IX
d'une transformation générale, comprenant comme cas particulier
celle de jacobi.
On peut imaginer une méthode de transformation dans laquelle les points correspondants dont nous appellerons les coordonnées homogènes X^ , X^ , X^ , X^ pour le premier, x^,x,,x^^ x,^ pour le second, sont liés Tun à Tautre par les équations
(Z2>) p Xi = On Xi + Clii x^ -\- an x-i + Ha a?4 + f^i K ^ , («' — 1 , 2, 3, 4) ,
où 0 est une fonction homogène et du second degré des quantités Xi ; hi et ciirj, des constantes quelconques.
La transformation ainsi définie fait partie de la classe de celles qui font correspondre à un point de chaque figure deux points de l'autre.
Pour établir ce résultat, il faut déduire des équations (33) les quantités Xi en fonction des coordonnées X,-, et, pour cela, on commencera par considérer 0 comme connu ; les formules (33) détermineront les a?, en fonction linéaire de X,- et de |/ ù . En substituant ces valeurs dans û , on obtiendra les formules
(34) p Xi = ki,X,-h h Bi \/~ ,
de môme forme que les précédentes. Mais c'est ce qu'on verra plus simplement encore en ramenant les formules (33), par des changements de coordonnées ou des transformations homographiques, à leur forme la plus simple.
D'abord, en éliminant |/û entre la première des équations (33) et les suivantes, et prenant pour coordonnées nouvelles des fonctions linéaires des anciennes, les formules deviennent
(35) pX, = x,, p\, = x,, pX, = a\, pX^^Vù.
En second lieu, on peut disposer de x^ de telle manière que ù prenne la forme
ù zzz daf^ + ? (^1 , a?2 5 x^) .
Enfin, si Ton soumet x^, x.^, x^ ,'X.^,\,X^ à une même transformation qui ramène 9 {x^ , x^ , x^) à une somme de trois carrés, on aura les formules les plus simples convenant à la transformation générale définie d'abord,
{^Q)px, = X,,px, = X,,pX, = X,,px, = \/X,'-i-X,'-hX,' + X,\ L'inversion de ces formules s'effectue sans difficulté, et donne
(37) pXi=Xi , pX,^=:X^, pX^=zX^, pX,,= Vx!,^ — Xi^ — X^^ — ÏC3'.
Ces formules sont, au fond, celles que nous avons employées (24) , (25). La transformation générale actuelle, qui paraît contenir un grand nombre de constantes, se ramène donc, après des transformations homographiques, à celle qui a été étudiée par Jacobi. Mais les formules projectives que nous obtenons ici se prêtent mieux que les précédentes à l'étude de la transformation ; elles indiquent le véritable caractère de cette méthode, et c'est ici le lieu de développer d'une manière complète les propriétés relatives à la correspondance de deux figures.
A un plan
2 «i Xî = 0
de la figure (X) correspond , en général , la surface du second degré définie par l'équation
(aj X^ + a, iCj + «3 X^y = « J- {X^^ — X^ — X^ — X^') .
Au plan X^^O, qui est l'une des faces du tétraèdre auquel sont rapportés les points X, correspond la surface
De même au plan ic^, = 0 de la première figure {x) correspond la quadrique
Q =ri Xi^ -f- X.;- + Xj^ + x;- = 0 .
234 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS
Aux plans de la figure (X) qui passent par le point (Xi 1= X^ = X3 = 0) correspondent des plans passant par le point (a?i z=x^ = jo.^ = Q) de l'autre figure.
Mais à des plans quelconques de l'une des figures, {x) par exemple, correspondent dans l'autre des quadriques inscrites dans une quadrique fixe ^.
En général, à toute surface d'ordre n, admettant le plan X^ pour plan harmonique, avec le sommet opposé du tétraèdre (Xj , X2 , X3 , X,^) pour pôle harmonique, correspond dans l'autre figure une surface de même ordre.
Mais à une surface 1 d'ordre n, n'admettant pas le plan X^ pour plan harmonique (c'est-à-dire dont l'équation contient des puissances impaires de X,,), correspond une surface d'ordre double 2w, inscrite à celle des quadriques Q , (*>] qui fait partie de la figure dans laquelle elle est tracée.
L'équation de la surface 2 peut en effet s'écrire
(38) M + NX, =r 0 ,
où M , N ne contiennent que des puissances paires de X^, et se transformeront par conséquent en des polynômes rationnels M, , N,, du même degré enXi. Alors la surface 2', correspondante à J, sera définie par l'équation
(39) M, + N, K« = 0 , ou M^^ — N,* « = 0 .
On voit qu'elle est tangente à la quadrique « en tous les points où elle la rencontre.
