GAUTHIER- VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIBE

DU BUT. EAU UES LONGITUDES, DE l'ÉCOI, E POLYTECUMQUE,

SUCCESSEUIl DE MALLET-BACHELIER,

Quai des Aiifjustiiis, jj.

r::"''^5iX

SUR

LE PROBLÈME DE PFAFF

La méthode que PfafTa fait connaîti^e en i8i4, dans les Mémoires de V Académie de Berlin, pour l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à un nombre quelconque de vai'iables indépendantes, a été longtemps négligée : les belles découvertes de Jacobi et de Cauchy ont seules attiré l'attention des géomètres qui s'occupent de cette théorie.

Cependant, la méthode de Pfaff, qui est, d'ailleurs, la généralisation de celle que l'on doit à Lagrange pour le cas de deux variables indépendantes, offre de sérieux avantages. Elle substitue à des calculs souvent compliqués l'emploi de certaines identités différentielles qui donnent la clef et la solution intuitive des difficultés qui se présentent dans les autres méthodes. Les beaux résultats obtenus par M. Lie dans différents Mémoires insérés aux Mathematische Annaleii montrent tout le parti qu'on peut tirer de ces identités, par exemple si l'on veut réduire au plus petit nombre possible les intégrations que l'on a à effectuer successivement avant de parvenir à la solution complète d'une équation aux dérivées partielles.

Dans le travail qu'on va lire, je me suis proposé d'expliquer la solution du problème de Pfaff sans rien emprunter à la théorie des équations aux dérivées partielles, et je me suis surtout attaché à mettre en évidence les propriétés d'invariance qui jouent un rôle fondamental dans cette solution. Je ne me suis nullement occupé des intégrations qui sont nécessaires pour amener une expression différentielle à sa forme réduite, et d'ailleurs, d'après les formules que j'ai données, les opérations que l'on doit faire pour obtenir la solution de ce problème peuvent se calquer en quelque sorte sur celles qui se rapportent à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles.

Dans la première Partie j'étudie les formes réduites, et je montre D. i

que l'intégration du premier système de Pfaff suffit et donne immédiatement la forme réduite quand il s'agit de l'expression différentielle correspondante à une équation aux dérivées partielles.

Dans la seconde Partie j'étudie les relations entre les formes réduites, et je démontre en particulier trois propositions qui servent de base à la théorie des groupes de M. Lie (^).

PREMIEaE PARTIE.

Considérons l'expression différentielle

Xi da;^ + . . . + X„ clx,i,

où X|,...,X„ sont des fonctions données de .r,, ...^x„. Nous la désignerons par la notation 0^/, où l'indice d indique le système de différentiel ies adopté. Ainsi l'on aura

(i) 0(^=Xi c/j7i+ . . . H-X„ <:/j?«,

et si l'on emploie d'autres diflférentielles désignées par la caractéristique 0

(2) 0S=XiOj-i + . . . +X„oj:-„.

(') La première ParLie de ce travail a été écrite en 1876 et communiquée à M. Bertrand, qui enseignait alors au Collège de France la théorie des é juations aux dérivées partielles. M. Bertrand a bien voulu exposer la méthode que je lui avais soumise, dans sa première leçon de janvier 1877.

Quelque temps après paraissait dans le Journal de Borcho-rclt un beau Rlémoire de M. Frobenius qui porte d'ailleurs une date antérieure à celle de janvier 1877 (septembre 1876) et où ce savant géomètre suit une marche assez analogue à celle que j'ai communiquée à M. Bertrand, en ce sens qu'elle repose sur l'emploi des invariants et du covariant bilinéaire de M. I.ipscliitz. En revenant dans ces derniers temps sur mon travail, il m'a semblé que mon exposition était plus affranchie de calcul et que, par suite de l'importance que la méthode de Pfaff est appelée à prendre, il y avait intérêt à la faire connaître.

Dans la même année 1877 a paru aussi, dans VJrchiv foi- Mathematik de Christiania, un important Mémoire de M. Lie sur le même sujet (t. Il, p. 338). Mais ce travail repose sur des méthodes tout à fait différentes de celle que je vais exposer.

JJos deux rgalilés prrcc'dcnlcs on dédiiil

<^0i= \ dXilxi-\- \ \idlxi, et, par conséquent,

00^ — <i0s=: \ {'jXidx,- — dXiOXi)

la somme étant étendue à toutes les combinaisons des indices 1,2, . . ./z, et se composant, pe Nous poserons, pour abréger.

, /i( /i — I ) 1,2, . . ./z, et se composant, par conséquent, de — termes.

