre méthode. Quand la droite rencontre une des seize droites 5 de la cyclide, le plan mené par les deux droites est un plan tangent double, d'une espèce particulière, et il doit être compté pour deux. Mais comme ce plan tangent double n'a pas le même rapport anharmonique pour ses deux points de contact, il sera donné par deux racines différentes, de notre équation en /. Voilà pourquoi nous ne le trouvons pas en exprimant que l'équation en )^ a deux racines éuales.

DE COUr.BES KT DE SURFACES ALGÉLiP.IQLES. 301

On voit par ces exemples que le problème général d'élimination résolu au commencement de cette Note conduit à un grand nombre de conséquences géométriques. Il donne la surface des centres ou la développée de la cyclide, la condition de contact d'une droite et de la surface, la développable formée par les plans tangents stationnaires, etc. Les méthodes que nous avons suivies nous paraissent d'ailleurs applicables à toute équation

qui serait d'un degré quelconque en A,- , au lieu d'être du second degré, comme dans l'exemple que nous avons traité, ou du premier degré, comme dans le problème des normales aux quadriques.

Proposons-nous maintenant de rechercher le nombre des normales à la cyclide contenues dans un plan quelconque. 11 est clair que cette question est comprise dans la suivante :

En combien de points une sphère est-elle normale à la cyclide?

Soit une sphère (vi,) . Les conditions pour qu'elle soit normale au point {x^} sont les suivantes (Note XI),

(25) 7 miAiSCi = 0, / nuxi = 0 .

Ces deux équations représentent un cercle qui coupe la cyclide aux points cherchés. Donc toute sphère est normale en quatre points . Si elle se réduit à un plan, celui-ci sera normal en quatre points, et par conséquent contiendra quatre normales de la cyclide. La géométrie conduit au même résultat.

Nous allons, en terminant, déterminer la classe de la surface des centres de courbure, A cet effet, étant donnée la sphère (m,), cherchons la condition pour qu'elle soit normale en deux points consécutifs. S'il en est ainsi, il est clair qu'elle coupera la cyclide tangentiellement à une ligne de courbure.

Pour que la condition précédente soit remplie, il faudra que

le cercle défini par les équations (25) soit tangent à la cyclide, et par conséquent qu'une sphère

passant par ce cercle soit tangente à la cyclide en un point (.37,) du cercle. On devra donc avoir, en identifiant l'équation précédente à celle d'une sphère tangente au point (.a?,) ,

Exprimons que le point {x,) se trouve à la fois sur le cercle et sur la cyclide; nous obtiendrons les équations suivantes,

Wi' {Ai + /3) = 0

Vm,^(A, + p) ^ îr2/(A,-4-|5)

La première détermine § . Éliminer À entre les deux autres, c'est exprimer que la seconde a une racine double. Or, cette seconde équation n'est que du 3^ degré en X, en vertu de la première. On sera donc conduit, en égalant son discriminant à zéro, à une relation

(27) *(wî..) = 0,

du 4® ordre par rapport aux coefficients de cette équation, c'est-à-dire, en remplaçant p par sa valeur, du 16^ ordre par rapport aux m,. .

Les plans satisfaisant à l'équation précédente sont évidemment les plans normaux principaux de la cyclide, et ils enveloppent la surface des centres. Celle-ci est donc de la seizième classe.

Cherchons, par exemple, les plans tangents à la surface des centres et passant par un des pôles principaux, le centre de (S,) par exemple. Pour ces plans on aura

Wi, =: 0 ;

a seconde des équations (26) devient

w/ (A,- + jS)

Si l'on prend a=^ — Aj , on est conduit à un cône de la quatrième classe à compter deux fois.

Si l'on choisit le second facteur,

Ai — À

on a à exprimer que l'équation précédente, du second degré en X , a une racine double, et l'on trouve ainsi un cône de la huitième classe. Les propriétés et la génération de ces deux cônes peuvent être trouvées par la géométrie.

