U4= ?4+ 2^*1 ?3+ ?>'+ ?2^?3— ?S^?S+?0?'- (', ::= AC3., II

Voyons comment on pourra disposer des constantes contenues dans >',, de /t,, . ., /?„, ç3„ pour obtenir une forme réduite du développement. Posons, suivant les notations de la théorie des formes,

Ps= «;c== ^x= «^.r.

On disposera des constantes contenues dans i\ de manière à annuler le covaiiant linéaire

puis des constantes A,, /;„, .. ., //„, //, de manière à annuler à la fois l'invariaiit

et le covariant linéaire

( Aai^)" ( A ac')"-a^,.

Ces conditions ne sontpas impossibles, en général, et conduisent à un développement parfaitement défini. Il suffit maintenant de substituer aux variables n covariants linéaires des formes y,, Ug, U^, ... pour obtenir un développement dont tous les coefficients sont des invariants par rapport à toutes les substitutions homographiques auxquelles on peut soumettre les variables; ou bien, si l'on ne veut pas changer de variables, les invariants sont ceux du système de formes fi„, U3, U^, ....

Nous touchons ici à cette question des invariants différentiels, qui a été l'objet des

Faisons la dcriiièri.' subslitiuioiî -"^

\c dévdoppcnieiit deviendra

,3 = .ry -4 — ,r-> -^ yi -j- jry [B X'- ^ L )- \ -h ■ . . .

Or, on peut déterminer a et h par les, équations

A a"' ^^ h, D /y- 3= a , qui donneur