IV. Du CHOC, EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT

Jusqu'ici j'ai négligé l'influence du frottement qui se produit au contact. Les expériences du général Morin paraissent établir que, môme dans ce cas, le frottement suit les lois ordinaires. Toutefois, dans la tliéorie des macliines, on n'a eu à s'occuper que de problèmes relativement simples pour lesquels il est facile de reconnaître a priori que la vitesse relative au point de contact des deux corps a une composante tangentielle dont la direction demeure constante pendant toute la durée du clioc. Il n'y a donc alors qu'à introduire, en même temps que les percussions normales appliquées aux deux corps, des percussions tangentielles égales à la valeur commune des percussions normales multipliée par le coefficient de frottement et ayant une direction invariable pendant le clioc, celle de la composante tangentielle de la vitesse lelative au point de contact. Je citerai un travail de Poisson, Sur le frottement des corps qui tournent [Bulletin de Férussac, t. VI, p. i63) et les recherches de Coriolis sur le choc des sphères dans sa Théorie mathématique des effets du jeu de billard.

Si l'on se propose de traiter le problème général, la question devient beaucoup plus compliquée. On sait que, dans le cas où il n'y a pas frottement, la vitesse relative au point de contact passe progressivement, pendant la courte durée du choc, d'une valeur à une autre tout à fait diiférente en grandeur et en direction-, il en est de même quand il y a frottement, et si l'on veut tenir compte rigoureusement des effets de cette force, il faudra, à chaque

(') Dans le Journal de Mathématiques (Z" série, t. IV, 1S78), M. Joukofsky a publié un Mémoire sur la percussion des corps qui se rapproche du nôtre à la fois par la méthode et les résultats. Je crois donc devoir faire observer qu'au moins pour le cas des corps libres, qui est le seul dont s'occupe M. Joukofsky, j'avais développé la solution complète dans les Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences eu 187.4-

nouvel inslant du choc, donner au frottement une direction nouvelle en sens inverse de la vitesse relative à cet instant. Cette direction de la vitesse relative dépend, d'ailleurs, du frottement qui s'est produit aux époques antérieures du choc 5 on peut donc prévoir qu'il y aura une équation dilïérentielle donnant la loi du phénomène et dont l'intégration constituera la principale difficulté du problème; et l'on reconnaît aussi que si l'on voulait, malgré le changement de la vitesse tangentielle relative au point de contact, conserver à ce frottement une direction constante, on pourrait commettre des erreurs du même ordre que les effets dont on veut ' tenir compte.

M. Phillips, dans un beau travail inséré au Tome XIV du Journal de Llouv'dle, page 3 12, a le premier abordé la question à ce point de vue et intégré l'équation dilïérentielle c[ui se présente dans cette théorie. Depuis, dans une Note insérée aux Comptes rendus des séances de l'yicadémie des Sciences (t. LXXVJ, p. 1645), j'ai obtenu les mômes résultats par une méthode dilïérente et à quelques égards plus simple. En étudiant de nouveau cette question pour présenter ici une étude complète de la théorie du choc, je me suis aperçu que, si les recherches que je viens de citer suppriment la principale difficulté de la question, elles ne donnent pas cependant la solution complète du problème, car elles négligent ce fait capital que la vitesse relative tangentielle peut devenir nulle pendant la durée du choc. Il y a donc intérêt à reprendre l'étude de cette question en ayant égard aux circonstances qui avaient été négligées dans les recherches antérieures.

Prenons pour axe des z la normale counnune aux deux corps au point de contact, la partie positive de l'axe des z étant dirigée vers le corps (M). Les axes des x et des j'^ seront dans le plan de contact. Le point de choc du corps (M) a, par rapport au point de choc du corps (M'), une vitesse relative dont nous désignerons par w la composante normale et par u la composante tangentielle. Si la vitesse r fait avec l'axe des x l'angle cp, les trois composantes de la vitesse relative suivant Ox, O}', Oz seront

V cos-ï/, V siiiy, «'.

