EXTENSION DES THEOREMES DE JACOBI

Les propositions précédentes étant admises, les applications deviennent extrêmement simples. Les premières doivent se rapporter à l'ellipsoïde (G), dont les points correspondent par couples aux points du plan principal dans la seconde figure.

Si on prend la distance d'un point m de l'ellipsoïde à trois points a , b ,c delà, focale, à ce point m correspond un point M du plan à l'intérieur de la focale; donc, si l'on désigne par A , B , G les points de la section principale (E) correspondants a a , b , c , on a

M A = ma , MB == mb , MG = me .

C'est le théorème de Jacobi, déjà énoncé. Il y a la même relation entre les distances d'un point de Vellipsoide à trois foyers qu'entre les distances d'un point du plan principal aux trois points correspondants pris sur la section principale de l'ellipsoïde (G).

Mais les principes précédents nous permettent de généraliser

le théorème. Prenons trois points a ,h , c quelconques dans le plan principal ; à ces trois points, considérés comme appartenant à la seconde figure, correspondent trois sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde G. Donc :

Théorème XIV. — Ily a la même relation entre les distances d'un point de Vellipsoïde à trois sphères d'une même série doublement tangentes à V ellipsoïde qu'entre les distances d'un point variable d\n plan à trois points fixes de ce plan.

Si les sphères doublement tangentes se réduisent à des points, on retrouve le théorème de Jacobi. La propriété actuelle est évidemment la généralisation de cette proposition de la théorie des coniques :

La somme des tangentes menées d'un point d'une conique à deux cercles doublement tangents (dont les cordes de contact sont parallèles) est constante.

Enfin, si on prend dans la seconde figure trois sphères doublement tangentes à Thyperboloïde H, ces sphères correspondent à trois points de la première figure, et l'on a la nouvelle proposition :

Théorème XV. — Il y a entre les distances d'un point de V ellipsoïde (G) à trois 'points situés à V extérieur de la focale (e) la même relation qu'entre les tangentes menées du point correspondant du plan à trois sphères réelles ayant leur centre à l'extérieur de la focalCj au aux trois cercles, sections de ces sphères par le plan principal.

Dans le cas où l'un des points choisis est à l'intérieur de la focale, la sphère correspondante est imaginaire. Mais on sait que la tangente menée d'un point d'un plan à un cercle de rayon Ri est égale à la distance de ce point à un point fixe et réel, pris en dehors du plan. Ici cette proposition est évidente, car la distance d'un point m de l'ellipsoïde à un point a pris à l'intérieur de la focale est égale à la distance du point M du plan, correspondant à m, au point A de l'ellipsoïde correspondant au point a du plan. Nous avons donc la proposition de Jacobi :

Théorème XVI. — Il y a entre les distances d'un point de l'ellipsoïde à trois points à l'intérieur de la focale la même relation qu'entre les distances d'un point du plan principal à trois points pris en dehors du plan (qui sont les correspondants sur l'ellipsoïde des trois points pris à l'intérieur de la focale).

Je me dispense d'énoncer les propositions, évidentes d'après ce qui précède, relatives soit au cas où les points seraient en partie à l'intérieur, en partie à l'extérieur de la focale, soit au cas où ils seraient remplacés par des sphères de rayon arbitraire. Enfin, j'ajouterai qu'on peut étendre aussi à l'ellipsoïde les relations entre les distances dans lesquelles figurent plus de quatre points.

Théorème XVII. — Toute relation existant entre les distances d'un point variable du plan à des points ou à des cercles et à des droites du plan, se transformera en une relation métrique relative à V ellipsoïde.

Citons, par exemple, la proposition suivante : Les courbes homofocales à la section principale de (G) sont telles que la somme des distances d'un de leurs points aux deux foyers soit constante. Aces courbes correspondent sur l'ellipsoïde (G) les lignes de courbure; aux deux foyers correspondent les deux sphères tangentes aux ombilics de l'ellipsoïde. On a donc ce théorème, énoncé par M. Valson :

La somme ou la différence des tangentes menées d\n point de l'ellipsoïde à deux sphères fixes tangentes aux ombilics est constante pour tous les points d'une ligne de courbure.

De plus, pour chaque ellipse du plan, il y a un rapport constant entre la distance à l'un des foyers et la distance à la directrice correspondante. Donc :

Pour chaque ligne de courbure de l'ellipsoïde, il y a un rapport constant entre la tangente menée d'un point à Vune des deux sphères fixes et la distance de ce point à un plan directeur variable avec chaque ligne de courbure.

On sait que, dans le plan, le carré de la distance de deux points se décompose en deux facteurs linéaires. De même, sur

l'ellipsoïde, le carré de la tangente menée d'un point à une sphère doublement tangente est proportionnel aux distances du point à deux plans, qui sont ceux des cercles suivant lesquels la sphère coupe l'ellipsoïde.

On pourrait, on le conçoit, multiplier les théorèmes de ce genre. Tel n'est pas notre but.