FORMULES RELATIVES AUX DISTANCES MUTUELLES DE GROUPES DE POINTS

Avant d'aller plus loin, il conviendrait d'étudier d'une manière approfondie la relation qui lie les trois distances d'un point variable du plan à trois points fixes de ce plan. Cette

étude conduit à des analogies dignes d'intérêt; nous nous contenterons de signaler ici les plus simples. Nous n'aurons pour cela qu'à rappeler de beaux résultats présentés sous une forme élégante par M. Cayley. (Voir la Géométrie de MM. Rouché et Comberousse, dernière note, ou Baltzer, Théorie des déterminants.)

1° Si l'on désigne par d^^ le carré de la distance de deux points, l'aire S du triangle déterminé par trois points 1,2,3 est donnée par la formule

0 rf„ d,

d,, rf,, 0

0 d,, rf,3 d,.

^31 ds'2 0 d,.

On suppose d,,, — - di^.

2° Soit V le volume de la pyramide formée par les quatre points 1 ,2,3,4; on aura

On voit donc qu'en égalant à zéro les déterminants (15) , (16), on a les conditions pour que trois points soient en ligne droite, ou pour que quatre points soient dans un même plan. Ainsi, mises sous forme rationnelle, les deux relations offrent la plus grande ressemblance et ne diffèrent que par le nombre des variables.

Mais il y a plus : on sait que la première de ces relations, celle qui lie trois points d'une droite, peut être mise sous la forme irrationnelle

M. Cayley a fait remarquer qu'il y a une forme toute semblable pour la relation qui lie quatre points du plan; car si

2d2 SUR LES THÉORÈMES d'iVORV, RELATIFS

l'on désigne par A , B , € , M les quatre points, on aura évidemment

(17) ±lr.ABM± tr.BCM ± tr.ACM=: tr.ABC ,

et, en exprimant les triangles en fonction des côtés, on aura une équation irrationnelle contenant quatre radicaux. Soient r ,r\ r" les distances du point M aux points A,B,C,et«,6,c les côtés de ce triangle; l'équation (17) sera de la forme

(18) î'(r",r',a) + y(r, r",6) + y(r',r,c)r:r ?(a,fc,c). .

On voit donc que les formules analytiques confirment à bien des égards l'analogie que Jacobi a établie entre les propriétés focales des coniques et celles des quadriques.

En terminant, nous rappellerons encore une relation due à M. Gayley, et dont nous aurons besoin. L'équation entre les distances de quatre points d'un cercle, mise sous forme rationnelle, peut s'écrire

0 rf„ rf,3 (/j, ^21 ^ "'23 "'iK

rfu r/,, d,, 0

et la relation entre les distances mutuelles de cinq points situés sur une même sphère,

rf„ 0 d,, d,, d,,

dsi d,, f/,3 d,, 0

Ces dernières relations peuvent se mettre sous forme irrationnelle, comme toutes celles qui s'expriment en égalant à zéro un déterminant symétrique; mais nous ne nous occuperons pas, pour le moment, de cette question.

§iv.