1^'ote XI'B'I.

Sur les cyclides homofo cales et orthogonales et sur leur surface des centres

de courbure.

Nous avons vu dans le texte (art. Al) que Féquation

^ ^ U V. — Cf.-

OU

représente, quand on fait varier a , un système de cyclides orthogonales. On peut démontrer d'une manière simple que ces cyclides sont homofocales, et indiquer quelques propriétés de la développable qui leur sert d'enveloppe. Soit, en effet, une sphère

La condition pour qu'elle soit tangente à la cyclide est que l'équation en [j- ,

Ut— V.

ait une racine double. En posant u. = . , l'équation précédente prend la forme

^ ^ / + « Lil — Ui

et l'on a à exprimer qne cette équation a une racine double.

DR COI l!l!i;S ET DR SUKFACRS ALGÉBRIQURS. 305

Si la sphèrt'est de layon nul, Féquation précédente devient (*)

(8) y-BL=o.

Âj l — a,-

Le discriminant de cette équation est évidemment indépendant de a . Donc toutes les sphères de rayon nul ou tous les plans tangents au cercle de Vinfmi., qui sont tangents à uûe cijclide, sont aussi tangents à toutes les cycUdes orthogonales ; c. q. f. d.

En exprimant que l'équation (5) a une racine double, on trouvera une équation du 8'^ ordre par rapport aux quantités m,-. Donc, si l'on considère les ?w.- comme les coordonnées d'un point sphère placé sur la développable focale, on voit que cette surface est du 16® ordre, ce qui est d'accord avec un résultat de l'article 51 , relatif à son intersection avec une sphère. Au contraire, si Ton considère les m, comme les coordonnées d'un plan, qui sera alors un plan tangent de la développable, l'équation étant du 8® ordre, la développable sera de la huitième classe.

Nous savons d'ailleurs que cette surface a cinq lignes doubles du -4® ordre et une hgne octuple, le cercle de l'infini.

Les cyclides orthogonales donnent lieu à un système de coordonnées curvilignes analogue à celui des coordonnées elliptiques, et dont nous avons exposé quelques propriétés (art. 51).

On peut présenter ce système avec une plus grande généralité, et obtenir des résultats nouveaux, en raisonnant de la manière suivante.

Étant donnée une sphère (w.) , l'équation (4) aura, en général, quatre racines distinctes p , Pi , p» , ?3 ■

(*) L'hypothèse )i = a que nous négligeons conduirait aux points de la surface considérés comme sphères de rayon nul.

306 SUR l]NK CLASSE REMARQUABLE

On peut prendre ces quatre racines pour déterminer la sphère, et alors on aura l'identité

(a) - -^"'' + 'V JlL == M(>-p)a-p,)().-p,)(X-p3) ^

en posant

M est d'ailleurs un coefficient dont il est inutile de connaître la valeur, et qui multiplie X' après qu'on a chassé les dénominateurs dans le premier membre de l'équation (6).

Faisons, dans cette identité, successivement X=:a et X = fl,- ; nous aurons

(8) Wi

— cT(a)

(a.— a) u (ûi)

On obtient ainsi les coordonnées m,- de la sphère en fonction des racines ? , ?, , p^ , ps •

On voit, à cause des doubles signes qu'on peut donner à m,- , qu'il y a seize sphères correspondantes à un système de valeurs de p , Pi , Pî , p3 • Ces seize sphères forment un système anallagmatique par rapport aux cinq sphères (S,) .

Une fois connues les coordonnées m,- , on aura le centre et le rayon de la sphère par les formules (7) et (11) de la Note X.

Si X , Y , Z , T sont les coordonnées cartésiennes homogènes du centre, et R le rayon, ces formules nous donnent

^=Tt' '=1^' '=Vw'

VîWf

Zr;

Gela posé, si la sphère considérée devient tangente à la

cyclide, nous savons que deux racines de l'équation (4) deviennent égales. On aura donc, par exemple,

et par suite les formules (8) deviendront

yj^^ := («,)!/ M(a-^)(a-p.)

