DUNE METHODE NOUVELLE DE TRANSFORMATION

Faisons correspondre à un point M, dont les distances à quatre points A , B , C , D sont R , R' , Pi" , R'", un autre point M' dont les distances aux quatre points A' , B' , C , D ' soient r ,r' , r" , r"', de telle manière que Ton ait

aVt^ a'R'' «"R"^ a"'R"''

Ces formules, ne contenant que les rapports des distances, font correspondre à un point deux points de l'autre figure, et, au moyen de deux transformations par rayons vecteurs réciproques, opérées dans les deux figures, elles pourraient être ramenées à la forme

aW a'R'^ a"R"

Sous cette forme, la nouvelle transformation ne diffère de celle que nous avons étudiée que par l'introduction des multiplicateurs a , a' , a". Mais nous conserverons les équations sous leur première forme, et même nous étendrons un peu la définition de notre transformation en fsupposant qu'au lieu de distances à des points, on prenne des tangentes à des sphères.

Désignons par S^, dans la première figure, une tangente à la sphère S», multipliée par une constante ; et de même par T.-, dans la seconde, une tangente à la sphère Tj, multipliée par un facteur constant. Alors les formules définissant notre transformation la plus générale seront

(j désignant un facteur inconnu de proportionnalité. Adjoignons aux quatre sphères S, une sphère S.^ , aux quatre sphères T,- une

sphère Ta . On sait qu'entre les cinq quantités S, a lieu une relation identique du second degré

et l'on peut évidemment choisir S^ de manière que cette relation prenne la forme (^)

De même, en choisissant convenablement T^ , la relation entre les cinq quantités T,- pourra s'écrire

Opérons sur les quantités S,- , T,- une transformation identique, qui ramène les deux fonctions ^ , ^ h des sommes de carrés. Les formules réduites de transformation seront enfin

p S, = Tj , p S, = T2 , ,0 S3 = T3 5 /) Si = T

hj,' + &,T/ + bj,' + bj^ -H bj,' — 0 .

Ces formules nous montrent qu'à une sphère dans l'une des figures correspond dans l'autre une cyclide. Les deux sphères Sg = 0 , Tg = 0 jouent le même rôle que les plans principaux dans la transformation de Jacobi. A ces sphères correspondent deux cyclides 0 , C)j , et toutes les cyclides correspondantes à une sphère quelconque sont inscrites à Q ou à Û^.

Nous nous contenterons d'avoir signalé ce nouveau mode de transformation, et nous énoncerons, en terminant^ la généralisation suivante du théorème de M. Valson :

Théorème XXX. — IL y a entre les tangentes menées d'un point dhine ligne de courbure de la cyclide à trois sphères fixes (tangentes chacune à la cyclide en deux ombilics) une relation de la forme

at+ a'V + a"t" = 0.

') Il suffit de prendre S^ orthogonale aux quatre autres sphères. T. VIII. 18

'i46 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS