RELATIFS

Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée Descartes, k Paris.

Je me propose d'exposer, dans ce travail, certaines propriétés focales des surfaces du second ordre, et aussi des surfaces du quatrième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double.

Mes recherches, terminées depuis longtemps, ont pour base les beaux théorèmes développés par Jacobi, dans une lettre à Steiner publiée en 1834 dans le Journal de Crelle{t. XII, p. 137), lettre qui a été traduite beaucoup plus tard, en 1846, dans le Journal de M. Liouville (t. XI, p. 237).

J'hésitais à publier les résultats de mes travaux, pensant que ces théorèmes de Jacobi, si importants au point de vue philosophique, avaient dû faire le sujet d'études nombreuses et détaillées. Tout récemment, la publication des notes de Jacobi dans le Journal de M. Borchardl et celle d'un travail de M. 0. Hermès sur le même sujet ont rappelé l'attention des géomètres sur les théorèmes de Jacobi, et elles ont mis en

198 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

évidence que ces propositions n'avaient pas été jusqu'à ces derniers temps l'objet d'études suivies et développées (^).

Peut-être trouvera-t-on dans les pages qui suivent quelques résultats encore nouveaux; en tous cas, elles auront peut-être l'avantage de faire mieux connaître des propositions importantes de la théorie des surfaces homofocales. Ces propositions, en étendant aux surfaces du second ordre les propriétés métriques des foyers dans les sections coniques, comblent, comme le remarque Jacobi, une lacune très importante, et qui avait été d'ailleurs signalée dès 1830 dans la note de VAperçu historique qui traite des surfaces homofocales.

Pour indiquer d'une manière plus précise la matière de ce travail, nous dirons qu'un esprit non prévenu ne peut se refuser à trouver dans les propositions de Jacobi la généralisation de ce théorème connu : La somme ou la différence des rayons vecteurs menés d'un point de la conique aux deux foyers est constante.

Paris, le 12 Janvier 1872.

(1) Il faut cependant citer un travail intéressant d'un jeune géomètre, M. CoHN, inséré dans le Journal de M. Borchardl.

1er.

PROPOSITIONS PREIJMINAIRES.

Jacobi commence sa lettre en énonçant le théorème suivant, qui avait déjà été donné par M. Chasles :

Les focales cVun cône circonscrit à une surface du second ordre sont les génératrices des surfaces homofocales à la proposée et passant par le sommet du cône.

Cette proposition est comprise comme cas particulier dans la suivante :

Si une surface du second degré (M) est inscrite dans une autre quadrique (A), les focales de la surface (M) se trouvent sur des surfaces homofocales à (A).

Cette proposition pourrait se déduire des beaux théorèmes généraux donnés par M. Chasles sur les surfaces homofocales {Journal de Liouville, t. V, 2^ série). Nous la rencontrerons comme un corollaire de principes plus généraux. Il ne sera donc pas inutile de la démontrer directement, et d'y rattacher plusieurs conséquences qui ont en elles-mêmes quelque intérêt, et qui d'ailleurs pourront servir de vérification dans la suite de ce travail.

Supposons que la surface (A) soit rapportée à son centre et à ses axes principaux. L'équation de cette quadrique sera

L'équation de la surface (M), inscrite dans la précédente (A), prendra la forme

Pour obtenir les focales de cette dernière surface, nous allons

^00 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS

chercher le Heu des centres des sphères de rayon nul, tangentes en deux points à cette quadrique. Soit

l'équation d'une de ces sphères. En exprimant que l'intersection des surfaces (2) et (3) se compose de deux courbes planes, on obtient sans difficulté les équations de condition suivantes,

l + an i + b^l l + c'l

b'n^ c^py

Ci . i

À est, dans ces équations, le facteur par lequel on multiplie l'équation (3) de la sphère, avant de l'ajouter à celle (2) de la surface (M).

La première de ces équations détermine la valeur de /i; les deux dernières représentent une conique plane, et comme on a trois valeurs de 1 , en les substituant successivement dans les deux dernières équations, on aura les équations des trois focales. Ces trois focales sont d'ailleurs à l'intersection d'un plan et d'une surface homofocale à la proposée. On peut donc énoncer la proposition suivante qu'il s'agissait de démontrer :

Théorème I. — Si une quadrique (M) est inscrite dans une autre quadrique {k), les focales de (M) sont sur une surface homofocale à (A).

