DES FIGURES CORRESPONDANTES EN GENERAL

A une surface, considérée comme appartenant à l'une des figures, et symétrique par rapport au plan principal, correspond évidemment une surface de même ordre, symétrique par rapport au plan principal de sa figure. Mais une surface I d'ordre n, non symétrique par rapport au plan principal, a pour homologue une surface 1' d'ordre double 2n. Cette surface JJ est tangente à la quadrique de la figure où elle se trouve [soit l'ellipsoïde (G) , soit l'hyperboloïde (H)], en tous les points d'une courbe d'ordre 2n, qui correspond à la section de la surface 2 par le plan principal. Mais nous n'insistons pas sur ces propriétés, que nous rencontrerons plus loin dans l'étude de transformations plus générales, et nous allons passer à l'examen de quelques cas particuliers.

A une surface E du second degré, non symétrique par rapport au plan principal, correspond une surface du quatrième ordre, 2' , dont on reconnaît sans peine les propriétés. Cette surface 2' correspond, à proprement parler, non-seulement à la surface E, mais à l'ensemble formé par cette surface et sa symétrique Zj par rapport au plan principal. Les deux surfaces 2 , 2, consti-

tuent une surface dt» quatrième ordre ayant deux coniques doubles :

4^ La section de 2 par le plan principal. A cette courbe correspond la ligne de contact de la surface 2' avec la quadrique (G) ou (H) de l'autre figure.

2° Une autre conique double, dont le plan est perpendiculaire au plan principal, et qui complète l'intersection de 1 et de sa symétrique 1^. A cette conique double correspond une courbe double de 1' , située dans un plan perpendiculaire au plan principal.

Donc à une surface 1 du second degré, non symétrique par rapport au plan principal, correspond une surface du quatrième ordre à conique double, et n'offrant pas d'ailleurs d'autre singularité. Supposons, pour fixer les idées, que cette quadrique 1 soit dans la première figure ; alors elle coupe en quatre points la conique focale de (G), et, en considérant les distances à trois de ces quatre points, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème XXÏ. — Il y a entre les distances d'un point d'une surface de quatrième ordre à conique double, ayant un plan de symétrie à trois de ses foyers, la même relation qu'entre les distances d'un point variable d'une surface du second degré à trois de ses points fixes. '

Mais nous étudierons plus spécialement la sphère qui donne, parla transformation actuelle, une surface remarquable, la surface du quatrième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double, surface que nous avons proposé d'appeler cyclide (du nom de la cyclide de M. Dupin, qu'elle comprend comme espèce particulière).

Soit donc une cyclide (G) ayant un plan principal, le plan de symétrie, et supposons que l'hyperboloïde (H) ait été choisi dans la série des surfaces du second degré inscrites à cette cyclide. Alors la surface transformée de la cyclide aura une courbe double correspondante à la courbe de contact de (G) et de (H) ; elle se décomposera donc en deux sphères

230 SUR LES THÉORÈMES u'iVORY, RELATIFS

symétriques l'une de l'autre par rapport au plan principal. On voit donc qu'on peut faire dériver toute cyclide à plan principal d'une sphère non symétrique par rapport à ce plan.

Cela posé, soit S cette sphère, et supposons qu'elle coupe la focale (e) de l'ellipsoïde (G) en trois points a , § , 7. A ces trois points correspondent trois foyers de la cyclide. A un point m de la sphère correspond un point M de la cyclide. Donc :

Théorème XXII. — Il y a la même relation entre les distances d'un point d'une cyclide à plan principal à trois de ses foyers, situés dans ce plan, qu'entre les distances d'un point variable d'une sphère à trois points fixes de cette sphère.

Nous donnerons plus loin d'autres méthodes permettant d'obtenir les propriétés métriques relatives aux cyclides les plus générales.

Nous avons vu qu'à une surface du second degré correspond en général une surface du quatrième ordre à conique double. Cette dernière surface ne se décompose en deux surfaces du second ordre que si la première surface est inscrite à l'ellipsoïde (G). Cette proposition, à peu près évidente, sera d'ailleurs démontrée plus loin.

Ainsi , une surface du second degré Q' ne correspond à une autre surface du second degré Q que si cette dernière est inscrite à l'ellipsoïde (G), faisant partie de la figure où elle est tracée.

Cela posé, prenons, sur deux surfaces homofocales (A) , (A'), deux sections planes G , G', formées de points correspondants suivant la définition d'Ivory; soient a , a' deux points correspondants quelconques sur les deux sections G , C. Si l'on prend deux points m , m' correspondants sur les deux ellipsoïdes en dehors des deux sections, on aura

a' m = am' .

On peut donc constituer une méthode de transformation jacobienne en prenant trois points sur c et les trois points correspondants sur c' , ce qui explique pourquoi, d'après une

AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND DECRl':, 231

proposition déjà démontrée, les coniques C , C ont la même distance focale. De plus, d'après le théorème d'Ivory, l'ellipsoïde (A'), considéré comme appartenant à la figure de la section C, aura pour correspondant (A') appartenant à la figure de la section G'.

Au plan de C correspond une quadrique (Q') ayant C pour focale, et pour section principale une conique égale à C ,

Au plan de C correspond une quadrique (Q) ayant C pour focale, et pour section principale une conique égale à G'.

D'après la remarque faite plus haut, puisque à la surface (A') correspond une surface du second degré (A), il faut que (A') et (Q) soient inscrites l'une à l'autre. De même (A) et (Q) seront tangentes en tous les points d'une courbe plane. Donc :

Étant donnée sur une su7'face (A) une section plane C, toutes les surfaces (Q) ayant pour focale cette section plane seront inscrites dans des surfaces (A') homofocales à (A), et les courbes correspondantes de la section G sur les surfaces (A') seront égales aux sections principales des surfaces (Q).

Ge théorème a déjà été trouvé par une autre méthode au .§ P'^. Ajoutons quelques remarques destinées à le compléter.

D'abord, il est facile de construire la courbe de contact de chaque surface Q. Soient en effet (A) , (A') les deux surfaces homofocales, G, G' les deux sections correspondantes sur les deux surfaces. La distance d'un point M de Q à un point a de G sera égale à la distance du point correspondant, dans le plan de G', M' au point a' , de G', homologue de a. Le point M ne se trouvera sur (A') que si le point correspondant se trouve sur (A) [puisque (A) correspond à (A')]. Donc, la courbe de contact sera la correspondante de la section de (A) par le plan de G'. Le complément de ce théorème, donné dans le § P'^, se démontre aussi sans peine au moyen des remarques précédentes.

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