FM/'-FM','-) __

La différence des angles qui figurent dans le premier membre de cette formule est évidemment égale au double de l'angle sous lequel on voit du foyer le segment MM'.

Donc la portion de tangente comprise entre deux tangentes fixes est vue de chaque foyer sous un angle constant.

Supposons maintenant que les deux tangentes fixes soient

menées du second foyer. Les points associés à M , M' seront

le foyer F' et son symétrique /' par rapport à la tangente.

L'angle MFM' s'exprimera, par la formule (40), en fonction

du rapport des distances du foyer F aux deux points F',/".

F/' Donc le rapport ^, , et par suite F/" restera constant. Ainsi,

le symétrique dhm foyer par rapport à la tangente décrit un cercle ayant pour centre l'autre foyer.

Ces deux propositions peuvent évidemment constituer une base pour la théorie des foyers. On en déduit immédiatement les propriétés métriques focales.

Les points associés donnent lieu encore à des propriétés nombreuses. Par exemple, les droites qui joignent un point M du plan à deux points F , Q ont mêmes bissectrices que les droites joignant le point M aux deux points associés P', Q'. La différence

MP^ + MQ' — MP" — MQ'^

est constante, quel que soit le point M , et par conséquent égale à PQ\ On a

PQ» = P'O" , (MP -t- MQV — (MP' •+ MQ')« = ?Q' .

Mais il nous paraît inutile de multiplier les énoncés.

5'uue classe générais de courbes.

On peut niiss) déduii-o des principes prf^opdeiits des propositions beaucuLî}» plus i>éiiérales, s'appliquant à une clause nouibreiise de courbes de tous les degrés. Voici la detiuition de CCS couj'hos, nuxqneiies nous allons étendre une des propriétés les plus importantes du cercle.

Soit une courbe telle que le produit des distances de l'un quelconque de ses poials à une série de pôles fixes soil dans un rapport constant, auec le produH des distano^s du même point à une iiutre série de pâlct^ fixes.

Son équation sera

rr'r" . . ~k AWV W" ... \

ou

Cette équation peut aussi s'écrire

(h —Cf.] (u — «').. . __ k(v — b) [v — b')... hin~a){u~a')...~ (t;-/?) (o-|3') •••

Elle est donc de la forme

(41, iN t(l),

où ^ , <jp, , ■-]> , ■!', , désignent des polynômes imaginaires, conjugués deux à deuH. H est évident que, j'éciproquement, toute équation de la forme (41) représente une eoui'he jouissant de la propriété énoncée, et, pour avoir les deux séries de pôles contenus dans cette définition, il suHira de décomposer en facteurs les polynômes ^ ,^ .

Or l'équatum {A\) peut s'écrire

OU

La forme nouvelle de l'équation est identique à la première (41); mais les racines des polynômes ont changé. La définition de la courbe reste donc la nuS'ne, mais avec d'autres ptilcs.

Donc, si un^ courbe est telle que les produits des distances de l'un de ses points à deux séries de pôles fixes soient dans un rapport constant, cette propriété subsistfra quand on remplacera les pôles fixes par une infinité de nouveaux systèmes de points convenablement choisis.

Les deux nouvelles séries de pôles ne :>eront réelles, comme le montre l'équation précédente, que si À et >/ sont imaginaires conjugués. Alors les pôles de la première série seront donnés par les équations

(43) *(M)=:y(u)-l~>,y(îO — 0 , 4.,(r) — y^(f;)-hA'fXlV~^ >

et ceux de la seconde par

(44) H-(u) = ^(w)-f-),>(u)=:0\ rX^)=z^^{v)-hUjv) — () .

Il y a plusieurs remarques à faire sur ces nouveaux pôles. D'abord les équations (48) , (4-4) sont du même degré. Donc, alors même que les pôles primitifs ne seraient pas en même nombre dans les deux séries, les nouveaux pôles seront en nombre égal dans chaque série.

En second lieu, si Pun des pôles était multiple, le polynôme f {u) avait un facteur muttiplé; mais, dans les nouveaux systèmes, il n'en est plus ainsi, el les pôles multiples sont remplacés généralement par des pôles simples, en nombre égal au degré de multiplicité.

Enfin, on peut disposer de /. et de A' de manière que l'un des pôles soit en un point donné quelconque, et les autres seront alors déterminés. Si nous exprimons, en effet, que les équations (4r3)

sont vérifiées par des valeurs données de u et de v, ces équations feront connaître X et /'.

Quand on aura choisi arbitrairement le premier pôle A,, voici comment on trouvera tous les autres. Par A^ on mènera des droites aux deux points I , J ; ces droites coupent la courbe en deux groupes de n points, et on reliera d'une manière quelconque les points du premier groupe à ceux du second par n droites. Les» pôles de Tune des séries seront les symétriques de Al par rapport à ces n droites; et, en opérant comme précédemment sur l'un de ces n pôles, on trouvera de même A, et les w — 1 pôles qui avec k^ forment la série associée à la précédente.