Lorsque, laissant p , o^ constants, on fait varier w, on a une suite de sphères , toutes tangentes au même point de la cyclide, celui qu'on obtient en faisant u:=a; car, pour cette valeur de w, le rayon devient nul, et la sphère tangente se réduit à son point de contact. On trouve ainsi, pour les coordonnées d'un point de la cyclide.

(11) Xi = I /M(a.— «)(a»— ^) jai—p^) .

Ce sont les formules du texte (art. 50). p et Pi sont donc les coordonnées curvilignes du point de contact de la sphère tangente à la cyclide, telles qu'elles ont été définies à l'article cité.

Si dans les formules (10) on donne à u une valeur constante h , on obtient, en faisant varier p , pi , toutes les sphères tangentes à la cyclide et de même rapport anharmonique. Les centres de ces sphères décrivent alors la surface du 4^ ordre considérée dans la Note XI.

Si, au lieu de donner à u une valeur constante, on lui donne la valeur p ou pi , trois racines de l'équation (4) deviennent égales, et la sphère est osculatrice à la cyclide. Ainsi, les équations

M{ai—pY{ai—pj

(13) y ^,..-M(«-ri. (.-,.)

r' {ai) {ai—(/)

déterminent toutes les sphères osculatrices, quand on donne à p et à Pj toutes les valeurs possibles. Les centres de ces sphères décrivent la développée de la cyclide, et l'on aura par conséquent les expressions en p et pj des coordonnées des points de cette surface, en substituant dans les formules (9) les valeurs de m^ tirées de l'équation (12).

Si les quatre valeurs p , p, , p^ , pa sont deux à deux égales, si l'on a, par exemple,

les formules deviendront

(14) { y^y)ia.-^^

Mais on sait que, si l'équation en A relative à deux quadriques a deux racines doubles, ces surfaces se coupent, en général, suivant une droite et une cubique gauche, qui rencontre la droite en deux points distincts. On voit donc que, dans l'hypothèse que nous examinons, la sphère coupera la cyclide suivant une droite et une cubique gauche.

A cause des différentes combinaisons de signes des radicaux dans les formules (14), on voit qu'il y a seize séries de sphères. Ces seize séries correspondent évidemment aux seize droites de la cyclide. On peut d'ailleurs trouver les équations de ces droites.

L'une des sphères aura pour équation

elle contiendra donc tous les points satisfaisant aux équations

Z/Krâ '{(/,) (»,—«) ' ^KîiT '(a,) («. — «)

«■^ l/raïrti) {a-i — V.)

DE COURBKS ET DE SURFACES ALGIÏBP.IQUES. 309

et ces équations représentent, par conséquent, la ligne droite commune à toutes les sphères.

Les quantités 7W,- étant, dans les formules (14), des fonctions linéaires de p pj et de p -+ pi , les centres des sphères de chaque série décriront un plan. Ce résultat est évident par la géométrie. Car soit d une droite de la cyclide, qui rencontre le cercle de rinfmi. Toute sphère contenant cette droite aura son centre dans le plan, tangent au cercle de l'infini mené par cette droite.

Enfin, si les quatre racines p deviennent égales, on a

|/nj '(«;)(«,- — «)

Les sphères correspondantes ont un contact plus intime avec la surface que les sphères osculatrices ordinaires; elles coupent la cyclide suivant une de ses droites d et suivant une cubique gauche tangente à la droite. Les centres de ces sphères décrivent des coniques (Q) , situées dans les seize plans des centres déjà définis, et ces coniques sont évidemment sur la surface des centres de courbure ou développée de la cyclide.

Les seize coniques (Q) correspondent évidemment aux différentes combinaisons de signes dans les formules (47); elles ont donc 6n commun les points correspondants aux valeurs a^ , a^ , a^ ,a^ , «s de p , qui annulent une des quantités irii .