Désignons par N la force normale qui s'exerce à l'instant t sur le corps (M). La force de frottement aura, suivant Ox, Oj^, les deux

composantes

— /Ncosy, — /Nsin'j;,

/'désignant le coefficient du froltement.Par suite, les trois composantes de la percussion reçue par le corps (M) depuis le commencement du choc sei'ont

N cos y dt, —fi N sin '^ dt, / N dt,

et le corps (M') aura reçu dans le même temps des percussions égales et contraires. Cela posé, d'après les lois de l'efFet des percussions, les composantes de la vitesse relative des deux corps seront des fonctions linéaires de ces percussions, et l'on aura

(• cos y rrr c^ COS y^ — of j N COS fdt~bf N SÏn 'jiilt -\~ C f^ dt ,

« o tJ o

(?.5) i 0 sin y = 0^ sin ©„ — "'/ \ N cos o dt — b'f l N sin o dt -I- c'fNdt , I (V = r.'o — a"f / N COS y dt — h"f / N sin ^dt^ c"J^ dt,

*^05 9o: ^0 désignant les valeurs initiales de v^ ç, w. Quant à «, Z», c, . . ., ce sont des constantes que l'on détermine sans dilliculté et qui dépendent de la forme et de la position relative des deux corps : <7, r/, d' sont les composantes de la vitesse relative qui serait imprimée aux points en contact par deux percussions égales à l'unité dirigées suivant l'axe des x et appliquées l'une au corps (M), l'autre au corps (M'), la première ayant le sens de la partie positive de l'axe des jr, l'autre ayant le sens contraire ; Z», h' ^ h"^ c, c', c" ont des définitions analogues relativement à des percussions dirigées suivant Oj et O^. Il n'y a donc aucune relation entre ces neuf constantes, cjui, dans le cas des corps libres, dépendent de vingt paramètres. Il est vrai que les équations précédentes ne supposent nullement les corps libres et qu'elles ont lieu d'une manière absolue, quelle que soit la nature des liaisons. Mais, dans la discussion, nous pourrons les supposer quelconques 5 il nous suflîra seulement de montrer que dans tous les cas elles satisfont à des inégalités dont nous aurons à tenir grand compte dans notre discussion. Nous allons d'abord indiquer quelles sont ces relations d'inégalité.

Si deux corps (M), (M') sont en repos, et qu'en un de leurs points de contact on leur applique respectivement deux percussions P, — P égales et contraires, il est facile de montrer que la vitesse relative que prendra le point de contact de (M) par rapport au pointde contact de (M') aura toujours une projection positive sur la percussion P appliquée au corps (M). En effet, nous savons que la percussion P imprime à son point d'application une vitesse dont

P , la projection sur P est -> p. étant le paramètre de la ligne d'action

par rapport au corps (M). De même la percussion — P imprime au point du corps (M') où elle est appliquée une vitesse dont la pro-

jection sur — P sera H — -^ p.' étant le paramètre de la ligne d'action

par rapport au corps (M') ^ et par conséquent la projection de cette

vitesse sur P sera y La projection de la vitesse relative sur

P, étant la différence des projections des deux vitesses absolues, sera

et, par conséquent , sera toujours positive.

D'après cela, revenons aux deux corps (M), (M'j supposés au repos, et appliquons à l'origine au corps (M) une percussion quelconque dont les composantes sont X, Y, Z, en appliquant au corps (M') la percussion égale et contraire. La vitesse relative qui sera imprimée par ces deux percussions sera définie par les formules

i^y.= a'X-i- b'Y -hc'Z,

cette vitesse étant toujours celle du point de (M) par rapport au point de (M'). La projection de cette vitesse sur la percussion ap- [)liquée au corps (M) devant être positive, nous devrons avoir

et par conséquent

«X^'-i- //Y--^- c"Z2+ (c'-t- ^"]YZ -I- [c -V- a"]XZ -i-lh -h «']XY>o.

Ainsi, les constantes «, h' ^ c" doivent satisfaire à toutes les inéijçalités qui expriment que l'expression précédente est positive, quelles que soient X, Y, Z. Par exemple, on aura

Nous aurons à faire visage de ces inégalités.

Après ces remarques préliminaires, reprenons les équations (aS) et difTérentions-les. Si nous posons

( A r= c — af cosy — bfûn'f, 27 ) < A' = c' — a'/ cas 'S) — b'fsw^j,

k" = c" — «"/cos '^ — b"fsïn'. ,

nous aurons

ce qui donne

cos y dv — c sin © cJ'm r= A N dt, sill © di' + c cos a d'ï) zzz A'ISdt,

de A'sin» + Acoso

-df,

Tidt

A'cosffl — Asin;

A'cosy — A sin y

Posons, pour abréger,

H = A' sin© -1- A cos y, A = A'coso — A sin 03.

