DE LA. COURBE CORRESPONDANTE A UNE LIGNE DROITE

Il est clair qu'à toute droite perpendiculaire au plan principal correspond une droite de position semblable; à toute

droite dans le plan xy correspond une section conique située dans un plan normal à xy. Mais prenons le cas général.

Soit une droite appartenant à la première figure et coupant l'ellipsoïde (G) en deux points A , B. Le plan mené par cette droite normalement au plan principal aura pour correspondant un plan semblable; tout autre plan contenant la droite aura pour correspondante une quadrique. Donc à toute droite correspond une section conique, située dans un plan normal au plan principal, et qu'on reconnaîtra facilement être tangente en deux points à l'hyperboloïde (H), homologue dans la deuxième figure du plan principal de la première.

On démontrera, par les mêmes considérations que précédemment, la proposition suivante :

Théorème XX. — La conique U correspondante à la droite AB a pour grand axe la droite A' B' des points k' , B' correspondants à k yB; sa distance focale est égale à AB, et enfin la courbe U' focale de cette courbe est le lieu, dans le plan principal, des pointssphères correspondants aux sphères tangentes à l'ellipsoïde et à la droite AB en même temps.

En effet, si l'on prend deux des sphères doublement tangentes à l'ellipsoïde et à la droite, pour tout point de la droite la somme ou la différence des tangentes aux deux sphères sera constante (et égale au segment de la droite compris entre les deux points de contact des deux sphères). Donc, dans la figure correspondante, aux deux sphères correspondent deux points, et la différence des distances d'un point de la courbe U à ces deux points est constante.

De même, la somme ou la différence des distances d'une sphère variable tangente à l'ellipsoïde et à la droite, à deux points fixes de la droite est constante (et égale au segment de la droite compris entre les deux points). Donc à cette sphère variable correspond un point de la courbe U', et cette courbe est telle que la somme des distances d'un de ses points à deux points fixes de la courbe U, correspondante à la droite, soit constante. Ce sont les propriétés des courbes focales.

228 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

Ce théorème montre que, dès que la droite AB sera tangente à r ellipsoïde (G), elle aura pour correspondante deux tangentes symétriques à l'hyperboloïde (H). Ainsi les tangentes aux deux surfaces se correspondent de telle manière qu'à toutes les tangentes menées par un point (A) à l'une d'elles correspondent toutes les tangentes menées par le point correspondant à l'autre.

En d'autres termes, au cône circonscrit à l'une des surfaces correspondent les deux cônes circonscrits à l'autre ayant pour sommets les deux points correspondants au sommet du premier cône.