Parmi les sphères précédentes, quarante, correspondantes aux valeurs

coupent la cyclide suivant deux droites et suivant un cercle passant au point de rencontre de ces droites, point qui est un ombihc de la cyclide. La cyclide a donc quarante ombihcs et les seize coniques (Q) sont tangentes les unes aux autres aux ombilics. Chaque conique est tangente à cinq autres, et la tangente commune à deux d'entre elles est la normale à la cychde en un ombilic.

Pour tous les points de ces coniques, trois normales à la surface viennent se confondre en une seule, la tangente à la conique au point considéré. Pour les points de contact de deux coniques, quatre normales viennent confondre leurs pieds à l'ombilic correspondant.

Les propriétés que nous rencontrons ici sont analogues à celles que M. Clebsch a découvertes pour la surface des centres de courbure des quadriques. On peut compléter l'analogie en remarquant que le plan des coniques (0) est tangont à la développée en tous les points de ces coniques.

En effet, si dans l'équation (10) on permute c et a , on aura une sphère tangente à la cyclide (p) et iiui'male à la cyclide (a), qu'elle coupe tangentielleraent à une ligne de courbure. Ainsi les équations

(18) ,ru__^c,-.u)y ^-(,,)(,^.^

conviennent à toute sphère normale à la cyclide proposée, et la coupant tangentiellement à une direction principale.

On aura donc le plan normal principal, si l'on dispose de u de telle manière que les formules (18) conviennent à un plan, ce qui donne

ou

En tirant de cette équation la valeur de w et la portant dans (18), on aurait les expressions des coordonnées d'un plan tangent à la développée en fonction des paramètres p , p, •

Les seize coniques (Q) correspondent à l'hypothèse

et alors l'équation (20) donnera pour m une valeur constante. Quant aux équations (18), elles fournissent pour m, des nom-

bres fixes, et nous montrent ainsi que le plan tangent demeure le même en tous les points des coniques (Q) .

Un raisonnement par analogie nous conduirait même à affirmer que ces plans ont, comme dans le cas des quadriques, un contact du deuxième ordre avec la développée.

Du reste, la développée a d'autres lignes multiples, une ligne double et cinq lignes de rebroussement, qui sont les lieux des centres des sphères osculatrices en tous les points des sections de la cyclide par les cinq sphères directrices. Mais nous laisserons au lecteur le soin d'examiner plus complètement ces différentes questions.

IWote XIV.

Sur quelques propriétés de géométrie infinitésimales relatives anx cyclides.

On peut utiliser les formules données dans les Notes précédentes, et donner pour différentes surfaces, se rattachant d'une manière directe aux cyclides, l'expression de la distance de deux points infiniment voisins.

Soient

(1) ' 2.AiXi' = 0

l'équation de la cyclide, et

(2) 2 ^^'^•- = 0 celle d'une sphère. L'équation

> niiXi = 0

a quatre racines, au moyen desquelles nous déterminerons les nii , et en posant

(3) ^^^=1, i ?iu) = (u—p) (u — p,) {U — p,) (W— ,03) ,

on aura, comme dans la Note précédente,

et l'on démontrera par les procédés connus l'équation

L ' L fipu) L t\p)

En nous reportant à la formule (24) de la Note X, nous voyons que, si x ,y ,z désignent les coordonnées cartésiennes du centre de la sphère (2) et R le rayon de cette sphère, on obtient ici

(7) dx' + dr + dz'—dR' =^ R' T dm/=W "S "^'^P'^^P'' ■ On a d'ailleurs, d'après la formule (11) de la même Note,

et l'on déduit de ces équations les conséquences suivantes. D'abord, si l'on fait

la sphère devient tangente à la cyclide, et la formule (7) se réduit à la suivante,

Ap—Pi)(p-^y(^p'

dx' + dîf + dz' = dR^ + R

^^Ap^—p)(pi—'^''y(^pi

C'est l'expression du ds^ dans un système orthogonal, formé des surfaces parallèles à la cyclide et des développables qui les coupent à angle droit. La variable u sera donnée en fonction de R par l'équation (8), qui est du premier degré en u, puisqu'on a ici

(10) „u=(u-A.)^'kz:^^kriM. .