Nous obtiendrons

et, i^ une fois connu, on déduira de l'expression de N dt

r* r°i>d'j /•■Acr/o

I N dt = j — -, pcosœ» = t'oCOSuo+ I — : — '

r^ r'ocoscpdcp . . r-A'iuh

j Nsmcp dt = I — *-, H' = ft'p -+- I —

Ces quadratures donnent la solution complète de la question ^ elles feront connaître les diverses circonstances du clioc tant que la vitesse u ne deviendra pas nulle, auquel cas on ne connaîtrait plus la direction du frottement.

On peut interpréter géométriquement les formules précédentes i Construisons dans le plan tangent la courbe auxiliaii^e lieu du point dont les coordonnées à l'instant t sont

.r=f I JUcos'fdt, j z=f 1 Nsinyr/f.

On voit que le rayon vecteur de cette courbe représente en grandeur et en direction la percussion tangentiellci L'arc de la courbe^ compté à partir de l'origine, a pour valeur

et par conséquent il est égal à la percussion normale multipliée par le coefficient de frottement. Si l'on différentie d'ailleurs les formules qui donnent x etj', on trouvera

La direction de la tangente à cette courbe auxiliaire est donc la même que celle de la vitesse relative tangentielle à l'instant t. On peut donc énoncer la proposition suivante :

// existe une courbe située dans le plan de contact, passant au point de contact et donnant la loi du choc. Son rcijoji vecteuf représente la percussion tangentielle due au Jrottement ; sa tangente a la direction de la ^vitesse relatis^e et son arc, compté à partir de l'origine, est égal au produit du coefficient de frottement par la percussion normale reçue par chacun des corps depuis lé commencement du choc.

Il résulte des formules (aS) que cette courbe satisfait à l'équation différentielle

dj (V|Sino„ — n' ,T — h' y + c' s dx Vq cos fQ — ax — hj -+- es

H par conséquent les reclierclies précédentes peuvent être considérées comme donnant l'intégrale de cette équation ( ' ),

Revenons aux formules (29) et voyons comment on déterminera la fin du clioc. Dans le cas des corps mous, il n'y a pas de diffi*

(') Considérons d'une manièi'e générale l'équation différentielle

dy où y désigne -^ et X une fonction de la seule variable x. 11 est aisé de reconnaître

qu'elle comprend, comme cas particulier, celle qui a été considérée dans le texte. Il suffit, en effet, pour retrouver cette dernière équation, de prendre

FO'')^^ — a'—l>'r'-hc'\Jl-^r'\ /(j') = t'„siny„,

*(j') = — « — «^y -^^ \/n-J"". ?(7'/ = "ocosp„.

Nous allons montrer qu'on peut intégrer très simplement l'équation (a). PourCela^ posons

VI par conséquent

ou aura, en differentiant,

^Ldy-hfir')\dx = dx,

et, si l'on élimine Xdx, on trouvera

,, ,, àx , de df Y{r')J^''^Tr'-^'-d;-lT'

df df

Cette équation linéaire fera connaître 1 en fonction de y' . On déterminera ensuite x au moyen de la formule

•où les variables sont séparées, et enfin y par la formule

dj = y' dx.

L'intégration de l'équation différentielle est ainsi ramenée à une série de quadratures.

Si dans l'équation (a) on remplaçait ^dx par d-^{x,j), on serait, par une méthode

culte : le choc se terminera quand la vitesse relative normale w sera réduite à zéro. Mais il peut y avoir des corps élasticjues dans lesquels le frottement n'est pas nul, par exemple deux billes d'ivoire dépoli. Dans ce cas, rien ne nous guidant, on peut revenir à l'ancienne liypotlièse et supposer que, lorsque les corps se détendent après s'être comprimés, ils reçoivent une percussion normale égale à celle; qui s'est développée dans la première partie du clioc. Alors il suffira de calculer la percussion normale relative au cas du choc des corps mous et de prolonger le choc jusqu'à ce que la percussion normale ait pris une valeur double de celle que l'on a ainsi calculée. Pour plus de netteté, nous traiterons toujours, dans ce qui va suivre, le cas du choc des corps mous.