âX;, dXi

et l'égalité précédente deviendra

( 4 ) 50rf — (i0s = \ ^ «,-;t ( dxi 3^/, — c/^A- 3^1 ) •

En vertu des identités

qui découlent de la formule (3), on peut encore écrire l'équation (4) sous la forme

i = Il k = n

{^ bis) oQ^i — d&s= \ \ ciii^dxi'^X]^.

Supposons maintenant que dans l'expression différentielle (i) on remplace les variables ^/par d'autres variables )v; en effectuant la substitution définie par les formules

(5) xi—^)^i{y\,...,yn),

qui donnent

à/Al'expression Sa prendra la forme

dXi=: \ -^ dVk,

(6) Q,i = ^Yidyt.

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que les n fonctions ^i soient indépendantes ; par suite, les nouvelles variables j'/ pourront être regardées comme fonctions indépendantes des anciennes, xi. Quant aux coefficients Y/, on peut toujours, par l'emploi des formules (5), les transformer en des fonctions des variables yt.

Cela posé, appliquons la formule (4) à la nouvelle expression de 0,/. Si nous posons

(7) f^ik^ -v~ ~ ^ — '

nous aurons

o0rf— d&s = \ \ ^'^' ^^' ^■^^"'

j = 1 * = 1 et, par conséquent,

(8) \ \aikdxiOXk=\ y bi^dfi^y/^.

Cette formule est fondamentale dans notre théorie; aussi, avant de continuer, nous en donnerons une démonstration directe sans nous appuyer sur la propriété exprimée par l'équation

d8xi=i^dxi,

dont nous avons fait usage.

De la comparaison des expressions (i) et (G) de 6,/ on déduit les égalités

qui servent de définition aux quantités Y;^. On déduit de là

dYj, V^ y à'^'JCo. V* V^ dXg. da^a. da-g'

àji ~ Zà " àyi^dri ZuZu àx^, dVk àyt '

et, par conséquent,

dYk ^ Y Y [^ 1^\ /^ ^ ^ ^^A

la somme du second membre étant étendue à tous les systèmes de

valeurs différentes de a, a' et comprenant, par conséquent,

— termes.

Si l'on multiplie l'équation précédente par dyi oy/^ — dy^ 0)7, et

11 r 1 , llill — I ) , . • . 1 I

que l on tasse la somme des équations ainsi obtenues, le

coefficient de

dans le second membre sera

c'est-à-dire On aura donc

— \ \ ( — 1 {djL\<JX^ — dx^- oj-,),

ce qui est la même chose que l'équation (8).

Cela posé, considérons les variables xi comme des fonctions d'une variable auxiliaire t définies par les équations différentielles

«ii<i^, H- . . . + a,M dœ„r=i XXi dt, a, 2 da-i + . . . + a„2 dx,^-=. XX, dt,

«,„ dx^ -}-...+ anii dxa — "a X„ dt,

où K sera une quantité que l'on pourra choisir arbitrairement, o, une constante ou vme fonction de t, suivant les cas. Nous ferons remarquer que les équations (lo) peuvent être remplacées par l'équation unique

(lo)" /y ciikdxiùjci^^zX dt\ X; ox/,

que l'on obtient en les ajoutant, après les avoir multipliées respectivement par 0X\, . . . , ox,i ; pourvu que l'on exige que cette équation soit vérifiée pour toutes les valeurs attribuées aux différentielles auxiliaires oxi. Ainsi le système (lo) peut être remplacé par l'équation unique

(lo)'' • oe,i—d0i=lesdt,

qui devra avoir lieu, quelles que soient les différentielles o. Dans les applications, il sera toujours préférable de former directement les deux membres de cette dernière équation au lieu de calculer successivement les quantités cii/ç qui figurent dans le système (lo). Dès à présent, les remarques qui précèdent vont nous conduire à une propriété fondamentale du système (lo).

Supposons que l'on effectue un changement de variables et que Ton remplace les variables Xi par d'autres variables J7 en nombre égal, qui soient fonctions indépendantes des premières. Il est aisé de voir que le système (lo) se transformera dans celui que l'on formerait de la même manière, en prenant les nouvelles variables indépendantes. Cela résulte immédiatement de ce que ce système, écrit sous la forme (lo)*, est évidemment indépendant de tout choix de variables indépendantes. Mais, pour plus de netteté, considérons l'équation (lo)". On sait, en vertu de l'égalité (8), que son premier membre deviendra

bik d/i 0//,.

Quant au second membre, il se transformera évidemment dans le suivant

Àr/^y Y/, 0)7,.

