DES PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES RELATIVES A LA TRANSFORMATION DE JACOBI

Les développements qui précèdent montrent, nous l'espérons, par quelle voie naturelle Jacobi a été conduit à la méthode de transformation dont nous avons parlé au commencement de ce travail. C'est cette méthode que nous allons maintenant développer, en essayant de lui donner toute la généralité et l'étendue possibles.

Soient trois points a , 6 , c , auxquels on fait correspondre trois autres points A , B , G . Jacobi démontre, dans le deuxième fragment publié par M. Hermès {Journal de M. Borchardt, t. 74, p. 179), que les deux triangles formés par les deux systèmes de points a, 6, c ; A,B,G peuvent être toujours disposés de manière que les points A et a , B et 6 , G et c forment trois couples de points correspondants sur deux coniques homofocales. Supposons, pour fixer les idées, que ces courbes soient les ellipses définies par les équations

ie) l + l-l^O,

Les coordonnées de deux points correspondants m , M sur les deux ellipses sont données par les formules

a; = a ces 9 ,

^ , X = AcoSî> ,

r = B sin y .

En attribuant à (ç> toutes les valeurs possibles, on obtiendra T. vni. i«

âl4 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

tous les couples de points correspondants. Nous supposerons que les trois couples (A , a) , (B , 6) , (G , c) correspondent aux valeurs 9', 9", 9'" de 9.

Gela posé, nous voulons étudier la méthode de transformation dans laquelle à un point m on fait correspondre un point M par les équations

(21) ma^Mk, mb = MB, mc=:MG.

Soient x , y , ^ les coordonnées de m ;

X,Y,Z celles de M .

L'équation

((x — a ces (pY -+- (îj — b sin coY -+- z^

(22) fJ \J J

\ =:(X — Acosy)^ + (Y — Bsioy)^ +Z'^

devra être satisfaite pour les trois valeurs 9', 9", 9'" de 9, et elle fournira, en y remplaçant 9 successivement par ces trois valeurs, la traduction analytique des trois équations (21). Or, l'équation (22), développée, prend la forme

a?^ + î/^ + 2' — X^-Y^ — Z^ — A'^-2cosî>(«^-AX) — 2sin?(&!/ — BT)r=0;

et, puisqu'elle doit être satisfaite pour trois valeurs de 9, elle doit être identique, ce qui donne les trois relations

^ ax =■ AX, by =:BY ;

et nous pouvons ainsi énoncer la proposition suivante, qui constitue une propriété des plus curieuses de la méthode de transformation :

Théorème VII. — Si l'on fait correspondre deux points M , m l'un à l'autre par la condition que les distances de m, à trois points de l'ellipse (e) soient égales à celles de M aux trois points correspondants de l'ellipse homo focale (E), la distance du point m à tout autre point de (e) sera égale à celle du point M au point correspondant de (E).

En d'autres termes, nous pouvons substituer, dans la définition de la transformation jacobiennej aux triangles primitifs

aôc , ABC , deux triangles correspondants quelconques pris sur les deux ellipses homofocales. Si l'on construit les deux cônes ayant l'un pour sommet m et pour base l'ellipse (e), l'autre pour sommet M et pour base (E), les arêtes de ces cônes passant en deux points correspondants des ellipses seront égales.

Nous allons voir qu'on peut ajouter, aux propriétés métriques qui précèdent, des propositions nouvelles et dignes d'intérêt.

Mais, auparavant, reprenons les formules (23) pour en tirer les coordonnées de l'un des points en fonction de celles de l'autre. Ces formules donneront alors soit AX BY

soit

ax V— ^^

Sous ces deux formes , elles donnent lieu à plusieurs remarques.

Nous appellerons première figure celle du point {x ,y ,^) ei de l'ellipse (e); deuxième figure, celle du point (X , Y , Z) et de l'ellipse (E); 'plan 'principal , le plan des ellipses (e) ou (E). On pourra supposer, si l'on veut, pour plus de netteté, que les deux figures soient dans deux espaces différents ou plus correctement dans deux parties différentes de l'espace.

4° A un point de l'une des figures correspondent en général deux points de l'autre, symétriques par rapport au plan principal. On n'a donc pas ici une transformation rationnelle.