On peut faire quelques remarques sur les équations précédentes et les résultats qu'on en a déduits. D'abord les racines de l'équation en X ne dépendent que de m ,n ,p , et restent par conséquent les mêmes tant que la surface (M) coupe le plan de l'infini suivant la même courbe. Donc, si Von considère toutes les surfaces homothétiques inscrites dans une quadrique,

AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND DEGllÉ, 201

leurs focales se déplacent sur trois surfaces fixes homo focales à la qiiadrique.

La proposition réciproque suivante a plus d'importance :

Théorème IL — Toute surface (M) ayant pour focale une section plane de la quadrique (A) est inscrite dans une surface homofocale à (A).

On déduit en effet sans peine du calcul précédent l'équation générale des surfaces ayant pour focale une conique donnée. Il suffit de changer quelques notations, et Ton arrive à la conclusion suivante :

Soient

(4) DIX + ny -h pz -h q =: 0 ,

les équations d'une conique dans l'espace, section plane de la surface (A) (5).

L'équation générale des surfaces admettant cette courbe pour focale est

,„. /a'' m'' b'n"- c''p'\ ( x^ ii" z- ,\

\a'—K b~ — \ c^'-lj \a- — A b' — A C — \ )

(a^mx Wnv c'-pz y'

}, étant un paramètre dont la variation donne toutes les surfaces (M) ayant pour focale la conique donnée. Cette équation démontre d'ailleurs le théorème précédent, la surface qu'elle représente étant évidemment inscrite à la surface (A'),

homofocale à (A).

L'équation du plan de contact est

a^mx b-ny c'^pz

202 SUR LES THÉORÈMES D'iVORY, RELATIFS

On voit que ce plan a môme pôle par rapport à la surface (A') que le plan de la focale par rapport à la surface (A) .

L'équation (6) donne lieu d'ailleurs à une autre conséquence, qu'il est très important de signaler. Si l'on donne à 1 une des trois valeurs a"" , b\ c^ ; c' par exemple, l'équation de la surface (M) devient

/ m^a'' n^b' \ , ^ , /ma-x nb-y \ \a- — r b^—c) \a'— c' 6-— c^ /

Cette surface particulière (M) coupe donc le plan des xxj suivant la focale de (A), et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème III. — ÊianX données, dans l'espace, deux coniques C , C'^ si l'on peut placer C sur une surface (A) ayant C pour focale, réciproquement on pourra faire passer par (C) une surface (A') ayant C pour focale.

On peut généraliser beaucoup ce théorème de la manière suivante :

Théorème IV. — Si deux surfaces (A) , (A') sont telles qu'une surface homofocale à la première est inscrite à une surface homofocale à la seconde, à toute surface (M) liomofocale à (A) on pourra inscrire une siirface {M') homofocale à (A'). Le pôle de contact des deux surfaces (M) , (M') sera le même pour tous les couples de ces surfaces.

En outre, si l'on associe ci une surface (N), homofocale à (A), une surface (N') quelconque homofocale à {A.'), la développahle

circonscrite à (N) et à (N'), N JN' I ,. suivant la notation de

M. Chastes, sera aussi circonscrite à une sphère ayant pour centre un point fixe, qui est le pôle commun de contact de tous les couples (M) , (M') déjà considérés.

La démonstration peut se faire de la manière suivante :

AUX SUHFACES MOMUFOCALES DU SECOND DEGHÉ. 203

Soient

les équations tangentielles des deux surfaces (A) , (A'). Soit de même

l'équation tangentielle du cercle de l'infini. Toute surface homofocale à (A) aura pour équation

Toute surface homofocale à (A') aura de même pour équation

Puisque, par hypothèse, il y a une surface homofocale à (A) qui est inscrite dans une surface homofocale à (A'), on a l'identité

où P^ désigne le carré d'une fonction linéaire, et qui exprime que les deux quadriques

A + A- C = 0 , A'+ k'C=zO ,

homofocales à (A) et à (A') respectivement, sont inscrites l'une à l'autre, avec le pôle de contact

L'identité (8) peut d'ailleurs s'écrire

A 4- XC 4- mï'k' ■+- (^■'— — ) G

Donc il y aura une infinité de couples

de quadriques homofocales à (A) et à (A') et inscrites l'une à l'autre, ce qui est la première partie du théorème. On voit d'ailleurs que le pôle de contact

demeure invariable pour tous ces couples.

