SUR LE CONTACT DES COURBES ET DES SURFACES

Par m. g. DAKBOUX.

M. Kunimer a démontré que les surfaces du quatrième ordre douées d'une conique double peuvent être engendrées de dix manières différentes par le mouvement d'une conique variable assujettie à rencontrer en deux points la conique double.

Dans le cas où ces surfaces sont des cyclides générales, c'est-àdire où la ligne double devient le cercle imaginaire de l'infini, Ils coniques deviennent des cercles, et il passe, par conséquent, dix cercles réels ou imaginaires par chaque point de la surface. Cette; propriété des cyclides m'a toujours paru des plus remarquables^ les nombreuses recherches des géomètres sur les surfaces du troisième, du quatrième et du cinquième ordre nous ont fait connaître des surfaces admettant plusieurs séries de coniques; mais aucune d'elles lie contient un aussi grand nombre de séries de sections circulaires ([iie les cyclides. Il m'a semblé qu'il y aurait intérêt à démontrer rigoureusement qu'une surface ne peut admettre plus de dix séries de sections circulaires et que les cyclides sont les seules surfaces dans lesquelles ce nombre maximum de dix séries soit effectivement atteint. On verra, dans la suite de ce travail^ que la démonstration de cette proposition se déduit assez facilement des théorèmes généraux que l'on peut établir relativement aux contacts de différents ordres que peut avoir en un point donné un cercle avec une surface.

J'ai aussi étudié le contact d'une conique c|uelcouque avec une surface. Je ne connais sur ce sujet que deux iMémoires de M. Tran- D. I

le développemeni (i) en employant la suhslitalion

rt'X + b'Y ^c'

I + aX + 6 Y -H

I 4- «X -+- 6Y + rZ

rfa/z^ laquelle figurent quatre fonctions linéaires dont le déterminant [a'b" — b' a") doit être différent de zéro?

Si, au lieu de prendre d'abord les variables X, Y, on clioisit leurs combinaisons linéaires «'X + Z»'X, a"Y + b"Y ^ on voit que la substitution (2) peut être remplacée par la suivante,

/ X-i-hZ

Y + AZ I 4- «j + UqZ

Ui désignant une fonction linéaire de X,Y, et u^ une constante, cette substitution pouvant être suivie d'une autre substitution linéaire effectuée sur les seules variables X, Y.

Si l'on porte les valeurs de x, j>^, z tirées des formules (3) dans le développement (i), on aura

y,(X->-/zZ,Y + /-Z) ^ y3(X-h/ïZ,Y-4-/-Z) ^

i-+-?<i + «oZ [i -{- u^-i- UqZ)-

Désignons par le symbole A l'opération

posons, pour abréger,

et développons les diiïérents termes en nous arrêtant au quatrième ordre. Le développement de Z suivant les puissances de X, Y sera

— b — évideinineiiL de la forme

et l'on devra avoir

Us+U^H- . . . =a>,[X,Y){— M,— u,^Z-+- ul) -h (— «,)Zdy2+ Î-,Z- + y3(X,Y)(i - ?,„,) -+- Zàf,-\- r4(X,Y) + . . . .

En remplaçant Z par son développement et égalant dans les deux membres les termes du même degré, on aura

U4 = ( tpo — "0 ) f 2 "*" "1 ?i ~*~ U3 Aa, — i/ 1 '^2 1(^2 — '2 Wj <p3 + ffl, A f^ -f- a. ,

OU plus simplement, si l'on pose

Les formules (4) montrent que la fonction linéaire t^, et la constante Vo sont absolument arbitraires. En ajoutant h et A, on voit que l'on a cinq constantes dont on peut disposer pour donner une iorme simple aux nouveaux termes du troisième et du quatrième ordre.

Supposons d'abord que le point O de la surface (S) ne soit pas un point à indicatrice parabolique. On peut admettre alors que fo (x, j^) a d'abord été ramené à la forme

<P2 {.x,}'] = .ry,

et l'on pourra disposer des deux constantes contenues dans Uf pour faire disparaître dans U3 les termes en X-Y, XY-, et ramener par conséquent U3 à la forme