DEUXIÈME PAK'XIE
La proposition relative aux propriétés d'invariance du système (10), qui nous a été si utile dans la première Partie de ce travail, est susceptible d'une généralisation que nous allons maintenant exposer.
Considérons, en même temps cpie la forme
0rf = Xi cli\ 4- . . . -h X„ dxa , d'autres formes 0//, 0,% . . ., B^^'', définies par les équations
0rf = x'idxi -+-... -h x;;; dx„.
Assujettissons les variables r, et des variables ti à satisfaire aux
équations différentielles
ia^da-y + . . . + a,ii dx^ =: X} dt^ + X^ dt^^ + . . . + X.^^dtp,
ClifidCC Y -\- . . . -|— Cl,i,idX fi :::; Js^^^Clti -\- — 1— \.nCltp.j
( X2P-iJ^j+... + X,2/-^^^„=o,
qui sont au nombre de n -\- p — i , et qui, par conséquent, forment
un système déterminé. On peut écrire ces équations sous la forme
abrégée
( 00^— dQs=z 0i dty + ...-h &Ultp, (2) l
en supposant que la première ait lieu pour toutes les valeurs attribuées aux différentielles auxiliaires S.
Le système (i) étant écrit sous la forme (2), on reconnaît immédiatement cju'il exprime des propriétés indépendantes de tout choix de variables, et, par conséquent, il aura les propriétés d'invariance du système (10) de notre première Partie.
Si l'on remplace les variables x,. par n variables j^/, et que la forme B'J devienne
Q'^=Y'ldy, + ... + Y',[dy,,
le système (i) prendra la forme
bndVY . + ...+ bni dvn — Y} dti-h. . .-+- Y^dùp,
( 3 ^ ; ^'" ^-^'^ + • . • + b„„ dy„ — Y' dt^-^...^ Y^ dtp,
Y\'^-^dy, + ... + Yl"-^dy„-=o,
les quantités Z>//, ayant la signification déjà donnée.
Si l'on considère maintenant une nouvelle forme ^Y , le quotient
^ ' dt,l ~ ' dl,, ' ■■• ' " dt,,
q désignant l'une quelconque des variables ^(,. . ., /,,, se Lransformera dans l'expression
dtn
cita
et il se formera de la même manière, soit au moyen des anciennes variables et du système (i), soit au moyen des nouvelles et du système (3). En d'autres termes, ce quotient sera un invariant absolu pour tout changement de variables. Il n'y a, d'ailleurs, aucune difficulté à le calculer; il suffit d'éliminer entre les équations (3) et (4) les différentielles dxi^ dt^, et l'on obtient le résultat suivant :
Posons, pour abréger,
«H . . . a„i Xî ... XI
Clin
\<i+p ■ XI-
On trouvera, par exemple,
dtn
Remarquons que, si l'on avait ^ = i, le dénominateur devrait être remplacé par
D'après cela, si l'on considère 2/i formes et que l'on désigne, pour un moment, par A/c le déterminant
Kr'
les quotients
sont des invariants absolus. Mais on a
Vrt+l
et il est aisé de voir que, si l'on remplace les variables Xi par d'autres variables yi, chacun des délerminants qui figurent dans le second membre de cette équation se reproduit multiplié par le déterminant fonctionnel
ou déterminant de la substitution. Donc A,i et, par conséquent, Art i, ..., A,, A se reproduisent multipliés par le carré de ce déterminant.
Par suite, toutes les fonctions
sont des invariants relatifs que l'on transformera en invariants absolus en les divisant par l'une cPelles, par exemple par A.
Je ne m'arrêterai pas à montrer comment on peut exprimer toutes ces fonctions au moyen des plus simples d'entre elles
I ^ M 6t je me contenterai, pour cet objet, de renvoyer à mon ' ®rf )
Mémoire Sur la théorie algébrique des formes quadratiques, où se trouve résolue une question analogue. Mais il y a une propriété que j'établirai en terminant cet ai^ticle : Toutes les fois que ces invariants contiendront sur leurs deux lignes la forme 0^/ elle-même, qu'ils auront, par conséquent, pour expression
ils jouiront de la propriété de se reproduire multipliés par une puissance de p, cjuand on remplacera la forme Qd par ^%di p étant, d'ailleurs, une fonction quelconc^ue des variables indéfjendantes.
En effet, considérons l'expression de A sous forme de déter-
minant
Clin
Cl II II
xt
Si l'on multiplie 0^/ par p, il faudra, dans le déterminant précédent, remplacer X/ par pX,-, ciik par p«/A-t-X/ -r— - — X^- -r-^-
(J t-X, j^ (J Ou i
Après avoir effectué cette substitution, ajoutons à Ja /ii''"« ligne
I (}o la /z -{- i'*"'"" multipliée par ^5 et à la i'"'"" colonne la n-\- 1^^™"
multipliée par — r-*-- Nous obtiendrons alors l'ancienne expression
p OJC-i
de A, où tout élément compris dans le carré formé par les n + i premières lignes et colonnes aura été multiplié par p. Le déterminant A se reproduira donc multiplié par p"+'~^.
Nous allons appliquer les propositions précédentes, mais en considérant seulement les formes les plus générales. Nous avons vu, d'ailleurs, à l'article Vil, que tous les cas peuvent se ramener presque immédiatement à ceux que nous avons l'intention d'étudier.
Supposons d'abord 11 pair et égal à 1111. La forme réduite peut alors s'écrire
®d^=^Pv dXi + . . . -\-p,n djc,n ;
je considérerai seulement les deux invariants suivants.
Le premier s'obtient avec la forme fondamentale et la différentielle d'une fonction quelconque 9; son expression générale est
