CONSÉQUENCES NOUVELLES DE LA TRANSFORMATION DE JACOBI
La méthode de transformation de Jacobi conduit à une proposition intéressante qu'on peut énoncer ainsi :
Théorème XXXI. — Etant donnés dans un plan deux triangles kBC , abc et un point quelconque M, il n'existe pas, en général, dans le plan, de point m tel que ses distances aux trois points a ;b ,c soient égales respectivement à celles du pointM aux trois points A , B ,C. Cette propriété n'aura lieu que si le point M se trouve sur une conique, et alors le lieu du point m sera aussi une conique de même espèce que la première et ayant même distance focale.
Supposons, en effet, que les triangles ABC , a&c aient été disposés de manière à être correspondants sur deux courbes homofocales (E) , (e). Si l'on prend un point M dans le plan et qu'on détermine un point m dans le plan ou dans l'espace de telle manière que l'on ait
ma =^ MA, mb =^MB, me =:MC,
on sait que le lieu de ce point m sera une quadrique ayant pour focale la courbe (e), et pour section principale la courbe (E) circonscrite au triangle ABC. Le point m ne se trouvera donc dans le plan des deux triangles que s'il est sur la section principale (E) de la quadrique. Alors le point homologue M sera, d'après les propositions précédentes, le point correspondant sur la courbe (e) circonscrite au triangle abc.
La proposition suivante, devenue évidente après les développements que nous avons donnés, paraît aussi mériter d'être énoncée :
Théorème XXXIL — Si entre les points de deux courbes on peut établir une correspondance telle qu' en appelant M., m et W ,m'
deux couples de points correspondants, on ait toujours Mm' =W m, ces deux courbes sont des coniques de 7nême espèce et de mêmes foyers.
Nous sommes ainsi amenés, en généralisant, à nous proposer, pour Fespace, des questions semblables qu'on peut énoncer de la manière suivante :
Étant donnés deux tétraèdres ABGD , A'B'G'D', si l'on prend un point M dans V espace, il n'existe pas, en général, de point W tel que
AM — A'M', BM = B'M', CM=:C'M', DM^D'W,
à moins que le point M ne soit placé sur une certaine surface, et le point W décrira alors une autre surface de même nature. Déterminer l'espèce et les propriétés des surfaces lieux des points M, M'.
Pour ne pas mettre un trop grand intervalle entre l'énoncé et la solution de cette question, nous renverrons aux paragraphes suivants la démonstration de la proposition qui suit, sur ■laquelle nous aurons à nous appuyer :
Les deux tétraèdres ABGD ^ A'B'G'D' peuvent toujours être placés de manière que les points A^ A' ; B , B' ; G j G' ; D ^ D' soient correspondants sur deux surfaces de même espèce.
Dans cette étude rapide, nous écartons les cas particuliers, et nous supposerons que les tétraèdres soient inscrits dans deux ellipsoïdes homofocaux.
Soient
les équations de deux ellipsoïdes homofocaux (G) , (G'). On peut les déduire l'un de l'autre en employant la transformation homographique définie par les formules
^ ^ a Va^ + l b |/6^ + A c [/e'-hl
248 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS
qui fait correspondre en particulier aux points de Tellipsoïde (G) ceux de l'ellipsoïde (G').
Une troisième transformation, très utile, comme nous le montrerons, dans toutes les questions qui concernent le théorème d'Ivory, est la suivante :
On fait correspondre à chacun des ellipsoïdes la sphère
par les formul
es
Ka'4-x
Vb' + i
On voit qu'à un même point de la sphère correspondent les points des deux ellipsoïdes appelés correspondants par Ivory. Aux tétraèdres ABGD, A'B'C'D', pris sur les deux ellipsoïdes (G) , (G'), correspond de même un tétraèdre abcd pris sur la sphère de rayon 1.
Cela posé, soient a^j , ^i ,2^1 par exemple, les coordonnées de l'un des sommets a de ce tétraèdre. On aura, pour le point A ,
Xi =: aa?, , Y^ = b^J^, Z, = c^i ,
et pour le point A' correspondant.
X/ = \/a' + l .X,, Y,' =zVb^ + l.y,, Z/ = |/c*+ >.2..
Nous n'avons plus qu'à exprimer les conditions de la question telle qu'elle a été posée.
Il faut trouver deux points M , M' tels que MA = M'A', MB = M'B', etc. Exprimons la première de ces conditions. Soient X , Y , Z les coordonnées du point M ; X', Y', Z' celles de M'. On aura
MA' = X^ + Y^ + Z^— 2aXa;. — 26Y|/i — 2cZ^,
M'A' =:\'^ ~\-Y'^ + Z" — 'iV CK^ + I.T x. — 'iVV + I.Y' y, — 2 V'^+'l. z, Z' + {a^ + ),) x;- + {b' + 1) y,^ + (c'- + À) :f,^ .
En égalant les deux seconds membres et en tenant compte de la condition
on trouve
+ 2^,(X'l/fl-+> — Xrt) 4-2î/,(Y'|/FT^ — Y5) + 2 s, (Z' Kc^ + ).' — Zp) = 0 .
Cette équation doit être vérifiée pour les coordonnées x^ ,yi,z^ du point a de la sphère; mais elle doit Fêtre aussi quand on y remplace ces coordonnées par celles des autres sommets h,c,d. Comme elle est du premier degré et comme elle doit être vérifiée par les coordonnées de quatre points non situés dans un même plan, elle doit être identique, et Ton doit avoir les quatre équations
/ X'-f-Y^-hZ^=:X'^+,Y'' + Z'^ + >,
(61) I X J^ ^ Y y; ^ Z __ z^ ^ [Va'' + 1 a V¥+l h Ve + l c
d'où Ton déduit
xr Y^ ^îl — n
Les points M , M' doivent donc être placés sur les deux ellipsoïdes (G), (G'), et de manière à y être correspondants. En d'autres termes, on retrouve uniquement la solution qu'indiquait a priori le théorème d'Ivory.
250 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS
Théorème XXXIII. — Étant donnés deux tétraèdres, il existe dans l'espace une infinité double de couples de points, tels que les distances du premier aux sommets du premier tétraèdre soient égales à celles du second point aux sommets du second tétraèdre. Ces points décrivent chacun une surface du second degré, et ces deux surfaces ainsi obtenues ont mêmes focales, les sommets des deux tétraèdres étant des points correspondants sur les deux surfaces.
DES PROPRIETES RELATIVES AUX POINTS CORRESPONDANTS SUR DEUX QUADRIQUES HOMOFOCALES.
La méthode précédente nous conduit naturellement à une extension des propriétés des points correspondants, dont nous déduirons quelques résultats.
Étant donnés les deux ellipsoïdes (G) , (G'), nous avons vu que les points de l'un se déduisaient de ceux de l'autre par une transformation homographique, qui a été définie par les formules (59). Nous transcrivons ces formules
a Va'- + X b yb- + i c Vc- + "a
Cela posé, soient M , M' ; U , U' deux couples de points homologues dans cette transformation. Soient
X , Y , Z les coordonnées de M ;
X',Y',Z' de M';
« , P , 7 ;..... de U ;
a' , ^' , 7' de U' .
On trouve facilement la formule fondamentale
(62) M'Tf— mF'^X
Donc, si les points M , U sont sur (G) et leurs homologues, par conséquent, sur (G'), on a