Ainsi réqualion (lo)" [^rendra la i'orme

y y ^iic dVi 0 )'/, = \ dt y \i ly-i,

Les fonctions j'/ étant indépendantes, leurs différentielles o)', sont arbitraires, comme les différentielles ox/ : on pourra donc égaler les coefficients de ces différentielles dans les deux membres, et l'on aura les équations

'^11 dfi 4- b.2i dfi H- . . . + ô„i dfa = ^^ Yi dt,

, , , ^12 dVi -h =zl\\dt,

(il) < ■ '

l f^ui d}\ + + bna dV'i '=^'^11 dt-

Ainsi, toutes les fois que les fonctions Xi satisferont aux équations (lo), les fonctions jKf satisferont aux équations (i i). La réciproque se démontrerait évidemment de la même manière. On peut donc dire que les systèmes (lo) et (ii) sont absolument équivalents, qu'ils sont deux formes d'un même système d'équations différentielles écrites avec des variables différentes. Comme ils sont composés de la même manière au moyen des variables qui y entrent, nous exprimerons d'une manière abrégée la propriété dontjl s'agit en disant que le système (lo) est invariant. Nous allons faire usage de celte pi'o position pour indiquer les formes réduites auxquelles on peut ramener l'expression différentielle 0^/.

Supposons d'abord n pair. Le déterminant gauche

sera un carré parfait. Nous commencerons par supposer que ce déterminant est différent de zéro.

Alors on pourra résoudre les équations (lo) par rapport à dx\, . . ., dXn^ et l'on obtiendra un système de la forme

admettant n — i intégrales indépendantes de t.

Prenons pour nouvelles variables ces n — i intégrales,, que nous désignerons par 7', , . . . ,j)^/2 i, eL une fonction j'^j assujettie à la seule condition de ne pas être une intégrale du système. Alors r< , . . . ,y,i formeront un système de n fonctions indépendantes, et le système (10), écrit avec les nouvelles variables, prendra la forme (i 1). Il faut donc exprimer que les équations (i 1) sont vérifiées quand on y suppose constantes les /i — 1 fonctions j'j, ...,j^„<.

On devra donc avoir

-T — ■ dy,i = — A Yi dt,

O :=: X \n dt.

On déduit de là

Y„=o, r)lof;Yi <)IogY2 (?los;Y„, —Idt

Les dernières équations montrent que les fonctions Y, , . . . , Y„, dépendent réellement de j'«, mais que leurs rapports mutuels en sont indépendants. On pourra donc poser pour i <C n

Y.-=KYf,

Y" étant indépendant de la variable j>^„, et K, au contraire, la contenant nécessairement. On a ainsi ramené l'expression différentielle à la forme

0^=K(YÏ dy, + ...-h\y, dy„^,),

qui a un terme de moins, mais qui jouit encore de la propriété de ne contenir la variable jOi q^^e dans le facteur K. On peut encore écrire

(12) &a=- yn ( Y \ dy, + . . . + Y^ , dy„, ) ,

en désignant maintenant par j»',, le coefficient K.

Supposons maintenant /i impair. Alors le déterminant

sera nul comme symétrique gauche d'ordre impair, et, par conséquent, les équations (lo) ne seront jamais impossibles si l'on y lait \^o. Nous supposerons d'abord que tous les mineurs du premier ordre de A ne soient pas nuls. Dans ce cas, les équations (lo), où l'on fera)v=: o, détermineront complètement les rapports des différentielles. Elles admettront donc ?i — i intégrales indépendantes, que nous désignerons encore par jk<,. • ., r«), et que nous prendrons pour nouvelles variables en leur adjoignant une fonction jK«, qui ne sera pas une intégrale, et formera, par conséquent, avec elles un système de n fonctions indépendantes. Alors les équations (i i) devront être vérifiées par la substitution des équations

X = o, dfi = o, . . ., dfn-i = o,

ce qui donnera

dY„, dY„

Il est aisé de trouver la forme la plus générale des fonctions satisfaisant à ces équations. Posons, en effet,

Les équations exprimeront que les dérivées des fonctions Y^., par rapport à j'„, sont toutes nulles. On pourra donc poser

0^= ^^ir + YJ dj; + . . . + Y«j «fj„.,

les fonctions Y", ne dépendant pas de j'„.

Mais ici deux cas différents peuvent se présenter. En général, W contiendra jKrt, et, par conséquent, W, r<, . . .,jK//) seront n fonctions indépendantes. En changeant de notation, et désignant W par r„, on aura la première forme réduite

( 1 3 ) e^r=z dy,i + Y ? dv, -H ... ^- y;;. 1 dy„ , .

Mais il peut aussi arriver que W ne contienne pas j',i.. Alors on aura

ou plus simplement

(14) e^=Yo^ji + ... + Y«j^/„,.