D'après les hypothèses faites sur le sens de l'axe des ^, la percussion f^dt sera toujours positive et la valeur initiale iVo de w sera négative. Par suite, la première des formules (29) nous montre quecp,

partant de la valeur (Çq? devra varier de telle manière que — soit

positif; donc on connaîtra le sens de la variation de g). Désignons par a la première racine de l'équation

que ^ atteindrait en variant dans le sens indiqué, et cherchons si le choc sera terminé avant que y ait atteint la valeur a. L'équation qui définit la fin du choc est

rK"vc

analogue, ramené à l'intégration de l'équation

L'équation {a) comprend comme cas particulier les suivantes

ax-\-br-+-cs^Y{y')^ ^

a' X -h i>' j -t- c' s -1,- 'b [j' ) ax--+- F (y') -f- cfxily

a'.x-'-^<b{j') -H c'jxdj

Cette dernière équation, correspondante au cas où l'on prend X = x, équivaut à une relation assez générale entre la tangente et l'aire d'un segment de la courbe «•herchée.

Si cette équation admet une racine comprise entre zéro cl a, il n'y aura pas de difficulté; les formules (20), (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc, et elles feront connaître les percussions tangentielles et normales, et par conséquent la vitesse finale des deux corps. Je dis que ce cas se présentera toujours toutes les fois que la quantité que nous avons désignée par H sera positive pour (^ = oc.

En eflet, nous avons vu que l'expression

X(«X+ Z'Y + cZ) H- Y(a'X -+- b'Y + c'Z) 4- Z(«"X + b"Y -h c"Z)

est toujours positive, quelles que soient les quantités X, Y, Z. Faisons

X = — /cosy, Y = — /siny, Z=i;

on aura, en conservant les notations adoptées,

A"— /(A' cosy + A"siny) >o,

ce qui, d'après les formules (aS), équivaut à l'inégalité

dw — fdv^^ 0, et, par conséquent,

Or, si ip se rapproche de la racine a, — devient infini positif,

puisque nous avons vu que le signe de d^ est toujours celui de A. Si donc H est positif dans le voisinage de la valeur a. de (p, l'intégrale / — - deviendra infinie positive, et il en sera de même de ç^, qui a pour valeur

'îo

Ainsi, si cp variait de zéro à a, u et par conséquent v — ^o croîtraient indéfiniment, et, en vertu de l'inégalité (3i), il en serait de même de w. Donc, avant que cj» ait atteint la valeur a, w aura pris tel accroissement positif que l'on voudra, et, comme sa valeur initiale est négative, elle aura passé par zéro ou par toute autre valeur positive qui marquera la fin du choc.

Si, au contraire, on a H <! o pour 9 = a, il pourra se faire sans

doute qu'il y ait encore une valeur de (p comprise entre (j>^) et a et annulant iv, mais il pourra aussi arriver que y atteigne la valeur a sans que w soit devenue nulle. En elFet, dans ce cas, u deviendra nulle pour cj) = a et l'intégrale

A'Vf/y

qui tendra vers une valeur finie quand tp s'approcliera de oc, aura un maximum en valeur absolue. Si Wq, par exemple, est supérieure à ce maximum, l'équation (3o) n'aura pas déracine entre (^o cX a-

Voilà donc un cas tout aussi général que le précédent et qui avait été négligé, celui où la vitesse relative tangentielle devient nulle avant la lin du clioc. Nous allons l'étudier d'une manière détaillée.

Et d'abord l'étude qui a été faite de questions analogues (roulement des sphères, des cylindres) nous avertit qu'il peut se produire deux espèces tout à fait ditférentes de mouvements :

Ou bien la vitesse relative tangentielle continuera à demeurer nulle, et alors la force de frottement ne sera assujettie qu'à l'unique condition d'être inférieure à la force normale multipliée par le coefficient de frottement 5 en d'autres termes, la force appliquée à l'un des corps devra faire avec la normale commune un angle moindre que l'angle de frottement. Ce sont là les lois du frottement quand il y a repos relatif au contact.

Ou bien la vitesse relative tangentielle reprendra des valeurs finies, et il reste à déterminer le mouvement qui pourra se produire dans ces conditions.