Si l'on suppose R constant, on aura ds' pour la surface parallèle à la cyclide,

(p—ufdp'' (p^—uYdp;'

(11) f-(p-pO

ds^ Si l'on suppose que R croît indéfiniment, -^ tendra vers

une valeur finie da\ et la formule

OÙ V est la limite de u , définie par l'équation

__ V nii

donnera la représentation sphérique de la cyclide. On voit que, V étant une fonction de p et de p, , les lignes qui composent cette représentation ne sont pas isothermes. Enfin, si l'on fait

trois valeurs de p devenant égales, la sphère sera osculatrice, et l'on aura

(13) dx'-{-dy^+ dz' = d^' + ïi.^^^~J;\^ ^

c'est-à-dire le carré de la distance de deux points infiniment voisins sur la surface des centres de courbure de la cyclide. Cette expression met en évidence le système des lignes géodésiques qui correspondent sur la développée aux lignes de courbure de la proposée.

IWotc XV.

De différents systèmes de lignes définies par des propriétés différentielles et qu'on peut déterminer sur toutes les cyclides.

Nous avons, dans le cours de cette étude, appris à déterminer plusieurs systèmes de lignes tracées sur les cyclides. On connaît :

i° Leurs lignes de courbure, qui sont algébriques ;

2o Leurs lignes de longueur nulle (art. 51). Elles sont définies par cette propriété que leurs tangentes vont rencontrer le cercle de l'infini. Il résulte de là que l'on saura déterminer sur toute surface du troisième ordre les lignes dont les tangentes vont rencontrer une conique fixe quelconque de cette surface. En eflPet, on peut toujours transformer par l'homographie une surface cubique en cyclide, une conique déterminée de cette surface devenant le cercle de l'infini, et alors les lignes dont les tangentes allaient rencontrer cette conique se transforment dans les lignes de longueur nulle de la cyclide.

3° On connaît aussi les lignes de courbure de la cyclide, quand on prend pour absolu^ suivant la définition de M. Cayley (art. 62 et Note V), non plus le cercle de l'infini, mais une quadrique quelconque inscrite dans la cyclide^ ou, si la cyclide est du troisième ordre, une conique quelconque de cette surface. Ces lignes sont algébriques.

4° On connaît encore, dans les mêmes hypothèses, les lignes de longueur nulle (Note V), c'est-à-dire celles dont les tangentes demeurent aussi tangentes à une quadrique fixe inscrite dans la cyclide.

Nous nous proposons d'intégrer dans cette Note les équations différentielles de difl'érents autres systèmes de lignes.

Soit un point M d'une surface; la sphère normale en ce point à la surface et orthogonale à deux sphères fixes est évidemment déterminée par ces conditions. Elle coupe le plan tangent suivant une droite qu'on peut considérer comme la tangente à une courbe tracée sur la surface. On aura ainsi un système de courbes définies par cette propriété, qu'il y a une sphère qui leur est tangente en chaque point, qui est normale en ce point à la surface, et en outre orthogonale à deux sphères fixes.

La détermination de ces lignes peut se faire sur toute cyclide, au moins si l'on prend pour les sphères fixes deux des sphères directrices.

Soit

l'équation d'une cyclide; supposons que les sphères tangentes à la courbe doivent être orthogonales à (S^) et (S^) . Leur équation sera

Pour que la sphère représentée par cette équation soit normale au point {x,) de la cyclide, il faut (Note XI) que l'on ait

77i^x^ H- uk^a;^ + ^^h^z = 0 ;

Aj^rflyOi/^ ~T~ i\2''^2*^2 "^ -^3 "^3 ^3 ~~" ^ •

Comme la sphère est tangente à la courbe cherchée, on doit avoir

m^dx^ + ni^dx^ + m^dx^ = 0 .