204 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY RELATIFS

En second lieu, l'identité (8) peut s'écrire

(10) A + ^G + m(A' +À'C) = P2+ [\ — k-\-m{y -A;')] G. Par suite les deux surfaces

homofocales à (A) et à (A'), et la sphère

sont, en vertu de l'identité (10), inscrites dans une même développable. Enfin la sphère a son centre au pôle

ce qui justifie la dernière partie de la proposition.

Le théorème III est évidemment un cas particulier du précédent. Il suffit de supposer dans le théorème IV que les deux surfaces (A) , (A') soient deux coniques infiniment aplaties, pour obtenir le théorème III et même une proposition plus étendue, le théorème II. On voit que, si l'on prend une section plane d'une surface (A) , G' , cette section plane sera la focale d'une surface (A') passant par une focale quelconque G de (A), et de plus la développable circonscrite aux deux coniques G , G' sera circonscrite à une sphère ayant son centre en un point qui est soit le pôle du plan de G' par rapport à la quadrique (A), soit le pôle du plan de G par rapport à la surface (A'). Avec cette addition, le théorème III est l'extension du théorème suivant, relatif aux coniques :

Si l'on prend sur une conique de foyers F , F' deux points A , B , réciproquement on pourra construire une autre courbe ayant pour foyers A , B, et passant par les points F , F'. En outre, les quatre droites qui joignent les points A , B aux deux points F , F' sont tangentes à un même cercle, dont le centre est soit le pôle de AB par rapport à la conique de foyers F, F', soit le pôle de FF' par rapport à la conique de foyers A , B.

Nous avons ici à faire une remarque do quelque intérêt. Dans

le plan, il revient exactement au même de dire que la somme des distances de deux points A , B de la conique aux deux foyers est la même, ou d'énoncer que les quatre droites qui joignent les deux points A , B aux foyers F , F' sont quatre tangentes d'un même cercle. Sous cette dernière forme, les propriétés focales seraient généralisées par cette proposition identique au théorème lïl (tel qu'il vient d'être énoncé) :

La développable circonscrite à une focale de la quadrique et à une section plane quelconque de la surface , est aussi circonscrite à une sphère ayant son centre au pôle de la section plane.

Mais cette propriété descriptive ne paraît pas être, comme dans le plan, l'équivalent d'une propriété métrique facile à découvrir.

On peut encore remarquer une autre analogie. Dans le plan, étant données les quatre droites qui joignent les deux points A , B aux deux points F , F' , ces quatre droites sont tangentes à un cercle, et la somme des tangentes menées des points F , F' à ce cercle est constante (et égale au grand axe). D'où il résulte que si, des deux foyers comme centres, on décrit deux cercles orthogonaux au premier, ces deux cercles se coupent en deux points de la courbe.

De même pour une quadrique :

Théorème V. — Soit S la sphère inscrite dans la développable qui est circonscrite à une section plane et à la focale. Si des différents points de la focale, comme centres, on décrit des sphères orthogonales à S, ces sphères se coupent toutes en deux points appartenant à la quadrique.

Cette proposition sera démontrée plus loin, ainsi que quelques-unes de celles qui précèdent.

Ces théorèmes s'appliquent principalement à des surfaces tangentes les unes aux autres en tous les points d'une courbe plane. Le suivant concerne surtout les quadriques tangentes seulement l'une à l'autre en deux points.

Théorème VI. — Si deux surfaces k,B sont tangentes l'une

206 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

à l'autre en deux 'points, on pourra associer à toute surface A' homo focale à A une surface B' qui lui sera tangente en deux points et qui sera homo focale à B. D'ailleurs, les deux plans tangents communs à A' et à B' aux deux points de contact se couperont suivant une droite fixe à, qui est celle qu'on déduirait du, premier couple de surfaces, et les deux cônes circonscrits à la fois à k et à k! auront leurs sommets en deux points fixes.