Examinons d'abord le premier cas. Soient N la composante normale de la force à un instant quelconque, 0, 6^ ses composantes tangentielles. Puisque la vitesse tangentielle u doit demeurer nulle, il faut Cjue l'on ait

aO -i- bOi -f- cN = o, a'O 4- ^<'(?i-hc'N = o, ce qui donne

hc' — ci)' en' — rfr'

au — ua au — ba

Exprimons que la composante tangentielle est plus petite queyiS ;

nous aurons l'inégalité

ot, par conséquent, en posant

(33) l^=p[ah' — ba'Y—[ac'—ca'Y— [bc'—cb')\

il faudra que l'on ait

Si cette inégalité n'est pas satisfaite, le mouvement précédent sera impossible.

Examinons maintenant ce qui arrivera si l'on suppose que la vitesse tangcnticlle relative, après être devenue nulle, reprenne des valeurs finies. Alors l'équation dliférentielle

( A' ces 'f — A sin m)di> ■=. v[ A' sin y + A ces y ) d(^

nous montre Cjue la seule solution possible sera

A' cosffl — A sin'^ =^ o, da = o.

Ainsi, dans le mouvement c[ui se produira, la direction et le sens de la vitesse relative demeureront constants, et cp ne pourra être qu'une des racines de l'équation précédente.

Or cette équation admet quatre racines qui peuvent être toutes réelles. Nous sommes donc amenés à discuter jusqu'à cinq mouvements différents c{ui peuvent se produire : ceux, au nombre de quatre, qui correspondent à ces différentes racines, et celui pour lequel la vitesse tangentielle demeure nulle. Si deux de ces mouvements étaient possibles simultanément, on rencontrerait un fait très intéressant, mais qu'aucun des exemples traités et connus ne nous permet de j)révoir. JNous allons en effet montrer, par une discussion détaillée, .qu'il n'y a jamais indétermination, qu'il n'y a jamais à choisir entre deux ou plusieurs mouvements également possibles.

Nous développerons d'abord quelques remarques préliminaires.

i" Dans le cas où la vitesse tangentielle reprend une valeur finie, on a, nous l'avons vu, oi =r const,, et les formules (aS) nous donnent sans difficulté

Or, u iiif^dt sont positifs; il faut donc que H le soit aussi. Ainsi,

pour que le mouvement correspondant à une racine a de l'équation A = G soit possible, il faut que cette racine a rende la quantité H positive. Il suit de là que si la vitesse tangentielle est devenue nulle pour une certaine valeur a de (p, comme celte valeur a est une racine de A rendant H négative, la vitesse ne peut reprendre une valeur finie, çp étant égal à a.

2° Puisque le signe de H pour chaque racine de A a une grande importance, cherclions aie déterminer. A cet effet, nous remarquerons l'identité fondamentale dans cette discussion

En vertu de l'une des inégalités (26), le second membre est toujours négatif. Donc H est négative pour toute racine de A qui rendla dérivée ùi! positive ou nulle. Telle est la proposition qui rendra possible la discussion suivante.

3" Formons l'équation qui donne les quatre valeurs de H j on a

A' cosy — A siny =: o, A' sin^ + A cosy = H, et, par conséquent,

ces y SlllijJ

ou, en développant,

c — [af-\- H) cosy — bfûxif^ = o, ■ c' — «'/ces j- — ( b'f-\- H ) sin» = o,

ce qui donne, en éliminant »,

ica'—ac'—c' — \ -^ icW — bc' -^ —^\ = \[ab' - ba') + j[a + b') + —y\ L'équation développée est

^o.[[a+b')[ab'~ ba' ]f — c [cb' - bc' ) -h c' [ca' - ac' )] -

^p[ab' — ba'Y- [ca'-ac'Y~[ch'—bc'Y=o.

Le dernier terme de cette équation est la quantité que nous avons désignée par K.

Ces remarques faites, nous pouvons eommencer la discussion.

i*' Supposons d'abord que l'équation A = o n'ait pas de racine réelle. Alors les quatre valeurs de A sont imaginaires et la quantité K est positive, puisqu'elle est le dernier terme de l'équation précédente, dont les quatre racines sont imaginaires. Si au début du clioc la vitesse tangentielJe est nulle, elle demeurera nécessairement nulle , K étant positif et aucun des quatre autres mouvements n'étant réel. Si au contraire elle n'est pas nulle, elle ne le deviendra jamais, et les formules (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc.

