AY, = Y

àyi'

az, = ZoA;.

La question est donc résolue ; mais nous allons interpréter les résultats obtenus, et en déduire les conséquences.

Remarquons d'abord que les valeurs de X^ , Y» , Zj ne contiennent les coordonnées de Aj que dans le dénominateur commun A. Donc la direclion de la force en un sommet quelconque du

télraèdre ne varie pas avec ce sommet, quand la face opposée demeure fixe.

Nous allons compléter ce résultat. Si dans le déterminant A on remplace a;, , ^, , z, par des coordonnées variables x, y, z, l'équation

représente le plan de la face A^AjA^, opposée au sommet Ai. Posons

Alors, si l'on cherche l'intersection de la face A^A^A^ avec le plan central, il faudra faire 2;=: 0 dans l'équation (87), et, en tenant compte des notations (88), il restera

équation de la trace de la face A^A^A^, sur le plan central. H, , Y] 1 sont donc les coordonnées du pôle de cette face par rapport à la courbe centrale. Or, en tenant compte des formules (88), les expressions de X^ , Y^ , Z^ deviennent

AX,=r=x,A;^, ay, = y.a;4-,, az^^^^ZoA;.

On a donc, en appelant a^, b^, c^ les cosinus des angles que fait cette composante avec les axes,

^h ^ s li ^0

Or, si l'on se reporte aux formules (79), qui définissent la relation entre une direction et son image, on voit que ^1, y]i sera l'image de la direction de la force appliquée au point A^. Par conséquent, la direction de la force appliquée au sommet Aj , ne dépendant que du pôle de la face A^AjA^, demeurera la même quand cette face tournera autour de son intersection avec le plan

central. Nous obtenons cette proposition, qui résume les résultats acquis :

Les directions des forces appliquées aux sommets du tétraèdre ont chacune pour image sur le plan central le pôle par rapport à la centrale de la face opposée du tétraèdre^, en sorte qu'elles demeurent toujours les mêmes quand les faces du tétraèdre pivotent autour de leurs droites d'intersection avec Je plan central.

Quant à la grandeur de ces forces, on la calculera aisément. On aura par exemple

A^(Xf + Yf H-Z|) = 11L[^ ^1 + ^^ + 1^, ou

Le radical qui figure dans le second membre a pour valeur

, y, désignant la distance au centre de la courbe centrale

cosYi

(en prenant pour base cette courbe). On a donc

V^l + Yl + l = Zo -^ -^• A cosYi

Quant à -^, c'est le rapport des volumes de deux tétraèdres

ayant pour base commune la face A^AjA^, et pour sommet

l'un le point central 0, l'autre le point Ai. Si donc on désigne par

^1 > ^2 > ^3 j h^ les distances du point central aux quatre faces,

par Hi , Ha , H3 , H^ les hauteurs du tétraèdre A^ A^ A3 A4 , on a

^ = 7j^. Par suite, les forces (A^), appliquées aux sommets A; du

tétraèdre, sont données par la formule

H,- cosY,-

Rappelons que, d'après les propriétés indiquées du point, image d'une direction, les angles qu'elles forment sont égaux aux dis-

tances des pùlcs des quatre faces par rapport à la courbe ccnlralOj distances évaluées en prenant pour base la courbe centrale.

g XIV. — Des différents cas particuliers que présente le problème étudié dans ce travail.

L'emploi de l'ellipsoïde central, qui nous a servi dans la plus grande partie de nos recherches, nous a permis de suivre une méthode de réduction qui ne subit aucune modification dans rétude des systèmes de forces particuliers. Nous allons énumérer les différents cas qui peuvent se présenter.

D'abord, si la résultante générale est nulle, l'ellipsoïde central sera le même en tous les points de l'espace. Le système sera, en général, réductible à trois couples. Il pourra se réduire à deux couples ou à un seul couple. Enfin, les trois couples pourront être nuls. Il y a encore à signaler les cas particuliers où l'ellipsoïde central serait de révolution, ou se réduirait à une sphère.

Si la résultante générale n'est pas nulle, le point central existera toujours, et le système se réduira à cette résultante appliquée au point central, et à deux couples. Le premier cas particulier à signaler serait celui où la courbe, que nous avons appelée centrale, serait un cercle, et où les focales de Minding se réduiraient à deux points. Mais, même dans ce cas, il y aurait toujours deux couples à associer à la résultante générale.

Si l'un de ces couples est nul, le système se réduira à une force et à un couple, ou à deux forces non parallèles; le plan central sera indéterminé, et sera assujetti à la seule condition de contenir le point central et d'être parallèle au bras du couple unique.

Si les deux couples sont nuls, le système se réduira à une force unique, appliquée au point central. Le plan central ne sera plus assujetti qu'à la condition de passer par le point central, et sa direction sera tout à fait arbitraire.