Si l'on associe à une surface A" homofoccde à A une surface quelconque B" , homofocale à B, la développable A." B"| sera circonscrite à une surface de révolution ayant deux foyers fixes, situés sur la droite A, et sommets des deux cônes circonscrits à la fois aux deux surfaces données A ,B.

Ce théorème important donne lieu à un grand nombre de conséquences. Si l'une des surfaces hemofocales A" se réduit à la focale de A, on a le résultat suivant :

Quand deux surfaces A , B so7it tangentes en deux points, une des focales de A est tangente en deux points à une focale B' homofocale à B. Réciproquement : Quand une quadrique A a pour focale une courbe tangente en deux points à une surface B, cette quadrique est tangente en deux points à une surface B' homofocale à B, etc., etc.

Le cas où Tune des surfaces est de révolution est un des plus importants, et servira de vérification à la suite de ce travail.

Si une surface du second degré, de révolution, est tangente en deux joints à une quadrique, elle a ses deux foyers sur une quadrique homofocale; et réciproquement : Si une surface du second degré de révolution a ses deux foyers sur une surface, elle est tangente en deux points à une quadrique homofocale à la proposée.

Ainsi, d'après le théorème général indiqué plus haut, 5^, par une droite A, on mène des plans tangents en a , a' ; b , b' à deux surfaces homofocates A ^ B ^ les deux points a , a' pourront être pris pour les foyers d'une surface de révolution tangente en b , b' àB, et réciproquement. J'ajoute que les quatre droites joignant deux à deux les points a , a' ; b , b' forment un quadrilatère situé

sur une surface de révolulion ayant pour axe la droite A , et par conséquent ces quatre droites sont tangentes à une infinité de sphères ayant toutes leur centre sur la droite A.

EXPOSÉ DE LA MÉTHODE DE JACOBI ; POINTS CORRESPONDANTS d'iVORY.

Dans la lettre que nous avons citée, adressée à Steiner, Jacobi étudie la transformation suivante, à laquelle il a été évidemment conduit par le théorème d'IvoRY sur les points correspondants.

Soient, dans l'espace, trois points a ,b , c, auxquels on fait correspondre respectivement trois points A , B , C; à un point m d'une première figure, on fait correspondre un point M d'une seconde figure, par la condition que les distances du point M aux trois points A , B , G soient égales aux distances du point m aux trois points a , b , c; c'est-à-dire que l'on ait :

M A = ma , MB=: mb , MG =^ me .

Gela posé, Jacobi donne sans démonstration le théorème suivant : A un plan, dans l'une des figures, correspond dans l'autre une surface du second degré;

Et de cette proposition, convenablement étudiée, il déduit en particulier la suivante, qui demande quelques développements :

L'équation focale d'une ellipse peut être énoncée de la manière suivante : Il y a entre les distances d'un point de l'ellipse à ses deux foyers la même relation qu'entre les distances d'un point d'une droite à deux points fixes pris sur cette droite. (Il est clair, en effet, qu'en désignant par r , r' les distances d'un point M d'une droite à deux points A , B pris sur cette droite, on a r4-r'=AB.)

De même, il y a entre les distances d'un point de l'ellipsoïde à trois foyers pris sur la même focale la même relation qu'entre les distances d'un point du plan à trois points pris dans le plan.

208 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

Jacobi se proposait, comme l'indique un passage de sa lettre, de revenir sur ces beaux résultats ; il ne l'a pas fait. Cependant les fragments publiés dans le Journal de M. Borchardt permettent d'apprécier l'importance qu'aurait eue ce travail, resté inachevé. Dans ce qui va suivre, nous nous proposons de reprendre d'une manière complète, sans nous arrêter toutefois aux cas particuliers, l'étude des théorèmes de Jacobi, en étendant ces théorèmes à certaines surfaces du quatrième ordre. Nous commençons par la théorie des points correspondants, qui est évidemment l'origine des travaux de l'illustre géomètre.

