XVI

SOLUTION d'une QUESTION RELATIVE A DEUX TÉTRAÈDRES.

Il nous reste à examiner le problème analogue à celui que nous venons de résoudre, et à indiquer comment on peut, étant donnés deux tétraèdres, déterminer deux surfaces homofocales dans lesquelles on pourra inscrire les deux tétraèdres de manière que leurs sommets disposés par couples soient correspondants sur les deux surfaces. Cette question sera traitée avec quelques développements ; car elle nous paraît une des plus intéressantes qu'on puisse se proposer relativement à deux tétraèdres.

Soient

ïl I! ï— IL ^ Il

les équations de deux quadriques (G) , (G') rapportées à leurs axes. Elles seront homofocales, si l'on a

Soient

(78) X = mx , Y = ny , Z= pz

les formules qui donnent un point de (G), et dans lesquelles

(79) œ' + îf + z'=i. (S)

Les formules (78) peuvent être considérées comme établissant une correspondance homographique entre la quadrique(G) et la sphère (S). De même, les formules

définissent un point de (G'), et précisément de telle manière que les deux points de (G) et de (G') qui correspondent au même point de la sphère (S) soient correspondants (suivant la définition d'Ivory) sur les deux surfaces (G) , (G').

Il est à remarquer que si une des surfaces, (G) par exemple, n'est pas un ellipsoïde, à un point réel de (G) ne correspondra pas un point réel de la sphère (S), et par suite, si l'on prend quatre points de la sphère (S) correspondants à quatre points réels de (G), ces quatre points de (S) formeront un tétraèdre dont les arêtes et les faces même pourront être réelles (^), mais qui ne po.urra jamais être construit; car si l'on pouvait le construire, la sphère circonscrite serait la sphère (S) ; il y aurait correspondance entre les points réels de (S), sommets du tétraèdre, et ceux de (G). Cette quadrique serait donc un ellipsoïde.

Gela posé, revenons au problème énoncé au début, et proposons-nous de trouver sur la sphère (S) quatre points A",B",C",D", tels que les deux tétraèdres correspondants, ABCD sur (G), A'B'C'D' sur (G'), soient égaux à des tétraèdres donnés à l'avance et construits. En exprimant que les distances respectives des points A,B,C,D, d'une part, et des points A', B', G', D', d'autre part, sont égales à des nombres donnés, on aura douze équations, qui, jointes aux quatre qui expriment que A", B", G", D" sont sur la sphère, forment seize équations. Or il y a bien seize inconnues, qui sont les coordonnées des quatre points A", B", G", D" et m\ n^, p^, q''. Nous suivrons, pour résoudre ces équations, une marche analogue à celle du paragraphe précédent.

Désignons par des indices les quatre points ; par di^ , d'i^ , d"ik les carrés des distances des points i,k sur (G) , (G') et (S). On aura

dih = rrî" {Xi — o[\Y + re {y, — ijuY -\- p' {Zi — ZuY , d'iu = m' ' {Xi - xuY + n' ' {îji — yuf + p' ' (Zi — z^Y ,

d'ik^ {ooi — XkY + itii — l/k) ' H- {Zi — ZkY ,

ce qui donne

(') On comprend bien ce que nous entendons par là; avec les tz'ois arêtes d'une face on pourra construire un triangle.

Imaginons un tétraèdre auxiliaire A, construit avec les six arêtes dont les carrés §ik sont (82) ^ik = d'ik — dii, .

La formule précédente détermine les six quantités §i^ , et le tétraèdre A , formé avec ces six arêtes, est, d'après la formule (81), semblable au tétraèdre A"B"G"D" des quatre points sur la sphère (S). Le rapport de similitude q est égal au rapport des rayons des sphères circonscrites, c'est-à-dire au rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre auxiliaire A. Soient V le volume de ce tétraèdre, R le rayon de la sphère circonscrite. D'après les formules rappelées (§ III), on aura

(24RV)' =

Ces formules déterminent R'

, et l'on a

fj'

Remarquons que, si l'on change de signe les différences §ik, ce qui est permis, le premier déterminant ne change pas de signe, le second en change au contraire. On peut donc toujours supposer R' positif : c'est ce que nous ferons.

