A'-D AD- AD
et l'on aar.i dédnilivement
( 7 ) z^ .rj + ,/ ^ -f- 1-^ + .ry ( a.i- -+- ùy- ) -f- . . . .
Cette iorme réduite est pJus siiuple que la forme (6); niais elJe n'est pas unique, car elle subsistera si l'on remplace x, j respectivement par 0x, O-y-) d étant une racine cubique de l'unité.
Si l'une des tangentes asymptotiqucs coupe la surface en quatre points confondus, on peut supposer qu'une première transformation liomograpliique ait ramené C&3 à la forme Ax^, ou plus simplement x'^ . Alors on aura
U4 — 'f!, -f- 3 X'* Y h — X}'[Xk -hY/i) ^ ^,j X^ Y^
On pourra disposer de A,^, '■^0 de manière à réduire à zéro les co(;fficients de X^ Y, X-1-, X''. La forme réduite du développement sera donc
(8) Z = XY + X^ + r^Y»X+ (^Y*-t- ....
Si l'une des constantes a ou h n'est pas nulle, on pourra même la réduire à l'unité.
importantes recherches de M. Halphen, en ce qui concerne les courbes planes et [;auches, et même les surfaces (voir Journal de Mathématiques, 3° série, t. II, et The^e sur les invariants différentiels des courbes planes); je me contenterai des dél'eloppemciits donnés dans le texte, cjui étaient indispensables pour la suite de ce tpavaiL
Si en chaque point de la suriace une tangente asyiiiptotique coupe en quatre points confondus, la surface est réglée et la forme ((S) convient pour cliaque point de la surface. Mais alors elle est beaucoup trop générale. Si nous exprimons, en effet, cjue la valeur (8) de Z satisfait à réc[uation aux dérivées partielles des surfaces gauches, qui est, comme on sait, en désignant par a, [ù^ y, c^ les dérivées du troisième ordre,
-!- 6 rst ( ry rj — 3 ,67 ) -f- 1 2 ^^ ^ ay + 1 2 rs'^ pS
— e>c^.psf- — 67r?,yr2 — S^V.r; = o,
nous verrons Cjue tous les termes, sauf le dernier, sont au moins dutroisièmeordre,et, en égalant à zéro les termes de moindre degré, nous obtiendrons la forme réduite
(p ) z = xj -\- j:^ -h ax'" H- b x'* y H- c.r^j^,
où l'on néglige les termes du sixième ordre.
On verra de même que dans le cas d'un point parabolique ordinaire on est conduit à la forme suivante,
(10) z = .7-2 -I- j'3 -f- ayx^ -f- hj'*,
et, si la surface a tous ses points paraboliques, c'est-à-dire est développable, on trouvera
au moins tant qu'un invariant du quatrième ordre ne sera pas nuL
On peut se servir des formules réduites précédentes pour résoudre différentes questions. J'examinerai les deux suivantes.
Supposons d'abord que l'on veuille étudier les surfaces du second degré ayant en O le contact le plus intime avec la surface ( S). Soit
1' 1 2 1 z = xy -\- x^ H- j^ -f- xy ( a .r^ -f- /> r'- 1 H- . . .
le développement de z. Toute surface du second degré (Q) ayant
avec (S) un contact du second ordre sera représentée par une équation de la forme
(i3) z=: .Tj -+- z{k.x -\- ^y -h yz),
cjui donne, pour le développement de z,
(i4) z=^ xy-\- xj[a.x -{- <^y) -\- xy[(/..T-\-pyY- -{- yx^y- -\- ....
La projection de la courbe d'intersection des surfaces (Q) et (S) sur le plan des jcj a pour équation
o = x^-\-y^ — xy[ax H- ^j]
+ xy[a.r'^-\- by"^ — [ux + ^y]^ — 7-^j]+ • • -,
et elle a un point triple à l'origine, quels que soient a et (3.
On ne peut pas disposer des constantes a et (3 de manière à obtenir un contact complet du troisième ordre, mais on peut les choisir de telle manière que les tangentes au point triple soient confondues. On a alors les trois systèiiics de solutions
auxquels correspondent les trois faisceaux de surfaces
lz = xy—3z{ .r -f- J)^-73^
(l5) lzz=xy — 3z[ Qx-r- 0'^y)-\- yz^,
' z = xy — 3 z [6'^ X -h Q y) H- y z^ .
Il y a dans les résultats obtenus un fait qu'il importe de signaler : les surfaces (Q) ayant avec la surface (S) un contact du second ordre dépendent de trois constantes arbitraires a, jS, y. Il semblerait donc qu'on pourra disposer des constantes a, ^3, y, non seulement de telle manière que les tangentes en O au point triple de la courbe d'intersection coïncident, mais encore qu'elles coïncident avec une tangente quelconque donnée à l'avance. Ces conditions, qui pourraient, en eiï'et, être satisfaites si l'on avait au lieu d'une surface du second degré (Q) une surface quelconque à neuf paramètres, ne peuvent pas l'être dans le cas actuel. Quand les tangentes au point triple sont confondues, elles le sont nécessairement
avec l'une des trois laugeiites déUnies par l'équalion
(i6) x-'-hy' = o,
et il y a une infinité de surfaces du second degré pour lesquelles les tangentes au point triple se confondent avec l'une de ces tangentes : ce sont les surfaces définies par les équations ( i5).
Ces trois directions jouent le même rôle que les directions principales relativement au contact d'une sphère et de la surface (S), et l'on voit que la théorie du contact des surfaces du second degré avec une surface quelconque ( S) nous conduit aussi à un système de lignes courbes tracées sur la surface : ce sont celles dont la tangente en chaque point serait définie par l'équation (i6). Nous pouvons appeler les tangentes tangentes d' oscillation quadrique et les lignes correspondantes lignes d' oscillation quadrique. Elles sont définies par une équation diflérentielle du troisième ordre, qu'il est aisé de former dans tous les cas.
On l'obtiendra en exprimant que la fonction de —5
. dr^ „ dv^ ^ „dr ( dr \ { dr"^ dy
est un cube parfait, ce qui conduit aux trois équations 3 ( mr
(37 H- nr-\-
entre lesquelles il v aura à éliminer ??/, n. On obtient ainsi l'équation différentielle
dx
■2 ms
2 ms
+ mt -f-
2 ris
int -\- 1 ns )
dy
dx
-^o[v.-h rit]
(Ix J
qui est identiquement vérifiée dans le cas des surfaces du second degré, comme cela était évident a priori.
La deuxième application que j'aie à indiquer des formules réduites consiste dans la détermination de la surface de Steiner ayant en O un contact du quatrième ordre avec la surface (S). La surface de Steiner dépendant de quinze constantes, il y a au plus une surface de Steiner ayant en un point un contact du quatrième ordre avec une surface donnée. La question est seulement de savoir si cette surface existe effectivement.
A cet effet, je fais toujours usage du développement (12), et jt; vais démontrer que, si l'on prend la surface de Steiner définie par les formules
a + c, S + (V, aS
OÙ «27 ^21 "^^2 sont des fonctions homogènes et du second degré des paramètres a, [3, on peut disposer des constantes contenues dans Wo, ^2-) ^^2 de manière à obtenir le contact du quatrième ordre de cette surface avec la proposée. Pour cela je substitue les expressions précédentes dans la formule (12 ) et j'écris que tous les termes se détruisent jusqu'au quatrième degré. On obtient ainsi sans difficulté les valeurs
en sorte que la surface de Steiner cherchée est définie par les formules
Nous allons maintenant commencer l'étude des différents problèmes relatifs au contact d'une conique et de la surface (S). Sup-
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