Mais il y a un point essentiel dans l'étude de cette méthode de transformation : il est important de chercher dans quel cas la surface 1', correspondante de 1, pourra avoir des points doubles ou des courbes doubles.
Soit
l'équation de la surface 2'. L'équation du plan tangent s'ob-
tiendra en égalant à zéro rf2', et par suite il n'y aura de point double que si dl' est nul identiquement. Or on a
/ dl' = d.(M. + N, l/«) (m, — N, VZ)
\ + (M,-Ny«)rf(M. + Nyi) .
dl' sera donc identiquement nul :
1° Si l'on a à la fois
(42) M, + Ni K« = 0 , M, — N, |/« =: 0 , sans que
(43) d (m. -+- N, |/Ti) , d {m, + Ny Ô)
puissent devenir infinis ; 2° Si l'on a
(44) m^ + nyù=zo , d(m, + Nyù) = o
(le radical pouvant avoir le double signe), et dl' ne sera identiquement nul dans aucun autre cas. Examinons successivement les deux hypothèses.
La première se décompose en deux. Supposons d'abord Ml = 0 , Ni ~ 0; alors dl' est nul; on a une courbe double, correspondante à la ligne de la première figure M = N = 0. Ce premier résultat est facile à expliquer; les points de la première figure définis par les équations
sont à l'intersection de la surface 2 avec sa symétrique 1^ (harmonique) par rapport au plan X,,. Or, comme c'est l'ensemble de E , 2i qui se transforme en 2' , on voit qu'une courbe double de 2 , 2i demeure courbe double , ce qui explique le résultat obtenu.
Les équations (-42) peuvent être aussi satisfaites si l'on a
(45) Ml rr: 0 , co == 0 ,
ce qui donne, d'après la formule (4i),
(46) di' = -^,'d^ .
236 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS
Donc, la surface 1' est taDgente à la surface w en tous les points d'une courbe définie par les formules (45), et qui correspond à la courbe de la première figure déterminée par les équations
M = 0 , X, rrz 0 .
Ainsi, la surface 1' est tangente et la quadriqiie w de la figure où elle est décrite^ en tous les 'points d'une courbe correspondante à l'intersection de la surface 1 avec le plan principal X^ de sa figure.
Si cependant N est nul pour tous les points de cette courbe où pour une portion seulement de ces points (la courbe se décomposant en deux parties), un examen plus complet devient nécessaire.
Soit
l'équation de la surface 2. Par hypothèse, les équations
MrzrO, N=::0, X.^O
peuvent être vérifiées simultan.ément par tous les points d'une courbe. On a donc, pour tous ces points,
d2 = dm;
et, comme M ne contient t|ue des puissances paires de T, on voit que le plan tangent à 1 est normal au plan X^ , c'est-à-dire va passer par le sommet du tétraèdre opposé à ce plan (X. = .X. = X3-0).
Donc, dans le cas où la surface 2 rencontre normalement le. plan X4 en tous les points d'une courbe (c'est-à-dire de telle manière que le plan tangent aille passer par le sommet opposé du tétraèdre), à cette courbe correspond sur 1' une courbe singulière.
Alors, la formule (4i) diflférentiée une seconde fois nous donne (47) d'i' = idM-' .
En d'autres termes, la courbe singulière est une courbe de rebroussement. Ainsi :
Théorème XXill. — Toutes les fois que la surface S coupe le plan X, suivant une courbe le long de laquelle le plan tangent va passer par le sommet opposé àX,, la surface S' a une courbe de rebroussement sur la surface (n correspondante à \. Dans tous les autres cas. S' est simplement inscrite à «.
Il reste à examiner la deuxième hypothèse, celle pour laquelle on a
M, + N, K^^ 0 , d{M, + N, l/^) = 0 . Ces équations sont équivalentes aux suivantes :
f U==M, + Nil/« = M + NX, , (48) \ â\] d\] d\] âV
\ dXi dx^ dx^ dx^
Les dérivées de U sont prises par rapport aux quantités Xi. On a d'ailleurs
dXi ^ d\k dXi et les équations (48) entraînent comme conséquence
^ ' dX, dX, dX, dX, '
tant que le déterminant fonctionnel
Aj 5 Aj , Aj , A.j \
est différent de zéro.
Ces dernières équations (49) définissent une courbe double de S. On voit donc que, à une courbe double de 2 correspond une courbe double de S', ce qui était évident a priori.
Mais, en outre, on voit que les équations (48) pourront être satisfaites, sans que les équations (49) le soient, toutes les fois que le déterminant A sera nul. Or, ce déterminant se réduit ici à
^^ Ko
