M'U = MU
C'est le théorème d'Ivory.
Mais le cas dont l'examen est nouveau est celui pour lequel un seul couple de points M , M' se trouve sur les ellipsoïdes (G) , (G'). Alors, en supposant que le point M soit sur l'ellipsoïde (G), la formule (62) devient
(61') M'U -MU'' = > (l---^-4) •
Ainsi, étant donnés en dehors des ellipsoïdes deux points homologues de la transformation homographique employée (59), la différence M' U — MU est constante pour tout couple (M, M') de points correspondants des ellipsoïdes (G) , (G').
Ce résultat peut s'énoncer d'une autre manière.
Soit dans la première figure une sphère
S=r (a? — «')' + (!/ — P')'+(--7')' — 5'' = 0 = MÛ'' — S'\
A cette sphère correspond une transformée homographique qui est une surface du second degré ; mais il est facile de démontrer que la tangente menée de tout jwint de l'ellipsoïde (G) à cette sphère S est égale à la tangente menée du point correspondant sur G' à une autre sphère S', qu'on peut appeler aussi correspondante de la première. Quand les deux sphères se réduisent à des points^ on retrouve le théorème d'Ivory.
On a, en effet, en se servant de la formule (61'), relative à des points correspondants ,
S = MU" — 5'-^ = M'U' — §^ , où
Si donc on pose
S' = {X — U.J + {y- p'Y + {%- Yf-^" = 0 ,
la sphère S' correspondra à S en ce sens, non que ces deux surfaces seront des transformées homographiques l'une de Tautre, mais que la tangente menée d'un point de (G) à la première sphère sera égale à la tangente menée du point correspondant à la seconde.
A un point-sphère (a , p , y) de la première figure, il correspondra, en général, une sphère dont le rayon, R', sera donné par réquation
et le centre (a ' , § ' , y') par les formules
On voit donc :
1° Qu'à un point intérieur à l'ellipsoïde (G) correspond une sphère de rayon imaginaire ayant son cejitre intérieur à (G');
2" Qu'à un point-sphère sur (G) correspond la sphère de rayon nul formée par le point correspondant sur (G');
3° Qu'à un point-sphère extérieur à (G) correspond une sphère extérieure à (G') et de rayon réel.
Au contraire, à un point-sphère de la seconde figure : 1° intérieur à (G') correspond une sphère réelle intérieure à (G); 2° extérieur à (G') correspond une sphère de rayon imaginaire extérieure à (G).
On déduit de là quelques conséquences simples. Ainsi, aux points de l'ellipsoïde (G) situés sur une sphère correspondent des points de (G') situés aussi sur une sphère, et par suite aux cercles de (G) correspondent des cercles de (G').
Les normales sont les rayons maxima ou minima qu'on peut mener d'un point à une surface. Aux normales menées d'un
point-sphère M à (G) correspondront les normales menées du point-sphère correspondant à (G'), c'est-à-dire que les 'pieds de ces normales seront des points correspondants sur (G) et sur (G') {').
On déduit encore des résultats qui précèdent une curieuse proposition, relative à l'attraction des ellipsoïdes.
Étant donné un point M , de ce point comme centre décrivons une sphère, S, de rayon arbitraire (dont le carré soit positif ou négatif); désignons par Ha tangente menée d'un point à cette sphère, et cherchons l'attraction d'un ellipsoïde sur le point M avec la loi d'attraction
r désignant la distance au point M.
Soient a , p , y les coordonnées du point M; la composante parallèle à l'axe des x de l'attraction de l'ellipsoïde (G) s'exprime, on le sait, par l'intégrale triple
dxdydz{x — «) ,.,,
étendue à tous les points à l'intérieur de (G). En intégrant une fois par rapport à x, l'intégrale prend la forme
jj dydz\^f{t,)-^{t\)]^.
fj ,^1 désignant les tangentes à la sphère S menées de deux points situés sur la parallèle à l'axe des x déterminée par les coordonnées y ,z. Or, notre ellipsoïde (G) peut se déduire de la sphère de rayon 1 par la transformation homographique déjà employée,
x-=al, y = bn , z=:c-ç,
(1) Voir le Mémoire de M. Cohn {Journal de Crelle, t. LIV, p. 329), où se trouvent des propositions analogues relatives aux coniques.
