XV

SOLUTION d'un problème RELATIF A DEUX TRIANGLES.

Nous devons maintenant revenir sur une question qui a été réservée, et démontrer que deux tétraèdres peuvent toujours être disposés de telle manière que leurs sommets soient des points correspondants sur deux quadriques homofocales. Mais, avant de traiter cette intéressante question, nous examinerons, en prenant pour guide Jacobi, le problème analogue relatif à deux triangles, afin de développer, dans un cas simple, la méthode de solution que nous devons employer. Soient

les équations de deux coniques rapportées à leurs axes. Si elles sont homofocales, on aura

Cela posé, tout point de la première de ces courbes peut être représenté par les formules

(66) X^=mx, Y=:ny,

où

oo' + î/=i; (C),

et alors le point correspondant de la seconde conique (E') sera donné par les formules

(67) X' =m'oc, Y' =n'îj .

On peut tirer de ces formules quelques conséquences qui rendront plus claires les discussions ultérieures.

On voit d'abord que les deux courbes (E) , (E') peuvent être considérées comme des transformées homographiques du cercle (C). La courbe (E) en dérive par les formules (66) ; la courbe (E'), par les formules (67); et les points corres'pondants sur les deux courbes sont les homologues d'un même point du cercle.

Ainsi, étant données les courbes homofocales

tw+'k w + 1

chacune d'elles peut se déduire du cercle (C) par une transformation homographique spéciale

X — Viif -^l.x , Y = Vn' +>.?/,

et un même point du cercle a pour homologues sur deux courbes distinctes les deux points correspondants d'Ivory.

Toutefois, il importe de remarquer qu'à un point réel de la conique ne correspond un point réel du cercle que si m ,n sont réels, c'est-à-dire si la conique est une ellipse. Par suite, à trois points pris sur une hyperbole correspondront sur le cercle trois points imaginaires, dont les distances pourront

2S8 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY. RELATIFS

bien être réelles ; mais avec ces trois distances on ne pourra jamais construire un triangle. Si le triangle est, en effet, possible, le cercle circonscrit est le cercle (G), et Ton peut établir la correspondance homographique entre les sommets réels du triangle et les points réels de la conique. La conique est donc nécessairement, dans ce cas, une ellipse.

Cela posé, soient ABC , A'B'C deux triangles donnés, et proposons-nous de chercher si ces deux triangles peuvent être placés de manière que les sommets A et A', B et B', C et G' soient correspondants sur deux coniques homofocales. Soient données les ellipses (E) ,(E'), et voyons si on peut déterminer les axes et trois couples de points correspondants A , A' ; B , B'; C,C', de telle manière que les triangles ABC , A'B'C soient égaux aux triangles donnés.

Soient x , y; x' , y' ; x" , y" les coordonnées des trois points A",B",C" du cercle (C) correspondants aux points A , A' ; B , B' ; C , C sur les deux ellipses. Nous désignerons par a,b,c; a', 6', c' les côtés des triangles donnés ABC, A'B'C , et par a" , b" , c" les côtés inconnus du triangle A"B"C". On aura

a' = m^ {x' — X " y 4- n"" {y'—y")\ a''^=m'\x' — x'Y + n'^iy' —y")- .

En joignant à ces équations celles qui donnent b\ b'\ c*, c'\ et les trois qui expriment que les points A", B", G" sont sur le cercle (C), on aura neuf équations pour déterminer neuf inconnues, à savoir,

^ ,y }^' >y' 1^" >y" fm,n,p.

Nous allons résoudre ces équations, en employant des considérations géométriques qui expliqueront toutes nos opérations, et rendront certains calculs inutiles, en faisant prévoir le sens et le résultat de ces calculs.

Des équations précédentes on déduit

a'^ — a'- = pA {x> —x"f^-{ij' —y"Y \=pUi"^ .

On a donc

Posons, avec Jacobi,

(69) u — ir — a\ 'D=b'"^ — b', w = c'^ — c\

on aura

Vuzi^pa" , Vv=-i)b" , Vio^zpc' .

Donc, le triangle, réel ou imaginaire, construit avec les trois côtés l^u , V^v , Vw , sera semblable au triangle auxiliaire A"B"C" du cercle (C) ; le rapport de similitude/) est égal au rapport des rayons des cercles circonscrits, c'est-à-dire au rayon du cercle circonscrit au triangle {Vu , Vv , i^w) , ce qui donne la formule

(71) IB "Sr =^^viv + 'luw + '^uv — îi' — v'^ — w'' .

Ce sont les formules de Jacobi. Elles nous donnent Finconnue p^ , et il est à remarquer qu'on peut supposer que la valeur de p^ soit positive. Si cette valeur était, en effet, négative, on prendrait en sens contraire les difTérences u ,v ^lo , ce qui donnerait à p" le signe + .

Proposons-nous maintenant de déterminer les axes m , îi de Tune des coniques, ainsi que les positions des sommets A, B,G,

Pour cela, nous remarquerons que le triangle Ai B^ Ci , correspondant sur une conique d'axes Vm^-\-l,Vn^ + 1 au triangle ABC, aurait ses côtés a^^h^ ^ c^ donnés par les formules telles que

(72) «i' = {m- + /) {x' — X " Y + {n- — ).) {y' — f')\ où

a- = a- -\ — ti .

P On a donc

(73) rtf =:a' + -n , br =^b'-h — v , c,' = c' + -w.

Quand X devient égal soit à — n\ soit à — m\ le triangle

260 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY RELATIFS

A,BiGi , qui change de forme avec la conique, a ses trois sommets en ligne droite. On aura donc

C'est d'ailleurs ce que met en évidence la formule (72), qui donne pour X = — n^, par exemple,

ai=:±|/m^— n^ [x" — x') , hi:=±.Vm^ — n^ {x — x')

^ ^ Ci-=.±Vm^ — n'^{x — x") .