Soit une série de surfaces homofocales du second degré définies par l'équation

et supposons, pour fixer les idées, qu'on ait déterminé deux valeurs À' , 1" de 1 , auxquelles correspondent deux surfaces particulières. On appelle points correspondants sur ces deux surfaces ceux qui sont à l'intersection de ces deux surfaces avec une même courbe d'intersection de deux autres surfaces homofocales variables. Soient (A), (A') les deux quadriques, et prenons un point M sur (A). Les deux quadriques autres que (A) et passant en M déterminent une courbe qui va couper la surface (A') en huit points symétriques. Celui de ces points N' qui se trouve dans le même angle des coordonnées que M est appelé point correspondant de M. Les coordonnées x' , y' , z' , x" , y" , z" de deux points M , M' correspondants sont d'ailleurs liées par les formules

Va^ — y Va'- — V

V}/ -y Vb'-y

Vc'-y Vc'~v' On sait d'ailleurs que la distance de deux points M , N' pris

AUX SURFACES HOMOFOCALRS DU SF.COND DEfiRl';. 209

Tiin sur (A), l'autre sur (A'), est égale à celle des points correspondants M' , N .

Gela posé, parmi tous les ellipsoïdes homofocaux, il y en a un qui se réduit au plan des xij, ou plutôt à la portion de ce plan comprise dans la focale. Faisons correspondre par la méthode précédente cette portion du plan à l'ellipsoïde (E) ayant pour équation

/y*2 fl»2 ^2

(13) -. + fi + -.-!•

Les formules (12) changent de forme, et si Ton désigne par X , Y , Z les coordonnées d'un point de l'ellipsoïde, par x , y celles du point du plan, on aura

et ces dernières formules nous montrent qu'à tout point {x ,y), pris à l'intérieur de la focale, correspond un point réel de l'ellipsoïde (E) ; que, si le point {x , y) est sur la focale, le point correspondant de l'ellipsoïde est dans le plan de la focale ; et enfin qu'à un point à l'extérieur de la focale ne correspond aucun point réel de l'ellipsoïde.

Ces propositions admises, soient M , m deux points correspondants, le premier dans le plan, le second sur l'ellipsoïde; soient en outre a , 6 , c trois points fixes de la focale, auxquels correspondent trois points A , B , C de l'ellipsoïde, pris sur la section principale. (On reconnaîtra aisément que ces points sont à l'intersection de la section principale et des hyperboles homofocales passant en « , 6 , c respectivement.) D'après le théorème d'Ivory, on aura

ma — MA, m.b = MB, me = MC.

210 SUR LES THÉORÈMES d'iYORY, RELATIFS

Si donc on écrit la relation

(10) /■(MA,MB,MC) =0,

qui relie les trois distances MA , MB , M C, et qui peut être considérée comme l'équation 'du plan ABC dans un système de coordonnées qu'on pourrait appeler tripolaire, et où chaque point serait déterminé par ses distances à trois points, on voit qu'en remplaçant dans cette relation MA , MB , MC par ma , mb ,mc , on aura l'équation entre les distances d'un point de l'ellipsoïde à trois points quelconques de la focale. Donc

Il y a la même relation entre les distances d'un point de r ellipsoïde à trois points de la focale qu'entre les distances d'un point d'un plan à trois points convenablement choisis dans ce plan.

Mais le théorème d'Ivory permet d'obtenir des conséquences plus étendues encore. Prenons, en effet, dans le plan, trois points a , P , 7 , non plus sur la focale, mais placés d'une manière quelconque à l'intérieur de cette courbe. A ces trois points correspondent trois points réels A , B , C , situés sur l'ellipsoïde (E), et les distances ma , mp , m/ d'un point de l'ellipsoïde (E) aux trois points a, ^,7 sont les mêmes que celles du point correspondant sur le plan aux trois points A , B , G . Il résulte de là la proposition suivante :

Il y a entre les distances d'un point m de l'ellipsoïde à trois points situés dans un plan principal et à l'intérieur de la focale, la même relation qu'entre les dislances d'un point variable d'un plan à trois points fixes pris en dehors de ce plan.