DU THEOREME D IVORY POUR LES CYCLIDES
L'équation
représente, quand on y fait varier A, une série de cyclides homofocales. (Voir Comptes-rendus des Séances de l'Académie des Sciences, t. 73.) Donnons à 1 deux valeurs A', 1" ; ces deux valeurs détermineront deux cyclides, et nous appellerons j9om^5 correspondants sur ces deux surfaces ceux qui se trouvent à leur intersection avec une même courbe variable d'intersection de deux autres cyclides appartenant aux autres séries.
AUX SURFACES HOMOFOCALES nU SECOND DEGRl'î. 241
Si l'on appelle S,- , T,- les coordonnées respectives de deux points correspondants, on aura les égalités
S, Té
[/tti — y Vai — k"
analogues aux formules relatives aux quadriques. On aurait de même, pour un autre couple de points correspondants,
d'où
On voit que le rapport des puissances de deux points S; , S',par rapport à Tune des sphères S,- se conserve, quand on passe de ces deux points aux deux points correspondants.
Soient A , A' ; B , B' les deux couples de points correspondants. Les formules relatives à la distance de deux points dans le système actuel de coordonnées donnent
Ces formules, appliquées à un nouveau couple de points C,C', nous conduisent sans difficulté à la relation élégante
(54) AB' .BC .CA' =rBA' .CB' .AC.
Cette relation a lieu entre trois couples de points correspondants. Elle tient lieu du théorème d'ivory relatif aux quadriques et à deux couples seulement de points correspondants, et nous permettra de donner la généralisation des théorèmes de Jacobi.
Rappelons d'abord quelques propriétés des cyclides homofocales. On sait que, de même que parmi les surfaces homofocales du second degré, il y en a trois qui se réduisent à des plans doubles, il y a de même dans un système de cyclides homofocales cinq cyclides singulières qui se réduisent à des sphères doubles. Ces sphères sont les cinq sphères S,- , conte-
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liant les focales communes des cyclides , et les cyclides infiniment aplaties sont plutôt les portions de sphères comprises dans une même région par rapport à la focale f . Il y a là analogie complète avec les surfaces du second degré qui se réduisent, quand elles s'aplatissent, seulement à la portion du plan comprise à l'intérieur ou située à l'extérieur de la focale.
Cela posé, établissons la correspondance entre une cyclide G et la cyclide homofocale infiniment aplatie, de même que Jacobi établit la correspondance entre un ellipsoïde et la portion du plan principal à l'intérieur de la focale. A deux points A , B fixes de la section principale de la cyclide G (section de la cyclide par la sphère) correspondent deux points A' , B' de la focale f. A un point quelconque M de G correspond un point m de la sphère. On aura don^, en appliquant l'équation précédente, '^
MA' . AB' . Bm = MB' . BA' . km, ou , , MA' __ BA' km km ^
^ ^ i¥ ~ Â¥ * Bm "~ ' Bm '
En langage ordinaire, les distances d'un point de la cyclide aux foyers A' , B' , sont proportionnelles aux distances du point correspondant de la sphère aux points de la section principale correspondants aux foyers , multipliées par des constantes. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Théorème XXVIîI. — Il y a la même relation homogène entre les distances p , p' ^ p" > p" d'un point variable de la cyclide à quatre quelconques de ses foyers fixes qu'entre les distances, multipliées par des facteurs constants ar ^ br' , cr" , dr" d'un point variable de la sphère à quatre points fixes de cette sphère.
Nous avons obtenu plus haut la relation homogène qui lie les distances de cinq points de la sphère ou d'un point de la sphère aux quatre autres. En remplaçant dans cette équation r ,r' ,r" , r'" par ces quantités multipliées par des constantes, on aura l'équation d'une cyclide, exprimée entre les distances d'un point variable à quatre foyers fixes.
AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND DEGRft. 243
La proposition précédente est la généralisation de la suivante :
Il y a entre les distances d'un point d'une cyclique (^) à trois de ses foyers une relation de la forme
ar 4- \)f + cr" == 0 ,
c'est-à-dire de la même forme, à des constantes près, que celle qui relie les distances d'un foint variable d'un cercle à trois points fixes de ce cercle.
Il était utile de faire remarquer cette nouvelle analogie entre les propositions précédentes et celles de Jacobi. On peut d'ailleurs étendre encore ces propositions de la manière suivante :
Théorème XXIX. — Il y a, entre les dislances d'un point de la cyclide à quatre points quelconques d'une sphère principale, la même relation homogène qu'entre les distances (multipliées par des constantes) d\m point de la sphère â quatre points en dehors de la sphère.
Ces points en dehors de la sphère peuvent d'ailleurs devenir imaginaires, et alors les distances à ces points peuvent être remplacées par des tangentes à des sphères, etc.
Les théorèmes précédents, comme ceux qui sont relatifs aux quadriques, nous conduisent à une nouvelle méthode de transformation, dans laquelle, comme dans celle de Jacobi, à un point de l'une des figures correspondent deux points de l'autre. L'étude de cette transformation conduit, pour les cyclides, à des résultats semblables à ceux qui ont été obtenus précédemment pour les surfaces du second degré. Aussi nous contenterons-nous d'en dire quelques mots et de la rattacher à une transformation plus générale.
(') J'appelle cyclique toute courbe du quatrième ordre intersection d'une sphère et d'une surface du second degré, et toute transformée plane, par rayons vecteurs réciproques, d'une telle courbe. (Voir Comptes -rendus des Séances de l' Académie des Sciences, t. LXVIII, p. 1311.)
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