2° Aux points m de la première figure, situés dans le plan principal ou plan de l'ellipse (e), correspondent, dans l'autre, d'après les formules (24), les points d'un hyperboloïde à une nappe (H), défini par l'équation XXX I Z^ X^ Y^ ^

216 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

On voit que cet hyperboloïde a pour focale l'ellipse (E) de sa figure et pour section principale une courbe égale à l'ellipse (e), et qui coïncide même avec cette ellipse, si les deux ellipses (e) , (E) sont supposées placées de manière à avoir les mêmes foyers.

Au contraire, au plan de l'ellipse (E) de la seconde figure correspond, d'après les formules (25), un ellipsoïde (G) ayant pour équation

/yi2 rt|2 ^2

ce qui montre qu'il a pour focale l'ellipse (e) de sa figure et pour section principale l'ellipse (E).

On voit donc que, dans la disposition particulière des deux figures où les ellipses (e) , (E) sont placées de manière à avoir les mêmes foyers, les deux quadriques (G) , (H) sont telles que chacune d'elles a pour focale la section principale de l'autre. • 3° A un point m de la première figure il ne correspond de point réel de l'autre que si le point de la première figure est à l'extérieur de l'ellipsoïde (G).

De même, à un point M de la deuxième figure il ne correspond de point réel de la première que si ce point M est dans celle des deux régions de l'espace déterminées par l'hyperboloïde (H), et où se trouve le centre de cet hyperboloïde.

Il résulte de là que l'ellipsoïde (G) ne correspond qu'aux points du plan principal de la deuxième figure situés à l'intérieur de la focale (e), et que de même l'hyperboloïde (H) ne correspond qu'aux points du plan de la première figure situés à f extérieur de (E).

4° On a identiquement et quel que soit u

u\a^ — u }f — u k^ — îi )

Donc :

Théorème VIII. — A une surface homo focale à (G) correspond une surface de la deuxième figure homo focale à (H).

Cette propriété montre que la transformation jacobienne est un cas particulier de la suivante. On a, dans deux portions de l'espace, deux systèmes de quadriques homofocales, et l'on établit une correspondance entre les points qui ont mêmes coordonnées elliptiques. Nous ne développerons pas cette remarque dans le travail actuel.

5* Aux points à l'infini de l'une des figures correspondent les points à l'infini de l'autre. Les formules de transformation peuvent en eff*et s'écrire, en introduisant les coordonnées homogènes,

pax=: AX , pbi/:=BY, pt = T,

p désignant un facteur de proportionnalité. On voit que

Théorème IX. — Au cercle de l'infini dans Vune des figures correspond le cercle de l'infini dans l'autre, de manière qu'à un point du cercle de l'infini correspondent deux points du même cercle dans l'autre figure.

Nous pouvons, pour le moment, nous borner à ces remarques, qui vont nous permettre de compléter l'exposition des relations métriques.

Considérons dans la première figure une sphère S ayant son centre dans le plan principal et définie par l'équation

(29) {x - «)' + {y — Pf -h z'' — R' = 0 . On aura identiquement

f {x-uy+{y—py + z'—R'

(30) < A« BS

et par conséquent, à la sphère proposée S correspondra une sphère S' , de rayon R' et de centre (a' , §' , 0) définis par les équations

218 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

D'ailleurs, l'identité (30) nous montre que les tangentes menées de deux points correspondants à deux sphères correspondantes sont égales. Par suite,

Théorème X. — Dans la définition de la transformation, on pourra remplacer les trois couples de points correspondants par des couples de sphères correspondantes ayant leurs centres dans le plan 'principal, et pouvant être choisies d'une infinité de manières; la condition que les distances ma ,Wk de deux points correspondants M j, m à deux points A , a soient les mêmes, sera remplacée par la condition que la tangente menée de m à la • sphère de la première figure soit égale a la tangente de Mate sphère correspondante de la deuxième figure.

En d'autres termes, la transformation de Jacobi peut se réaliser d'une infinité de manières, en remplaçant les triangles de points par des groupes de trois sphères. Alors les tangentes menées de deux points correspondants à deux sphères correspondantes devront être égales. '

Cette proposition étend beaucoup le cercle des applications et des conséquences de la méthode. Aussi allons-nous étudier la disposition et la grandeur des sphères correspondantes.

Réduisons à zéro le rayon R de la première sphère. Elle deviendra un point-sphère de la première figure, situé dans le plan principal.