Éliminons m, , m^ , m^ entre ces équations ; nous trouvons l'équation différentielle

(2) (A,-A3) ^ + (A3- A J ^^ + (A.- A,) ^^ == 0 , OU, en intégrant

Telle est l'équation des lignes cherchées.

Quand la cyclide se réduit à une quadrique, deux des cinq sphères (S,) sont rejetées ù l'infuii; les trois autres deviennent les plans principaux. Les courbes précédentes se transforment en deux espèces de courbes sur les quadriques : 1° les lignes de plus grande pente, un des plans principaux étant horizontal; 2° les lignes telles que la normale à ces lignes, située .dans le plan tangent à la surface, aille rencontrer un axe de cette surface.

Considérons maintenant les courbes telles qu'il y ait une sphère passant par trois de leurs points consécutifs, ou, ce qui est la même chose, par leur cercle osculateur, normale à la surface et orthogonale à une sphère fixe (S). Ces lignes, comme nous Talions montrer, ont des propriétés analogues à celles des lignes géodésiques.

En effet, étant donnée la sphère (S), considérons une surface (B') , et soumettons-la au mode de transformation défini par les formules (14) de l'article 44. Alors à (B') correspondra une anallagmatique (I) ayant pour sphère directrice (S), et pour déférente la polaire réciproque (B) de (B') par rapport à (S) . Cela posé, considérons sur (B') les lignes géodésiques, en prenant pour absolu la sphère (S) (Note V).

Ces lignes géodésiques (g) sont définies par une double propriété. Elles rendent minimum l'arc

(4) fdc

mesuré par rapport à (S) , et de plus leur plan osculateur est normal au plan tangent de la surface. A ces lignes correspondront sur (2) des lignes (g,) , rendant minimum l'intégrale

où S désigne la puissance par rapport à la sphère (S), et qui

est la transformée de Mo-. De plus, au plan osculateur des

lignes (g) correspond la sphère passant par trois points consécutifs des lignes (^f,) et orthogonale à (S) . La propriété du

plan osculateur des lignes (g) entraîne donc la suivante pour les lignes (g,) :

Les lignes définies sur toute surface par la condition qu'une sphère passant par leur cercle osculateur et normale à la surface soit en même temps orthogonale à une sphère fixe (S) possèdent la propriété de rendre minimum l'intégrale

rds J S

o?( ds désigne la différentielle de l'arc et S la puissance par rapport à la sphère (S) .

On peut faire ici une remarque qui nous sera utile. Les lignes qui rendent minimum, entre deux points quelconques de l'espace, l'intégrale précédente sont les cercles orthogonaux à (S) . En effet» les lignes qui dans la figure (B) rendent

minimum / d(7 sont des lignes droites (Note V) , et par conséquent elles ont pour transformées dans la figure (2) des cercles

rds orthogonaux à (S) , qui rendent minimum l'intégrale / -^ ,

transformée de /c? or.

Comme les cyclides sont les transformées des quadriques, et qu'on sait déterminer les lignes géodésiques de toute quadrique (B) , en prenant pour absolu une quadrique quelconque (S) , on voit qu'on saura déterminer sur toute cyclide les lignes dont il est ici question. Si la cyclide devient l'inverse d'une quadrique, ces lignes sont les inverses des lignes géodésiques de la quadrique. Ainsi, quand la cyclide dégénère en quadrique, ces lignes deviennent des géodésiques.

On peut aussi déterminer sur les cyclides les lignes pour lesquelles la sphère osculatrice est tangente en chaque point à la surface (^).

Voir une Note de l'auteur. Comptes rendus, t. LXXIII, p. 732.

Soit

(«) Vk-

l'équation d'une cyclide. Celle d'une sphère, tangente au point (a?,) sera

et l'on sait que, si X reste constant, toutes les sphères tangentes correspondantes ont le même rapport .anharmonique. Leurs centres sont sur une surface du quatrième ordre à conique double, qui a été étudiée dans la Note Xï.