On obtient donc, pour déterminer les axes, l'équation

On a mis a'* — «* à la place de u, etc.

On aura d'ailleurs l'équation rationnelle qui donne les axes, en exprimant que la surface du triangle AiBiC^ est nulle pour X = — s', ce qui donne l'équation

Cette équation étant résolue, le problème ne présente plus aucune difficulté. En effet, pour les deux valeurs de 1 ,

les formules (72) nous donnent des équations telles que

pi pi

c^ zw 0

0? ; w = Vm"" — n^ ix' — x")

a'' -^u=^ Vif — m^ {y' — y")

et quatre équations semblables.

Ces formules , interprétées géométriquement , signifient qu'on connaît les projections de chacun des côtés du triangle A"B"G" , inscrit au cercle G, sur les diamètres de ce cercle parallèles aux axes des coniques. Il n'y a donc plus de difficulté à trouver les directions de ces axes, seules inconnues qui restaient à déterminer.

Tout se réduit donc à la discussion de l'équation du second degré (75), et, pour éviter quelques calculs, nous adjoindrons au déterminant précédent, que nous appellerons fJ,(U = — 16 S^) : 1® le déterminant U^ , obtenu en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne, qui se réduit à

et 2° Uj obtenu en supprimant les deux dernières lignes et les deux dernières colonnes,

Alors, d'après les propriétés des déterminants symétriques, la suite

jouira des propriétés connues des fonctions de Sturm. Quand la fonction intermédiaire s'annulera, les deux voisines seront de signes contraires, et le nombre des variations perdues ou gagnées par la suite, quand s^ passera d'une valeur à une autre, indiquera le nombre minimum des racines de l'équation U = 0. Substituons — oo , 0 , — p', + oo ; nous formerons le tableau suivant :

Il ne faut pas oublier que le premier déterminant U représente, au signe près, seize fois le carré de la surface d'un

262 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

triangle , ce qui explique les signes de la première ligne de notre tableau. S^ est donné par la formule (71).

1° Si S* est positif, lu le sera; car S' ne peut être positif que si î« , V , w sont de même signe, et comme on a pris les différences de manière que p^ ou leur produit uvw soit positif, ces trois différences, étant de même signe, seront nécessairement positives. Dans ce cas, les deux racines de l'équation (75) sont positives. La courbe (E) est donc une ellipse et aussi la courbe (E'), puisque, p* étant positif, w'^> m' , n'^'> n\

Nous avons admis que 2' ne peut être positif que siu ,v ,w sont de même signe. C'est ce qui résulte de la formule de décomposition

16 S'^ == 4My — (m + ^ — tt;)^

2° Si 2^ est négatif, il y aura une racine positive m% l'autre n^ comprise entre — co et — 1)% (E) sera donc une hyperbole, et aussi (E'), puisque

m'" =zm'^ + p^ sera positif,

n'^ =n^ -ir p^ sera encore négatif.

Jacobi donne aussi une construction géométrique simple du centre des ellipses (E) , (E'), construction qu'on justifie avec une grande facilité par les principes précédents. Dans les trois courbes (E) , (E') , (C), les centres sont des points homologues, et comme aux points à l'infini correspondent des points à l'infini, les centres des courbes seront, dans les trois cas, les points d'application des mêmes forces parallèles ou des mêmes poids, placés aux trois sommets correspondants des triangles. Or, pour obtenir le centre du cercle circonscrit à un triangle {y'u .V v ^ Vio) , il faut placer aux trois sommets les coefficients

sin2A , sin2B, sin2C ,

A , B , G étant les angles, ou, ce qui revient au même,

u{v-hiv — u)^ v{iv-hu — v) ^ w(u + v — w) .

Tels sont aussi les coefficients qu'il faudra placer aux som-

mets de chaque triangle ABC ,A'B'C' , pour obtenir le centre de l'ellipse correspondante comme centre des distances proportionnelles des masses représentées par ces coefficients.

On peut aussi déduire des propositions démontrées une construction géométrique qui fournit tous les éléments cherchés. Soient les deux courbes (E) , (E'), ayant mêmes foyers.. La conique décrite des foyers A , B avec A'B' pour axe focal sera inscrite dans (E'), d'après une proposition déjà établie. Il en sera de même pour les deux autres courbes décrites des foyers A , G avec A'C pour axe focal, ou des foyers A , B avec A'B' pour axe focal. On voit donc que la courbe inconnue (E') devra être tangente à trois ellipses données de foyers et d'axe focal. On peut, d'après ces propriétés, construire la courbe (E') en se servant de beaux théorèmes donnés dans le Traité des Sections coniques de M. Chastes.

Nous nous appuierons sur la proposition donnée page 357 de ceTrailé : Étant données trois coniques inscrites dans une conique fixe, les six ombilics de ces coniques, prises deux à deux, sont trois à trois sur quatre droites. Or, ici ces six ombilics se déterminent sans difficulté. Par exemple, pour les coniques (A,C),(A,B), les deux ombilics sont A et un point A' qu'on détermine de la manière suivante : Des points B , G comme centre on décrit des cercles avec B' A' , G' A' comme rayons ; ces cercles se coupent en un point A" ; la perpendiculaire élevée sur le milieu de AA" vient couper BG au point A'. Les trois lignes AA', BB', GG' forment un triangle. Dans ce triangle, le sommet opposé à A A' est le pôle de contact de la conique de foyers (B , G) et de la conique (E).

On pourra donc construire les points de contact de chaque conique avec la conique inconnue (E), et par suite celle-ci sera pleinement déterminée. Cette construction offre Favantage de donner avec une grande facilité tous les éléments géométriques dont on peut avoir besoin.

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