U3 = AX^^ + DY

Tant que C&2 (x,}') et (p3(jt:,j) n'auront pas de diviseur commun, cest-à-dire tant qu'aucune des tangentes asymptotiques ne coupera

la surface en quatre points confondus en O, les constantes A et D seront différentes de zéro.

Cela posé, et pour faciliter la discussion suivante, supposons que l'on ait fait une première transformation homograpliique dans laquelle on se soit contenté d'amener U3 à la forme précédente. On aura donc

et, si Tonapplicjue la substitution (3), il faudra que, pour maintenir

à U3 la valeur

U,= AX3-f-DY^

on fasse Vi= o. Alors l'expression de U/, sera

( lT4=yi(X,Y)+XY(3AXV/H-3DYVL) ^ ' ) — (AX3 + DY3)(X/t-!-Y/0 +yoX'2Y2.

On voit donc que, au moins tant que A et D ne seront pas nuls, on pourra disposer des constantes //,, A, cDq de manière à faire disparaître soit les termes en X*, Y^, X-Y-, soit les termes en X^Y, X- Y-, XY^. On pourra donc donner à U4 l'une des deux formes