La courbe la plus simple de la classe actuelle est le cercle, pour les points duquel le rapport des distances à deux pôles fixes est constant. La proposition énoncée plus- haut est donc la généralisation d'une des propriétés fondamentales du cercle.

Mais il nous paraît digne d'intérêt qu'on puisse étendre à toutes nos courbes les propriétés relatives à l'angle inscrit dans le cercle, et de la manière suivante :

Donnons, dans la formule (4-2), à X et à X' des valeurs imaginaires, e"', e*'', dont le module soit funité. Cette équation prendra la forme

Les deux termes des deux fractions sont imaginaires conjugués. Donc, si nous les décomposons en facteurs, l'équation précédente deviendra

M — a M — a' U — a." U — a U — «' U — fl'

oij (a , P) , (a', g') , ... , (a , h) , ... sont imaginaires conjugués.

Soient A,- le point réel défini par les coordonnées a, , p, ; B. le

point réel défini par a, , è, . Désignons par w, l'angle que fait

avec l'axe des x le rayon qui va du point M {u , v) au point A,- ;

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES» 6î

par W. le même angle pour le point B<. On a, d'après une formate déjà rappelée (39),

, etc.

L'équation (45) prend

donc la forme

= constante

ou

: conslanle.

Sous cette forme, elle exprime que la somme des angles sous lesquels on voit d'un point de la courbe les segments recLilignes AB , A,B, , ... , A. B. , ••• est constante.

Donc, quand une courbe est telle que les produits des distances de l'un quelconque de ses points à deux séiies de pôles fixes soient dans un rapport constant, on peut rncore la considérer, et d'une infinité de manières, comme le lieu des points tels que la somme (ou la différence) des angles sous lesquels on voit d'un point de la courbe des segments fixes soit constante.

On obtient ainsi la généralisation complète de la propriété de l'angle inscrit dans le cercle. Il y a quelques remaniues à présenter sur les segments.

D'abord leurs extrémités sont sur la courbe ; cela est évident d après Téquation, et résulte aussi du théorème. Car, lorsque le point décrivant la courbe sera en un des points A par exemple, l'angle sous lequel on verra du point le segment AB sera indéterminé, et on pourra lui donner, en particulier, la valeur qui satisfait à l'équation (46).

On se rend compte d'ailleurs du résultat qui précède au moyen d'une proposition déjà énoncée. Ou sait, en effet, que Tangle V, sous lequel on voit un segment d'un point M, s'exprime en fonction des distances r ,r' aux points associés du segment, par la formule

r' On voit donc qu' analytiqusment les deux définitions données

70 srn v\f, c.i.asse REMÀnoîAr.î.r

dans les énoncés pr^ci'dents sont identiques. Mais Tune n'est employée qup lorsque les éléments qui ngurenl dans l'autre deviennent irn^iginaires conjugués.

Les courbtîs précédentes onl des foyers, que nous allons déterminer. A cet eflet, reprenons leur équation, qu'on peut écrire

<// (u) -4- X f(ti} ~ ^, (v) -^• X'4, (y)

Les pôles de la première série correspondants à cette forme de réquation, sont dc'terrninés par les l'acines de l'équation

Disposons de A de telle manière que cette équation ait une racine double, ce qui exio-e que l'on ail.

ou

Alors, toutes les dioites données par les valeurs de o, racines de réqiiation

seront Itingentes à la courbe; car leurs intersections avec la courbe sont déiuiies par l'équation (47), qui a une racine double. Les points réels situés sur ces droites seront donc les foyers. Nous ferons Tapplication de cette remarque eu étudiant (juelques courbes particulières.

Pour ce.'^ systèmes de pôles particuliers, l'équation dfs courbes prendrait la forme

R'WH" ••• - f: .rr'r"r"' ■■■ .

Il y a uj? pôk double, dans la première fséi'ie. Ceux de la seconde Sûnt dei foyers.

Enfin, il ne sera pas inutile de remarquer que les courbes étudiées dans cet article appartiennent à la classe de celles dont la définition ne change pas quand on les transforme par

Dli COL'HBES ET yS SURFACES ALGÉfiHlOUKS. 7!

rayons vecteurs réciproques. Si Je pôle est dans le pian, cela est évident; car toute transformation par rayons vecteurs réciproques se ramène, conime on sait, dans ie système de coordonnées symétriques, à eHectuer une substitution de Ja forme

^ ^ pt\-\-p' bu^-h b'

et une telle substitution ne change en aucune façon la forme des équations de nos courbes. Mais on peut donner aussi la démonstration suivante qui s'appiiqije au cas où le pôle de transformation est en dehors du plan, et où nos courbes planes deviennent des courbes sphéfiques.

Étant donnés le pôle 0 et deux points A , M , dont les transformés sont a , m. on aura

^=^„ AM = OA.l^- OA Om Om

Cette formule nous montre que la distance d'un point vanable M à un point fixe A se reproduit multipliée par une constante et divisée par la distance du point m au -pôle.