Exprimons que la sphère (7) contient quatre points consécutifs d'une courbe passant au point {x,) ; nous aurons évidemment les équations

(10) y ^^^^a?.rf^a;, = 0.

La première de ces équations est identiquement vérifiée ; car on a

(H) J^XidXi-

en vertu de l'équation de la surface et de l'identité qui relie les quantités a;,- .

Pour former l'équation différentielle cherchée, il faudrait donc éliminer À entre les équations (10) et (9). Au lieu de faire cette élimination, considérons X comme une variable

nouvelle, et différentions (9). En tenant compte de Téquation (10), il restera

(13) -rf^y^i^ + y ^^i^rf.'r,d'a^,-=.0,

Le second terme de cette équation est nul en vertu des relations (11), (12) et de leurs différentielles; il reste donc

dX = 0, / = const. =:K.

(Le facteur que nous négligeons est compris dans cette solution générale.)

En résumé, il reste à intégrer l'équation, du premier ordre seulement, contenant l'arbitraire K ,

(14) S'hi:±dx^ = ^,

les Xi satisfaisant aux équations

En passant aux coordonnées curvilignes des articles 50 et 51 , l'équation (14) se transforme aisément dans la suivante,

(4g) (P-K)^?*(p.-K)rfp.\

où les variables sont séparées.

Les sphères osculatrices de toutes les courbes correspondantes à la même valeur K de X sont de même rapport anharmonique. Gela résulte de la signification de X .

Pour X = a,- , elles deviennent les sphères doublement tangentes, orthogonales à (S,) . Nos courbes se réduisent alors aux cercles de la cyclide situés sur ces sphères. 11 était évident a priori que les cercles devaient être obtenus comme solutions du problème, puisque leur sphère osculatrice en chaque point est indéterminée, et peut être prise tangente à la surface.

L'équation (15) ne s'intègre d'ailleurs algébriquement que

si K — a,; alors elle se réduit à l'équation d'Euler, et donne une des cinq séries de sections circulaires.

Les trajectoires orthogonales des courbes représentées par réquation (15) ont pour équation différentielle

rfp'.(p-a) (/?.'(p -a) .

/•(?)(?-K) fiP^ir-^

On sait intégrer cette équation, et en particulier trouver les trajectoires orthogonales des sections circulaires des cyclides. On pourrait même déterminer les trajectoires coupant sous un angle fixe quelconque.

Comme cas limite, quand la cyclide se réduira à une sphère, on saura déterminer les trajectoires orthogonales des cercles d'une même série doublement tangents à une courbe cyclique.

Sur les quadriques, la méthode précédente donnera les trajectoires des génératrices rectilignes et des sections circulaires. Ces dernières lignes ont été déterminées par M. Catalan {Journal de Liouville, t. XII, p. 4-83).

Les méthodes données par M. Liouville et par Jacobi, pour déterminer les lignes géodésiques des quadriques et intégrer les équations abéliennes, ne s'appliquent plus ici; mais elles nous conduisent à des résultats, qui paraissent dignes d'être notés. Voici les principes algébriques employés par les deux géomètres que nous venons de citer.

Soit la formule différentielle

où f (w) est une fonction quelconque de la seule variable u, et où

Si l'on se propose de rendre minimum l'intégrale

(18) fdH,

en considérant les variables o^ , p, , p^ comme des fonctions de

322 SUR UNE CLASSR REM ARQUABLK

Tune d'entre elles, ces fonctions satisferont aux équations différentielles

y \/d—okdpi

vd — pfc pkdpk __ ç.

1/(«-?0(^-pOA?'^)

où les variables sont séparées; a et ^ sont deux constantes arbitraires.