On pourrait, dès à présent, considérer la question comme résolue. On a, en effet, tous les éléments nécessaires pour construire le tétraèdre A"B"C"D". Alors, si l'on détermine les coefficients qu'il faut placer aux sommets de ce tétraèdre pour que le centre des distances proportionnelles soit au centre de la sphère circonscrite, ces coefficients, placés aux sommets du tétraèdre A B G D , nous serviront de même à déterminer le centre de la surface (G); et de même, les points correspon-

dants sur chaque face du tétraèdre au centre du cercle circonscrit à la face correspondante de A"B"C"D" seront les centres des ellipses de section de (G) par cette face. On aurait donc tous les éléments nécessaires pour construire les quatre sections par les faces du tétraèdre. Cette remarque, analogue à celle de Jacobi pour le triangle, sera développée dans le paragraphe suivant.

Mais nous nous proposons, pour la discussion complète de la question, de déterminer les axes et la nature des deux surfaces (G) , (G'), et, à cet effet, nous examinerons, comme dans la question précédente, un tétraèdre auxiliaire et variable, correspondant aux tétraèdres ABCD , A'B'G'D' sur la quadrique homofocale d'axes

D'après la formule (81), les carrés des arêtes Dit de cet ellipsoïde seront donnés par les formules telles que

D,fc = dik 4- :jp Oj-fc .

Mais ce tétraèdre variable changera de forme avec la surface qui lui est circonscrite, et quand cette surface s'aplatira, quand un axe deviendra nul, les sommets du tétraèdre se placeront dans le plan principal correspondant. Il y aura entre les six arêtes la relation qui exprime qu'elles joignent quatre points dans un même plan. Ainsi, en remplaçant X par — S", pour S' = m\ S' = n^ , S^ = p\ le volume du tétraèdre auxiliaire, qui est donné par la formule

sera nul.

En substituant à la place de D,/, la valeur

Ds,

Da.

DjTt — dik — — §ik

on devra avoir l'équation

Da.

L'équation ainsi obtenue est du troisième degré; elle n'a donc pas d'autre racine que les trois reconnues a 'priori, savoir, m% 71% p^

Cette équation résolue, la question ne présente plus de difficulté. En effet, quand le tétraèdre variable a un volume nul (supposons que l'axe principal dirigé suivant Oz soit devenu nul), on peut déterminer les aires de ses faces, et ses aires s'expriment évidemment par des formules telles que celle-ci :

^3 Vs

où m,n ,p sont connus. Elles sont donc dans un rapport connu avec faire de la projection de la face correspondante du tétraèdre A"B"C"D" inscrit à (S) sur le plan principal. On connaîtra donc les angles que fait chaque, plan principal avec les faces du tétraèdre, et par conséquent on voit clairement que la question se résoudra sans difficulté nouvelle et sans ambiguïté.

Tout se réduit donc à la discussion de l'équation (84), dont le premier membre a été appelé U. Nous appellerons Uj , U, , U3 les déterminants obtenus en supprimant pour Uj la dernière ligne et la dernière colonne, pour U„ les deux dernières, et pour Ug les trois dernières lignes ou colonnes.

Remarquons que U» représente seize fois le carré, changé de signe, de la surface dhm triangle (D,j , Djj , D^g), Il importe de ne pas perdre de vue cette signification géométrique, qui permet, toutes les fois que l'on aura un triangle réellement existant, d'affirmer que Ui est négatif.

Formons le tableau de substitution suivant, qui n'indique, bien entendu, que les signes des résultats :

Dans ce tableau, V , S , r^i^ sont le volume, faire d'une face, le carré de la longueur d'une arête de cette face du tétraèdre auxiliaire A, tétraèdre qu'on ne peut pas toujours construire, d'après les remarques faites au début. Par conséquent V,S%(?,3 pourront avoir des signes quelconques. Remarquons que le signe de Y' , puisque R' a été pris positif, dépend exclusivement du signe du déterminant