Si ce point-sphère est situé à l'intérieur de la focale (e) , R' sera imaginaire; la sphère correspondante aura un rayon imaginaire, défini par la formule

Si, au contraire, le point-sphère est en dehors de la focale (e) de l'ellipsoïde (G) , à ce point-sphère correspond une sphère

réelle, doublement tangente à l'hyperboloïde (H), le double contact étant imaginaire tant que le point-sphère sera entre les deux ellipses (e) , (E) , et devenant réel si le point-sphère est en dehors de l'ellipse extérieure (E).

Un calcul facile établirait ce résultat ; il suffit de remarquer qu'une sphère de rayon nul coupant le plan suivant deux droites distinctes, à ces deux droites correspondent deux courbes distinctes (cercles) sur l'hyperboloïde (H); la sphère correspondante au point-sphère coupe donc l'hyperboloïde suivant deux courbes distinctes, et par conséquent lui est tangente en deux points qui sont les homologues du centre de la sphère de rayon nul.

Nous avons donc la proposition suivante :

Théorème XI. — Aux points du plan principal de l'une des figures, considérés comme des sphères de rayon nul, correspondent dans l'autre figure les sphères doublement tangentes à la quadrique qui correspond au plan principal de la première.

Ainsi, les points de la première figure situés dans le plan principal ont pour homologues les points d'un hyperboloïde (H). Donc aux sphères de rayon nul ayant leurs centres dans le plan correspondent, dans la seconde figure, les sphères doublement tangentes à l'hyperboloïde. De même qu'aux points du plan principal de la seconde figure correspondent les points de l'ellipsoïde (G) ; de même aux sphères de rayon nul de la deuxième figure, ayant leurs centres dans le plan principal, correspondent toutes les sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde (G). Donc :

Théorème XII. — Parmi les sphères de la première figure ayant leur centre dans le plan principal, celles qui sont tangentes à Vellipsoïde (G) se transforment en des sphères de rayon nul.

Dans les lignes qui précèdent, nous venons d'étudier les sphères jouant le même rôle que les points dans la transformation de Jacobi. On peut encore considérer àes plans donnant lieu à des propriétés métriques.

220 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS

On a, en effet, d'après les formules (24), l'identité

(32) max + nhy + p = wAX + wBY + p .

Ainsi, à des plans perpendiculaires au plan principal correspondent des plans jouissant de la même propriété. Remarquons même que deux de ces plans, les plans des xz et des yz, se correspondent à eux-mêmes. Mais la formule (32), convenablement interprétée, nous montre d'une manière générale que la distance d'un point {x , y) au plan

max + nhy + p = 0

est égale à la distance du point correspondant au plan correspondant, multipliée par un facteur constant. Donc,

Théorème XIII. — Dans la transformation de Jacohi, la distance d'un 'point à un plan perpendiculaire au plan des ellipses est égale à la distance du point correspondant au plan correspondantj multipliée par un facteur constant.

En résumé, dans la définition géométrique du mode de transformation, on peut remplacer toute condition relative à un couple de points correspondants {ma = MA) soit par la condition que la tangente menée de m à une sphère soit égale à la tangente menée de M à une autre sphère, soit par la condition que les distances des points m , M à deux plans soient dans un rapport constant.

Si nous distinguons les deux figures sous les noms de première et de seconde, nous voyons qu'à tout point de l'une correspondent deux points de l'autre; qu'au plan des deux ellipses (e),(E) dans la première, correspond l'hyperboloïde (H) dans la seconde; qu'au plan des deux ellipses dans la seconde correspond l'ellipsoïde (G) dans la première; qu'à toute sphère tangente à cet ellipsoïde correspond dans la seconde figure un point-sphère (à l'extérieur de l'ellipsoïde si la sphère est réelle et tangente en deux points réels; entre (e) et (E) si, la sphère étant réelle, le contact est imaginaire; à l'intérieur de (e), si le carré du rayon de la sphère est négatif); qu'à tout plan per-

pendiculairc au plan principal correspond un plan perpendiculaire au plan principal; qu'à toute sphère ayant son centre dans le plan principal correspond une sphère jouissant des mêmes propriétés; et enfin que les distances de deux points correspondants à deux plans correspondants sont dans un rapport constant, et les tang-entes menées de deux points correspondants à deux sphères correspondantes sont égales.

Ajoutons que, à des surfaces homofocales à Tellipsoïde (G), correspondent des surfaces homofocales à Fhyperboloïde (H), et qu'à toute sphère tangente à l'une de ces surfaces (et ayant son centre dans le plan principal) correspond une sphère tangente à la surface correspondante au point homologue du point de contact.