VI

DE LA TRANSFORMÉE D'uN PLAN.

Soit un plan considéré comme appartenant à la seconde figure, et défini par l'équation

mX + w Y -I- p Z + ^ = 0 .

A ce plan correspondra, d'après les formules (25), la quadrique représentée par l'équation

Cette surface est, comme on voit, inscrite à l'ellipsoïde (G) suivant une courbe dont le plan est perpendiculaire au plan principal de la transformation. La section principale de cette surface est tangente à celle de l'eUipsoïde (G). Sa focale est tangente à celle de (G) en deux points qu'il est facile de construire, et qui sont les correspondants sur la focale des deux points où le plan coupe la section principale (E).

Mais il est facile de compléter ces résultats et de démontrer la proposition suivante :

Théorème XVIII. — La quadrique de la seconde figure qui correspond au plan P de la première est égale en dimensions à la surface (G') ayant pour focale la section F de l'ellipsoïde (G) de la première figure par le plan P et passant par la focale de cet ellipsoïde (G).

Cette surface (G'), do)it l'existence a d'ailleurs été déjà démon-

AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND DEGRfi. 225

trée (§ I^^), est aussi engendrée par une des lignes de striction de la développable circonscrite à sa focale ¥ età une sphère variable doublement tangente à V ellipsoïde (G).

On peut encore la considérer comme engendrée par les deux points communs à toutes les sphères ayant leur centre sur sa focale ¥, et orthogonales successivement à chaque sphère doublement tangente à V ellipsoïde (G).

Cette triple proposition nous donne d'une manière élégante, non la position, mais les dimensions de la surface correspondante à un plan. La démonstration résulte des principes que nous avons posés.

Soit P un plan de la deuxième figure qui coupe l'ellipsoïde (G) suivant une courbe F. Si l'on considère toutes les sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde et tangentes au plan P, ces sphères se transformeront dans la deuxième figure en une suite de points-sphères situés dans le plan principal, et formant la focale de la quadrique P' correspondante au plan P. Soit M' un point de cette surface, et soit M le point homologue situé dans P. Soient A , B , G les points de contact de trois des sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde et au plan, avec ce plan ; A', B', G' les points correspondants dans le plan principal. Alors les tangentes menées d'un point du plan P aux trois sphères seront égales aux lignes MA , MB , MG , et, d'après nos propositions, on devra avoir

MA = M'A' , MB = M'B' , MG — M'C'.

La surface transformée P' sera donc telle qu'il y aura entre les distances d'un de ses points M' aux trois points A', B', G' la même relation qu'entre les distances d'un point M du plan P à trois points A , B , G de ce plan. Ainsi, il est démontré géométriquement que le surface P' sera une quadrique ayant pour focale la courbe des points-sphères correspondants aux sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde et tangentes au plan P.

Remarquons maintenant que, si le point M se déplace dans le plan P sur la courbe F de section de l'ellipsoïde (G) par le plan, le point M' se trouvera nécessairement dans le plan

226 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS

principal. On voit donc que la section principale de P' est la courbe correspondante dans le plan principal à la section F de (G) par P; et comme, lorsque le point M décrit cette courbe F, le point M' reste dans le plan A' B' C des trois points A', B', G', on peut conclure que la courbe focale de P' est égale à F, et par suite que P' est égale à la surface (G') ayant F pour focale et pour section principale la courbe, lieu des points de contact A , B , C des sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde et tangentes au plan P. Cette section principale a d'ailleurs deux points communs avec la focale, qui sont les deux points-sphères tangents à la fois à la surface (G) et au plan P. La surface (G') contiendra donc la focale de l'ellipsoïde (G), et il serait facile d'établir de la même manière les autres propriétés que nous avons indiquées.

Les conséquences de la proposition précédente sont nombreuses. On voit, par exemple, qu'à tout plan tangent à l'une des surfaces (G), (H), par exemple à (G) dans la première figure, correspond dans l'autre une surface dont la focale se réduit à deux droites, c'est-à-dire un cône circonscrit. Par suite, aux tangentes de l'une des surfaces correspondent les tangentes de l'autre. Mais nous allons revenir sur cette proposition.

Remarquons aussi cette conséquence simple : c'est que, si l'on a sur une ellipsoïde une section plane, la conique formée par les points correspondants au plan principal aura même distance focale que cette section plane; d'où il suit que :

Théorème XIX. — Deux sections planes correspondantes d'ivory sur deux ellipsoïdes homofocaux ont même distance focale.