Il sera, du reste, très aisé a priori de distinguer ces formes l'une de l'autre. La seconde, en effet, est caractérisée par cette propriété que ©^ s'annule quand on a

On voit donc que l'on obtiendra cette forme toutes les fois que l'équation

A-j ClOC\ -\- . . . -\- ^fi CIJC II — o

sera une conséquence, une simple combinaison linéaire des équations (lo), où l'on aura fait )^ = o.

Considérons, par exemple, la forme à trois variables

Ff;=: X dx + Y dy + Z t/^ = o.

Le système (lo) devient ici

dx dy dz

d\^d L i]^à%. ^^ dp dy dx dz dy dx

Si l'on remplace dans la forme dx, dy, dz par les quantités qui leur sont proportionnelles, on obtient l'expression bien connue

Si cette expression n'est pas nulle, on pourra ramener ¥d à la

forme

f/y + Mr/a + Nr/p,

où a, [j sont les intégrales du système (i5), M et N des fonctions de a et de [i, et y une fonction indépendante de a, [i. Si, au con-

traire, l'expression (i6) est nulle, le terme c/y disparaîtra et il reste

Fa=Md%+Nd^ = [x du,

ce qui est d'accord avec les résultats connus.

Nous avons supposé jusqu'ici que le système (lo) était déterminé. Imaginons maintenant qu'il ne le soit pas. Alors, si n est pair, le déterminant

sera nul, et il en sera, par conséquent, de même de tous ses mineurs du premier ordre, en vertu d'une propriété connue des déterminants symétriques gauches. Si n est impair, les mineurs du premier ordre du même déterminant seront tous nids.

Alors les équations (lo) se réduisent à moins de 7i équations distinctes, et ne suftîsent plus à déterminer les rapports mutuels de dXi,. . ., dxni dt. Mais je remarque qu'elles forment toujours un système équivalent au système (i i), le raisonnement que nous avons fait pour établir cette équivalence ne souffrant pas d'exception.

Pour simplifier, supposons que l'on ait fait \=^o. Les équations (lo) seront indéterminées. Supposons qu'elles se réduisent à p équations distinctes,/» pouvant être égal à zéro.

J'ajoute arbitrairement n — p — i équations différentielles, par exemple, les suivantes :

où ^f, . . . , (o,i p f sont des fonctions quelconques, et j'obtiens ainsi un système parfaitement déterminé. J'appelle encore jKi,« • • ,J^/2 i les n — I intégrales du système ainsi complété, et, en leur adjoignant une fonction y,i qui ne soit pas une intégrale, j'obtiens encore n fonctions indépendantes j'i, que je substitue aux variables Xi. Le système'(i i), où l'on fera X = o, devra être vérifié, comme le premier, quand on y fera

En raisonnant comme nous l'avons fait dans le cas où n est impair, nous serons conduits aux mêmes conclusions, et nous trouverons l'une des formes (i3) ou (i4)' En résumé, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Une forme 0j à n variables peut toujours être ramenée par V intégration du système (lo) à l'une des trois formes

( J« ( Yi cfKi -h . . . + Y„-i dYn-i) , (A) Y,^/i + ... + Y„, c(x„i,

( df„ + Yi «i/i + . . . -+- Y„i dy„i ,

oii les variables y i, . . . iyn-\ sont indépendantes , et où les fonctions Y i ne dépendent que de y\, .. . ,yn-\- Quelques-unes de ces fonctions Y i pouj^ront, d'ailleurs, être nulles. La première de ces trois formes ne se présente que lorsque n est pair et le

déterminant

2±:«ii...a„„

différent de zéro.

On peut encore énoncer le résultat précédent de la manière suivante. Désignons par 0^ ^^^^ forme différentielle à n variables. On peut toujours i^amener 0'J à l'une des trois formes

y.Kr. ©rs dy„+Qr\

où y,i est une variable tout à fait indépendante de celles qui figurent dans la nouvelle expression différentielle ©2^.

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant :

Une forme ^a peut toujours être ramenée à Vun des deux types suivants :

dy — z^ dyi — z^ dy^ —...— Zp dyp , ^1 dyi + Z2 dy^ + . . . + -Sp dvp,

où les fonctions y, y^ , . . . , z^ constituent un système de variables indépendantes, c' est-à-dire sont des fonctions indépendantes de toutes les variables qui entrent dans la forme &,f.

Le premier des deux types précédents sera a|)pelé l\pc iiulélerminé; raiitre sera le type détenniiié.

Cette proposition, nous allons le démontrer, est une conséquence presque immédiate de la précédente. En effet, elle est évidente pour les formes à une et à deux variables. Il suffira donc de montrer que, si elle est vraie pour une forme à /i — i variables, elle l'est aussi pour une forme contenant une variable de plus.

