VR

1° Si le tétraèdre auxiliaire A peut être construit (il faut et il suffit pour cela que Jj^ , S", Y^ soient positifs), le tableau précédent nous indique trois racines positives. Donc (G) et a fortiori (G') seront des ellipsoïdes.

2° Si le tétraèdre auxiliaire ne peut pas être construit et que le déterminant M soit négatif, on a deux hijperboloïdes à deux nappes.

P Si le tétraèdre auxiliaire ne peut pas être construit (ce qu'on reconnaît immédiatement à l'inspection des signes de !^,, , S^ , V'), et que le déterminant M soit positif, on a deu^i hyperboloïdes à une nappe.

^"^ Si le déterminant M est nul, on a un cône.

5° Si, M n'étant pas nul, le tétraèdre auxiliaire a un volume nul, les surfaces sont des paraboloïdes hyperboliques si M est positif, des cylindres si M est nul, des paraboloïdes elliptiques si M est négatif.

6° Si les mineurs du premier ordre de M sont tous nuls, les surfaces sont des plans réels ou imaginaires, suivant le signe de l'un des mineurs principaux quelconques du second ordre. Etc., etc.

Cette discussion prend un caractère plus géométrique par l'introduction d'un triangle adjoint au tétraèdre, et dont la considération me paraît devoir être introduite avec grand avantage dans l'examen de toutes les questions relatives aux tétraèdres.

Les côtés de ce triangle sont les produits des arêtes opposées

ses angles sont les suivants : Soient les quatre cercles circonscrits aux quatre faces du tétraèdre. Deux de ces cercles se coupent toujours sous le même angle que les deux autres. Les six angles des cercles se réduisent donc à trois, qui sont les angles du triangle adjoint. Autrement : ces angles sont les troisièmes faces des trièdres formés avec chaque angle dièdre, et les angles opposés dans chacune des faces qui forment ce dièdre à l'arête du dièdre.

La surface S de ce triangle auxiliaire est 6VR , V et R désignant le volume du tétraèdre et le rayon de la sphère circonscrite.

Enfin ce triangle est semblable à chacun des triangles qu'on forme en prenant la transformée par rayons vecteurs réciproques de chaque face, le pôle étant au sommet opposé.

La considération du triangle adjoint conduit à l'énoncé suivant :

Les surfaces (G) , (G') sont réglées toutes les fois que la surface du triangle adjoint est réelle .

Quand le triangle adjoint a une surface nulle, (G) , (G') sont développables, etc.

AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOiNU DEGRÉ. 271