SUR LES CYCLIDES

La théorie des points correspondants d'Ivory et les propositions de Jacobi s'étendent à une classe remarquable de surfaces, les cyclides, déjà définies (§ VIII), qui sont les surfaces du quatrième ordre les plus générales admettant le cercle de l'infini pour ligne double. Comme on connaît peu de théorèmes relatifs aux propriétés métriques des surfaces de degré supérieur, je donnerai quelques développements sur cette extension des théorèmes de Jacobi et d'Ivory à une classe intéressante de surfaces.

J'ai montré dans un travail antérieur que l'équation de toute cyclide peut se mettre sous la forme

(51) 2 A,(|iy = 0 ,

où les cinq quantités S^ désignent les carrés des tangentes menées d'un point de l'espace à cinq sphères orthogonales deux

à deux, do rayons R,-. Ces variables S, constituent un nouveau système de cinq coordonnées homogènes, déterminant un point et reliées par l'équation identique

Réciproquement, cinq quantités S^ satisfaisant à cette identité déterminent toujours un point, pourvu qu'on les considère, non plus comme représentant les tangentes aux sphères, mais cinq quantités proportionnelles à ces tangentes. On voit d'ailleurs qu'avec le système actuel de coordonnées, l'équation des cyclides devient du second degré, ce qui constitue un grand avantage; car la forme même de l'équation se prête à la généralisation des propriétés connues pour les surfaces du second degré et à leur extension à cette nouvelle classe de surfaces.

C'est ainsi que les théorèmes démontrés au § P" s'étendent aux cyclides, et que l'on peut énoncer les propositions suivantes :

Théorème XXV. — Toute cyclide G' inscrite suivant une courbe sphérique à une autre cyclide G a ses cinq focales sur des cyclides homofocales à C.

Théorème XXVI. — Toute cyclide ayant pour focale une section sphérique d'une cyclide C est inscrite suivant une courbe sphérique à une des cyclides homofocales à G.

La démonstration de ces propositions est, pour ainsi dire, identique à celle que nous avons donnée (§ P^) des propositions analogues. Aussi la supprimerons-nous ; elle exige d'ailleurs quelques développements relatifs au nouveau système de coordonnées. On peut encore ajouter aux propositions précédentes la suivante, qui peut être considérée comme comprise dans le théorème XXVI, mais qui mérite d'être énoncée à part :

Théorème XXVIl. — Si une courbe sphérique A est tracée sur une cyclide ayant R pour focale, réciproquement R sera sur une cyclide ayant A pour focale, et on pourra associer à toute surface

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ayant A pour focale une surface qui lui sera inscrite et qui aura B pour focale.

Par exemple, si on prend sur une cyclide deux cercles appartenant à la même série, ils formeront la focale d'une cyclide à quatre points doubles (cyclide de M. Dupin), passant par la focale de la cyclide générale primitivement considérée. La série complète des cyclides à quatre points doubles ayant les deux cercles pour focale se composera de surfaces inscrites dans les cyclides générales inscrites à la première. C'est l'extension du théorème relatif aux cônes de même sommet circonscrits à des surfaces homofocales.

Signalons encore la proposition suivante : Si l'on coupe une cyclide générale A par un cercle G , les cyclides réciproques de cônes ou de surfaces de révolution ayant pour foyers les quatre points d'intersection de G et de A sont tangentes chacune en quatre points à une surface homofocale à A, qu'elles coupent suivant deux courbes sphériques.

Les applications des propositions précédentes sont très nombreuses. Je les réserve pour un autre travail.