Pour cela, nous remarquerons qu'une forme à n variables peut être ramenée à un des trois types A. Négligeant le second, qui ne dépend que de n — i variables et pour lequel, par conséquent, le théorème est admis, nous remarquerons que les deux autres se composent d'une manière très simple avec la fonction à /i — i variables Y< dy^ + . . . + Y„, dyn-\ -

Remplaçant cette forme à /i — i variables par l'un des deux types (17), nous obtiendrons pour la forme à n variables l'une des expressions suivantes :

yn ( du — ('i dui — ('2 du^ — ... — r^ dup ) ,

yn{^'idui-^.. .+ Vpdup),

d{y,i -\- II) — «', dui — ('2 da.2 — ...— Vp dUp,

dyn + «'1 dii^ 4- «'2 dUi — ...-!-<'/, dUp,

où. n, Ui, Vk sont des fonctions indépendantes àey\,. . .,1'/,|, et où, par conséquent, jiOi, u^ iii, Pa sont des fonctions indépendantes des variables primitives.

Les deux dernières expressions rentrent évidemment dans le type indéterminé. Quant aux deux premières, on les ramène au second type en substituant aux fonctions p,,. . ., p^ les suivantes :

r,r„=:±(ri, ..., Vpy„ = ±tv,,.

Le théorème est donc établi. Il en résulte évidemment la conséquence suivante :

Si la forme réduite de l'expression à fi variables 6,/ est

*i dyi-h. . . + -p d)p,

les 2/j fonctions 5/, j> des variables Xi étant indépendantes, on a nécessairement ip^n.

Si la forme réduite est --'

il faudra de même que l'on ait 2/? + i ^«.

Nous allons maintenant résoudre le problème suivant :

Etant donnée une forme ©^ à n variables, auquel des deux types (17) peut-elle être ramenée et quelle est alors la valeur du nombre p?

Ce problème est susceptible d'une solution extrêmement simple. En effet, supposons que l'on transforme l'expression %d en prenant comme nouvelles variables celles qui figurent dans la forme réduite, et d'autres d'une manière quelconque pour compléter le nombre de n fonctions indépendantes. Voyons ce que deviendra le système (10). Ce système peut se remplacer par l'unique équation

(18) 00^— (^0s=X0sc/^,

qui doit avoir lieu, quelles que soient les différentielles û. Supposons d'abord que la forme réduite de ^d soit

0rf = dy — -1 dy^ — ^2 dy,^ — .. . — Zp dy^. On aura

00^;— <i0s=: dz^ oji — dy^ Ssi H- . . . H- dzp oyp — dy-p h

et le système (10) ou l'équation (18), qui bii est équivalente, nous

donnera

dyi = o, dzi ■=. — Izi dt,

dy^ = o, dz^ =- — X ^2 dt,

Idyp = o, dZp = — À Zp dt, o = ldt.

On voit que l'on aura nécessairement 'k = o, et que les équations (10) se réduiront à ip, qui seront complètement intégrables.

Si, au contraire, la forme réduite est

ea= Zi ^jj 4- . . . + Zf, dy,„ le système (lo) sera équivalent au suivant :

djx = o, dzi = X-3i dt,

, , , dy=y =r o, r/c, = \z=, dt,

\ djp—o, dzp—\z,,dt.

Il ne sera pas nécessaire ici de faire )^ = o, ce qui distingue ce cas du premier. D'ailleurs les équations admettront ip — 1 intégrales indépendantes de ^,

Jp — Cp, — — C^

Nous pouvons donc énoncer les théorèmes suivants :

Si les équations (10), considérées comme déterminant les différentielles dxi, sont impossibles tant cjue \ est différent de zéro, la forme 0^ est réductible au type indéterminé

dy — ^1 c/>'i — ^2 dyn — ... — z,, dy,,.

Le nombre ip est égal à celui des écjuations distinctes auxcjuelles se réduisent les équations (10) cpiand on y fait ).= o, et, par conséquent, il sera facile de le déterminer a priori. De plus, les ip équations auxquelles se réduisent alors les équations (10) sont complètement intégrables, et les variables y i, Zk de la forme réduite sont des fonctions de leurs 2/? intégrales.

Si les équations (10) peuvent être vérifiées en supposant \ différent de zéro, la forme est réductible au type déterminé

Le nombre 2/? est égal à celui des écjuations distinctes auxquelles se réduisent alors les équations (10). De plus ^ ces écjuations sont toujours complètement intégrables, et Von aurait, au moyen des variables de la forme réduite, un système cFinté-

- iO — ff raies de ces équations par les formules

En d^ autres termes, ces équations différentielles admettent pour intégrales indépendantes de t les fondions y s, . . .^Vp et

les quotients ^ , . . . , ^.