qui donne pour t^ , t\ des fonctions de | , yj , Ç, qu'il est inutile d'écrire. L'intégrale devient ainsi
Cela posé, considérons le point correspondant sur l'ellipsoïde (G). A la sphère S, décrite du point M comme centre, correspond une sphère S', décrite d'un autre point M', et la tangente t^, menée d'un point de (G), est égale à la tangente menée du point correspondant sur (G') à la sphère correspondante. D'ailleurs, ces deux points, se déduisant du même point de la sphère, | , t; , Ç, sont les mêmes pour tous les deux. Donc la composante X' de l'attraction, exercée par (G') sur le centre de la nouvelle sphère S' avec la même loi, sera
ou
X' =\/{b'-hl){c^-t\) .X.
On aura de même
Or, si l'on cherche l'attraction de (G) sur le centre de la sphère S avec la loi d'attraction indiquée, on pourra toujours disposer de X de manière que la sphère S' se réduise à un point, et l'on sera conduit à chercher l'attraction de (G') sur un'point avec la loi d'attraction y(r). On a donc la proposition suivante, que nous ne développons pas davantage pour ne pas allonger ce travail :
Théorème XXXIV. — Si Von sait trouver r attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point avec une loi d'attraction 9 (r), on saura aussi trouver l'attr'jction d'un ellipsoïde avec la loi d'attraction
Enfin, les propositions que nous avons démontrées nous
permettent de traiter d'une manière simple deux questions se rattachant d'une manière directe à celle que nous avons traitée •dans le paragraphe précédent.
D'abord, on considère deuoc 'pentagones dans l'espace. Y a-t-il des couples de points tels que les distances du premier point aux sommets de l'un des pentagones soient égales à celles du second point aux sommets correspondants du second pentagone?
Pour résoudre cette question, nous supposerons qu'on adjoigne un point à chacun des tétraèdres de la question précédente. On sera ainsi ramené à traiter la question suivante :
Parmi les couples (M , M') de points correspondants sur deux ellipsoïdes, trouver ceux qui sont tels que aM = a'M' ; a , a' étant d'ailleurs deux points quelconques.
A cet effet, nous remarquerons que a' M' est égale à la tangente menée du point M à une sphère S' correspondante à la sphère de rayon nul a'. On aura donc à chercher sur un ellipsoïde (G) le lieu des points M tels que la tangente menée à une sphère quelconque S' soit égalée la distance de ces points à un autre point quelconque, a. Ces points M sont sur la section conique intersection de (G) et du plan radical de la sphère S' et de la sphère de rayon nul a. Cette section conique est quelconque. Donc :
Théorème XXXV. — Étant donnés deux pentagones, si Von cherche les couples de points M , M' , tels que les distances d'un point M dx chaque couple aux cinq sommets du premier pentagone soient égales aux distances du point W aux cinq sommets du second, les points M , M' décrivent respectivement deux coniques ayant même distance focale, et sont correspondants sur ces deux coniques.
La question que nous venons de résoudre est identique à la suivante :
Étant donnés cinq couples de points correspondants dans la transformation de Jacohi, trouver les coniques qui servent de base à la transformation.
En second lieu, supposons que Von ait deux hexagones appar-
256 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS
tenant à deux figures différentes, et qu'on se propose de rechercher s'il y a des couples de points M , M', tels que les distances du point M aux six sommets de l'un des hexagones soient égales à celles du point M' aux six sommets correspondants du second. En raisonnant comme dans le problème précédent, nous serons conduits à rechercher, parmi les couples M , M' de points correspondants sur deux ellipsoïdes, ceux pour lesquels,
a , a', p , P' étant des points quelconques. En considérant ces deux équations séparément, on voit que les points M se trouveront à l'intersection de l'ellipsoïde (G) et de deux plans quelconques. Donc :
Théorème XXXVI. ' — Il y a en général deux couples de points tels que les distances de l'un des points de chaque couple aux six sommets d'un hexagone soient égales aux dislances de l'autre point aux six sommets d'un second hexagone correspondant aux sommets du premier.