2° Si l'équation A = o a deux racines réelles, pour une de ces racines la dérivée A' sera positive, et, par conséquent, la valeur correspondante de H sera négative. Si les deux valeurs réelles de H sont négatives, le dernier terme de l'équation (34) en H sera positif, et, par suite, si la vitesse t^ devient nulle à un instant du choc, elle ne pourra que le demeurer. Au contraire, si une seule valeur de H est négative, K sera aussi négatif, et, si la vitesse i^ devient nulle avant la fin du choc, elle ne pourra pas le rester^ mais il se produira le mouvement dans lequel ç prend une valeur égale à la racine de A pour laquelle on a H ^ o.

3° Enfin, si l'équation A = o a ses quatre racines réelles, il y en aura deux rendant A' positive, et, par conséquent, deux au moins pour lesquelles on aura W.<C^o.

Si K<^ o, il y a un nombre impair de valeurs de H négatives; il y en a donc alors trois. Ainsi, il existe trois valeurs de (f pour lesquelles la vitesse v peut devenir nulle 5 mais, K étant négatif, cette vitesse ne pourra rester nulle, et il se produira le mouvement dans lequel cp prendra une valeur égale à l'unique racine de A pour laquelle on a H ^ o.

Si K^ o, nous allons montrer que l'équation (34) n'a que des permanences, et par conséquent que les quatre valeurs de H sont négatives. Mais, pour simplifier le calcul, nous admettrons que l'on ait choisi les axes de telle manière que d soit nulle. Cela revient à faire passer le plan des xz par la direction de la vitesse relative qui serait imprimée par les deux percussions égales et contraires dirigées suivant O2.

On a, dans le cas qui nous occupe,

P[ah'—ba'f—c^[a'^-^b"')':>o.

Rappelons les inégalités

qui donnent

[a' -bY-<:l{[ah' -ba'),

et par conséquent

ab' — ba' ^ o.

Si nous nous reportons à l'équation (34)? nous voyons immédiatement que le coefficient de H^ est positif. Il reste à démontrer qu'il en est de même des coefficients de H et de H-. Nous emploierons pour cela les deux inégalités

ab' —bt

Le coefficient de a ^ est

Le coefficient àef- étant positif, remplaçonsy- par sa limite inférieure. Nous aurons

l.{ab'—ba') -^ ^ ^ ^ ^, ^ ^^,2 ^l,n^__i,'^ab'-ba'),

Uab' —ba'

>«^'2+è'(«'2+è'2) + bb'a'.

Remplaçons encore a par sa limite inférieure, et nous aurons ce qui démontre que L est positif.

Passons au coefficient de --r^- On a, en le désignant par L|,

Li=f^[[a-hb'Y--\-2{ab'—ba')]—c'' et, en remplaçant y- par sa limite inférieure,

-^ ^ '-^{aa'-h bb')^

-h 4ab'{a''' + 6'-) + («'2 -+- b'^)[h"- — b" — o.ba'].

Si l'on remplace dans le second terme a par sa limite inférieure, on trouve

^^^''^'-^'''^^~:>[aa' + bb-f+[a---^b-]\

et, par conséquent, L, est encore positif.

Ainsi, toutes les fois que l'équation A = o aura ses quatre racines réelles et que K sera positif, les quatre valeurs de H seront négatives. Alors, pour qu^atre valeurs de cj), la vitesse \^ pourra devenir nulle 5 mais, quand elle le sera devenue, elle restera nulle jusqu'à la fin du clioc.

En résumé, il n'y a jamais d' indétemninatioii dans le mouvement.

Dans le cas où la vitesse ^' demeurera nulle, il faudra substituer aux équations (29) les suivantes,

I 0= aO -h bOi-^- c'N, (35) o=a'0-[-b'Oi + c'^,

( «. = «-; + a"0 -+- b"Ôi -h c"N,

qui serviront jusqu'à la fin du clioc ; w'^ désigne la valeur c]u'a w au moment où la vitesse r devient nulle.

J'indiquerai, en terminant, un exemple assez simple qvii met en évidence la plupart des cas de la discussion précédente 5 c'est celui d'un corps solide de révolution qui vient rencontrer obliquement un plan fixe.

Paris. — Imprimerie GAUTHIER-VILLARS, quai des Augustins, 55

SUR

LE PROBLÊME DE PFAFF

ICxlrail (lu Bulletin des Sciences nlathëm. et astronom., a» série, t. VI; 1882