Comme application, éludions la forme réduite de B</ dans le cas le plus général.

Si n est pair^ le déterminant

n'est pas nul, et l'on peut résoudre les équations (lo) par rapport

aux différentielles dxi\ \ n'est pas nul, et les équations (lo) sont

toutes distinctes. On a donc ici le second type (17), et la forme

réduite est

-=1 dy\ -t- -=2 dy.^ + ... + -„ dyn .

Si, au contraire, n est impair, le déterminant

est nul; mais ses mineurs du premier ordre ne sont pas nuls en général. Il faut donc, nous l'avons vu, sauf un cas exceptionnel, que k = o, et alors les équations se réduisent in n — i distinctes; la forme réduite est

dy — z-i dyy — ... — z„^ dy,^ , .

Nous avons vu comment on reconnaît à quel type se rattache une forme différentielle et comment on détermine le nombre p; il resterait à indiquer les intégrations qui sont nécessaires pour ramener une expression différentielle donnée à sa forme canonique. Les belles découvertes de MM. Mayer et Lie ont beaucoup diminué la difficulté de ce sujet; riiais, dans ce travail, je ne m'occupe-

rai que des propriétés d'invariance relatives à une l'orme dillérentielle. Je vais donc me contenter d'expliquer la marche générale des intégrations, mon unique but étant de montrer que la raétliodc de Pfaff, appliquée à une équation aux dérivées partielles, conduit aux mêmes résultats que celle de Cauchy.

Considérons d'abord une expression différentielle

03 = Xi dœ^ 4- . . . + X„ dx,,,

dont la forme canonique soit

(21) z^dy\+... + z.j,dyj,.

Nous savons qu'alors le système de Pfaff

00^; — c/0s = X05 dt

est complètement intégrable si ip -< ;?, et admet par conséquent, dans tous les cas, ip — i intégrales indépendantes de t. Il y aura donc toujours au moins n — 'ip — i des variables Xi qui ne seront pas des intégrales. Supposons, pour fixer les idées, que ce soient les dernières

■^ÏPI "^âp + l) • • • 1 ^11'

Les ip — I intégrales du système de Pfaff se réduisent, quand on fait

Xs^^p — ^-ipi "^2/)-t-l ^^^^ "^2/)+l ' •••5 '^11^^-'^ ni

xlp, . . ., x^ étant des constantes numériques, à des fonctions de Xi, . . ., x^p^K' Il y aui^a donc une intégrale qui se réduira à Xi, une autre à x.2, et ainsi de suite (^ ). Nous désignerons par [:r/] ou Ui celle de ces intégrales qui se réduit à Xi. Nous savons que les fonctions ui dépendent uniquement des variables i) , . . •, r^ qui

figurent dans la forme canonique (21), et des quotients ^

Cela posé, prenons pour nouvelles variables

M[, • • • , '^2/7—1 7 '^ïpi • • • ? •^111

(') Cette classification des intégrales d'un système d'équations est, comme on sait, due à Cauchy dans le cas oii il y a une seule variable indépendante. Elle a été déjà utilisée, en ce qui concerne les systèmes complètement intégrables, par M. Lie, dans le Afémoire, que nous avons déjà cité, sur le problème de Pfaff. D. -x

- iS

qui sont évidemment des fonctions indéjDendantes des premières. La forme 0^J deviendra

(22) K(Ui <i«i H-. . .H- U,;,-! <:/«2/)-i)j

U(, . . . , U2^i ne dépendant que de W| , . . . , U2p.-\ et K contenant au conti^aire une ou plusieurs des variables x^p^ . . • , x^- Cela est aisé à démontrer de plusieurs manières. Par exemple, si l'on part de la forme canonique (21)

on sait que — ? yi sont des fonctions des variables iii. Si donc on

remplace yi^ — par leurs expressions en fonction des intégrales Ui

et si l'on remarque que ^1 est une fonction indépendante des précédentes, on retrouve bien l'expression (22).

Je ferai remarquer que la fonction K, qui figure dans cette expression, n'est pas complètement définie. Rien n'empêche de la diviser par une fonction cjuelconque cp(M,, . . ., u^p^k), à la condition de multiplier les cjuantités u par la même fonction es. Mais on peut déterminer complètement K par la condition suivante :

Supposons que, pour x^p = x\j^, . . . , x.2n = -^In^ ^ ^^ réduise à une fonction

'h{xi, X,, ..., x^p..i).