Si l'on a à rendre minimum l'intégrale

ou

/rfe,

en considérant p, comme une fonction de p, on devra avoir

^n?)i?—) yf{?ùi?--)

On emploie d'ordinaire ces résultats, en supposant que, dans le premier, d soit infini, ce qui fait disparaître le facteur © (rf) de rfe , et dans le second K infini, ce qui fait disparaître (P-K)(p-K).

Ces principes ne peuvent évidemment s'appliquer à la détermination des lignes géodésiques des cyclides. L'expression de ds^, donnée (art. 50),

^(^S' (p — Pi)(p — p,)^, , (Pl— P)(Pl— p.) , 2

/(Pa)

contient un facteur M dont on ne peut faire abstraction. Mais,

en tenant compte de la formule (86) de l'article 50, on voit que l'expression

Z K — flr,

est de la forme assignée à df-r , f/e^^ On saura donc trouver le minimum de l'intégrale

dans les conditions qui ont été indiquées précédemment, et de là résultent les deux théorèmes suivants :

On sait déterminer les lignes de l'espace rendant minimum rintégrale

Çds

où U est u?ie fonction algébrique entière, du 4® degré au plus, qui égalée à zéro donnerait réquation d'une cyclide.

En d'autres termes, on sait trouver les routes de la lumière dans un milieu pour lequel la vitesse de la lumière en chaque point serait donnée par l'équation v^-=\] , où U est défini comme précédemment.

U peut se réduire à une fonction quelconque du second degré, ou au carré de la puissance par rapport à une sphère, auquel cas l'intégrale (24) se réduit à celle-ci,

*ds

que nous avons considérée déjà dans cette Note, Alors les routes de la lumière sont des cercles orthogonaux à la sphère (S) , etc.

En appliquant le deuxième principe algébrique, nous aurons le théorème suivant :

On sait déterminer sur toute cyclide les lignes rendant minimum l'intégrale

où U , égalé à zéro, fournirait l'équation d'une cyclide quelconque, homofocale à la première.

IVote lL\i.

De quelques analogies entre la théorie des cyclides et celle des surfaces du second ordre.

Les formes d'équations que nous avons obtenues pour les cyclides ramènent la théorie de ces surfaces à celle des fonctions quadratiques et homogènes, et les rapprochent ainsi des surfaces du second degré. Aussi peut-on généraliser et étendre aux cyclides plusieurs des propositions connues de la théorie des surfaces du second degré. Nous allons donner ici deux exemples de pareilles généralisations.

On peut d'abord constituer pour les cyclides une théorie analogue à celle des points correspondants d'Ivory sur deux ellipsoïdes homofocaux. Soient, en effet,

les équations de deux cyclides homofocales,

Désignons par Xi les coordonnées d'un point M sur la première cyclide. Les quantités ^,- , définies par les équations

sont évidemment les coordonnées d'un point M'; car elles satisfont à l'identité

et ce point M' est sur la cyclide {^) , car on a

tti-

Nous dirons que les points M et M' sont correspondants sur les deux cyclides (a) et (§) . Deux points correspondants sont à l'intersection des deux cyclides avec une des trajectoires orthogonales de toutes les cyclides homofocales à (a) et à (p) .

Cela posé, soient (A , A') , (B , B') deux couples de points correspondants. Soient Xi ,yi , x'i , y'i les coordonnées respectives des points A , A', B , B'. On aura

X'i yt X i y i

Vui — «

Vai—p Vai — a.

et par suite

Xiîfi — x/yi,

ou

> Xiy'i=/ x'iyi .

Or, d'après la formule (17) de la Note X, on a

-— \ —^iXiy'i , -— •^— 2sa;\y,

Donc, en tenant compte de la formule (-4) et en divisant les équations précédentes membre à membre, on aura une équation de la forme

^^ Bk'~ f{B]

où f{k) ,f{B) désignent des fonctions ne dépendant que des coordonnées des points A et B . Nous aurons de même, en désignant par (C , C) un troisième couple de points correspondants,

BC' /{B) ^ CA; /j(C) ^ CB'^/'(C)' AC'~/^(A)'

et par suite