Nous diviserons Kpar ^(?^i, Uo, • • • 5 «2/7-O' ^^ alors la nouvelle valeur de K sera complètement définie et jouira de la propriété de se réduire à i quand on fera x-2p = x^,,, . . . , x,i = x^.

Cela posé, écrivons l'identité

X, dxi -t-. . .H- X,idx,i =: K(Ui dui 4- . . . + Uj^-i «^Ws/j-i),

et faisons dans les deux membres x-2p = xl ., . . . ^ x„ = ^°. Désignons par a." ce que devient alors X^. Comme K devient alors égal à i^ Ui égal à Xi, on aura

Xj u.x^ -\- . . . H— -^-^p-i (^'x-2p—i ^ Lj ] ciXi -\- . . . -f- \j.2p~1 clXo^p^i,

et par conséquent on pourra écrire

ce qui nous conduit au théorème suivant :

Supposons que la forme canonique d'une expression différentielle

0'J -^^ Xi dxy H- . . . + X„ dxn.

soit

z^ ctVi + . . . H- Zp cly p.

Le premier système de Pfaff sera complètement intégrable si ip -< 71, et dans tous les cas admettra ip — i intégroÂes indépendantes. Il y aura donc toujours au moins n — ip + i des variables xi qui ne seront pas des intégrales de ce système. Soient x^p.^ . . . ,Xn, n — ip-\-i variables jouissant de cette propriété. Considérons les ip — i intégrales du système de Pfaff' qui se réduisent à Xs, . . . , Xip^ quand on fait x<>p = x\^^, . . . , Xn^^x^i^, et désignons par ut celle cjui se réduit à Xi. Si l'on choisit ces intégrales pour nouvelles variables, V expression 6^J prend la forme suivante

K(Ui«i«i +. . .H- \3^p^idu.2p-i),

où l'on déduit U^ de X^ en y remplaçant respectivement x,^...,X2p-i par U{., . . . , U2p-{\ ^o^, . . . , .r^^ par les constantes x\p, . . . , ^°.

Considérons maintenant le cas où la forme ©'J est réductible au type

(23) dy — z^c{)\ —z^dy^—. ..— Zpdyp.

On sait qu'alors le système de PfafFne sera possible que si l'on y fait )v= o^ et que dans tous les cas il admettra ip intégrales qui seront Z\, . . . , Zp., y\ , . . . ,yp. Nous pouvons ici raisonner comme précédemment. Parmi les Ji variables Xi, il y en aura au moins n — 2p qui ne seront pas des intégrales. Soient

n — o./> variables jouissant de cette propriété. Désignons par Ui

celle des intégrales qui se réduit à xi quand on remplace x-ip+\ 1 - • '1 Xn par les constantes numériques x\p^^, . . . , x\.- Enfin effectuons un changement de variables qui substitue aux variables primitives les suivantes

On aura, pour la nouvelle forme de l'expression différentielle,

(24) (iH 4- Ui <:/«!+.. .H- Uapfi",^-

En effet, dans la forme canonique (aS), les variables ^/, y]^, qui sont les intégrales du système de Pfaff, peuvent être regardées comme des fonctions de ?^,, ..., u-^p. Si donc on les supposait exprimées en fonction de «<, ..., ?^2/>7 on obtiendrait bien un résultat de la forme précédente.

Dans l'expression (24), la fonction H n'est pas définie et il est clair que cette expression ne changerait pas si on remplaçait H par

H — cp(«i, .. ., ;<2^),

à la condition d'ajouter ^ à U,-. Si H se réduit à i (. , .,,)

pour x^pj^K = •2?2p+i ' • ' ' iOCa^=- x\^ nous conviendrons d'en retranchet

4>(?fi, .. ., «2p);

alors la nouvelle valeur de H se réduira à zéro pour ^ojo+i ^=^2^+1' ••' Xji = x^^.

Ecrivons maintenant l'identité

Xi dxi + . . . H- X,j dxn = dll -+- Ui diii + . . . H- V^p du^p,

et faisons-y ^ajo+i = ^\p+ij . ' ., Xn = x^. Soit encore X" ce que devient X/ par cette substitution. Comme iii devient alors égal k Xi et H égal à zéro, on aura

j\-^ ciX\ -\- . . . — |— A 2 ij clx<^p — U j clx^ -\- . . . — H U 2n (^x^py

et par conséquent

Nous pouvons donc énoncer la nouvelle proposition qui suit : Supposons que la forme canonique d'une expression diffé-

rentielle

(■);j — X, <r/xi + . . . + X„ clx„

soit

dy — Zy dy\ — . . . — Zj, (/j-^,.

Le premier système de Pfaff ne sera possible que si Von y fait \=z o et il admettra ip intégrales. Soient x-2p+t-, . . . , x„ un système de variables qui ne fassent pas partie de ces intégrales, et désignons par ui l'intégrale du système de Pfaff qui se réduit à Xipour x-2p^\ = ^lp+ii . - • , ^n = ^," . L'expression &"i pourra être ramenée à la forme

d\\ H- Uj <:/«! -h . . . + U,^ <r/«2/)7

où ton déduit Ua de X^ en y remplaçant x, , . . . , x.^p respectivement par Ui, ..., Uop', x.2p+\, ...,x,i par les constantes -^2p+i' • • •' -^l- ^ ^^^ ^^'^^ fonction qui s e réduit à zéro pour

■^2/>+) — -^ap+i' • • • ' "^n — "^ n'

11 est bon de remarquer que H se déterminera sans difficulté par une quadrature, quand m,, . . . , u-^p seront connus. Car on a

</H = e^ — Ui duy — ... — Uan du

ipy

et tout sera connu dans le second membre.

Les deux théorèmes qui précèdent conduisent à plusieurs conséquences. On voit tout de suite que les divers systèmes d'équations différentielles auxquels conduit successivement l'application de la méthode acquièrent en quelque sorte une existence indépendante. On peut écrire chacun d'eux avant d'avoir intégré le précédent. M. Mayer avait déjà fait des remarques analogues relativement aux systèmes complètement intégrables. On voit, de plus, qu'à partir du second système, on n'a plus d'indétermination et l'on ne rencontre plus cpe des formes appartenant aux deux types généraux.

On peut faire une application importante des résultats qui précèdent à la forme particulière que l'on rencontre dans la théorie des équations aux dérivées partielles.

Soit

(35) p^—f{z.,Xy, ...,X„,Pi, ....pn)

une équation aux dérivées partielles, où/»/ désigne -5^- Il est clair

ox i

que l'intégration de celte équation est équivalente au problème

suivant : Annuler la forme

&^i -=: dz — f dx^ — /?2 dx^ — ... — pn dx,i

àinvariahlesz^X\, . . .^x,iiP-2i • • . ,pni en établissant n relations entre ces iKiriables ; el l'on sait que la solution de ce problème n'offre aucune difficulté dès que 0^ est ramené à la forme canonique. Or, je dis que pour ramener ^d à la forme canonique, il suffira d'intégrer le premier système de Pfaff relatif à cette forme.

Ecrivons, en effet, ce système

00,; — (^05 = \ ©5 dt, ou bien

dfox^ — of dxi H- dp2 0^2 — °/^2 dx.2 + . . . 4- dp^ ox„ — dx,i op,^

= ldt{rjZ—/0Xi—... — p,iÙX„),

ce qui donne les équations

df ^^d.,

= — A/ dt

— -T-^ dx, -+- dp., âx^ '

= — \p^ dt.

^^^^^dx,-^dp,,

= — \pn dt.

"^^ dx

^Idt,

dpi

r-^ dx, — dx„

dp, que l'on met aisément sous la forme suivante

,' dx'i dx-i dx,i __ — dp2 — dp„

-^ ' dpi àpn àx2 " dz dx,t " âz

dz =: Pi dxi + . . .+ Pn dx,i.

On reconnaît les équations dllTérentiellcs de la caractérisliqiie. Nous voyons ici que ^i n'est jamais une intégrale. Désignons par [z], [p/i], [-3"/] les intégrales de ce système qui se réduisent respectivement à ::, />/,, x/ pour Xt = a:°^, x^ étant une constante quelconque. Iliiy aura aucune difficulté à déterminer ces intégrales dès que le système (26) sera complètement intégré. Si nous appliquons maintenant le premier des deux théorèmes que nous avons démontrés, nous voyons que l'on aura

( clz — fax Y — p-2 dx.2 — ... — Pu dXn ^'-^^ I = L j dlz-\ - [/.,] dlx,-\ - [y.3] dix,-\-...-lp,-\dlx„^ j,

L dépendant de X\. Nous obtenons ainsi du premier coup la forme réduite qui devait être le terme de nos calculs. L'équation précédente se rencontre dans la méthode de Cauchy et elle y joue un rôle fondamental. Il est inutile de revenir sur des propositions bien connues et de montrer comment elle conduit à l'intégration de l'équation aux: dérivées partielles proposée. Il nous suffira d'avoir établi que la méthode de Pfaff, au moyen d'un facile complément; devient aussi parfaite que les autres. Mais il est juste aussi d'ajouter que cette classification des intégrales, qui nous a permis d'arriver au but, constitue un progrès bien essentiel, qui est encore dû à Cauchy.