Donc toute équation homogène entre les distances, et en particulier l'équation

RR' ... = k.rr' ... ,

où le nombre des facteurs est le même dans chaque membre, conservera la même forme après une transformation. Cependant, si le pôle de la transformation était placé en un des pôles de la courbe, A par exemple, le facteur R correspondant disparaîtrait, quel que fût son de^ré de multiplicité. Par exemple Téquation

représente une transformée par rayons vecteurs réciproques d'ellipse de Cassini, puisqu'on pourra faire disparaître le facteur r\

72 SUR U\E CLASSE REMAHuLABLE

Du système orthogonal formé avec les courbes procédentes.

Soient les deux systèmes de courbes représentes par les équations

(50) li^ p^^fj^.

Lorsqu'on fait varier a , ^ , les équations précédentes représentent deux systèmes de courbes isothermes et orthogonales. Nour rappellerons d'abord en (juelques mots la démonstration de ce théorème.

Les formules précédentes, si l'on prend les logarithmes des deux membres, rentrent dans le type

* {U) H- T (r) = G , * (tt) — T (r) :r= G, .

D'après cela, si Ton considère la courbe de chaque système passant par un point donné du plan, les tangentes à ces deux

courbes seront données par des valeurs de — égales et de signes contraires. Or on a, en appelant V l'angle que fait la tangente avec l'axe des x,

du dx+ idy j.v

dv dx — îdy

En appelant V. , \', les angles pour nos deux courbes, on aura donc

e.v.,^-e«v', ^ ou V,-V\r=±^>

ce qui démontre la proposition.

Ainsi, deux systèmes de courbes représentés par les deux

équations du type

1 51 ) * (w) + n ( r) = x , * rw) — i (r) = p ,

OU, ce qui revient au même,

(52) itH"""' *'(^^)^'^'> = ^'

sont des systèmes orthogonaux : ce sont les systèmes isothermes, si souvent étudiés par les géomètres.

L'interprétation géométrique des équations (49) et (50) nous conduit alors au théorème suivant :

Si l'on considère les courbes telles que les prodmts des distances d'un quelconque de leurs points à deux séries de points fixes soient dans un rapport constant, elles seront toutes coupées à angle droit par des courbes qu'on pourra définir de la même manière.

Les pôles qui servent à la définition des courbes orthogonales sont obtenus de la manière suivante. Soient

les droites passant par les premiers pôles des premières courbes et les points I et J; soient de même

les droites passant par les seconds pôles des mêmes courbes et les points I et J . Les pôles des courbes orthogonales seront déterminés par les intersections des droites

Mais, les nouveaux pôles étant imaginaires, la définition du second système orthogonal doit être énoncée de la manière suivante :

Le^ courbes du second système sont telles que la somme det> angles sous lesquels on voit les segments formés en associant deux à deux les pôles des deux séries du premier système orthogonal soit constante.

C'est la forme sous laquelle on donne ordinairement les propriétés du second système orthogonal.

SUK UNE CKAliSE Hf^MAJUiLABLF,

Des cf'urbeB lieux des points d'où l'on voit plusieurs segmenl* sous des angles dont la somrae est nulle.

L'équation

^^^' f.^ /i : * 1 ?i <îésignent des polyrjômes imaginaires conjugués, dont les premiers termes ont riinitépour coefiicient, est comprise comme cas particulier dans Téquation (45). Elle représente des courbes, de degré impair, qui se distinguent des rourbes générales, en ce que la somrae. des angles sous lebquels on voit d\in point de la courbe plusieurs segments est égale à un niultiple de tc. L'équation peut en effet s'écrire

ou

Y + V ^- V" H- ... = kn .

La même propriété subsiste avec d'autres segments; car on peut écrire l'équation précédente sous la forme

y(n)4-r/^(l0^y,u^) + >7at•)^ ?(«) + >/\«) ?i^'0 + ■>/".(*') absolument semblable à la forme (58); mais les segments"^ servant à la définition de la courbe sont changés, et demeurent réels, si a et /.' le sont. Donc,

Quand une courbiieH le lieu des points tels qu'on voit de ces points plusieurs segments sous des angles dovt la somme est un multiple de r. , elle covserve la même propriété avec une infinité d'autres segments, ayant tons leurs extrémités sur la courbe.

Les courbes précédentes comprennent comme ras particulier celles qui sont définies par un© équation do la forme

Di; COUftBKS ET OK SUCFACKS ALGK13RI0UES. 75

00 lr:8 quiiiJtité? H,- désignenl des distances à des pôles fixes, situés sur une droite. Si nous prenons cette droite (30ur axe des X, réquation précédente pourra

s ecnr(i

ou, en multipliant par u — v ,

(S5) V /•" + Aw= y '— 1- ko ,

ou enfin

fin) fiv)

Mais aous n'insistons pas sur ce cas particulier, que nous aurons à considérer plus loin à un autre point de vue (voir art. 37).

Des rapports entre la tliéorie générale des cycliques et celle des fonctions elliptiques.

L'étude délaillée de ce? rapports nous entraînerait trop loin. Cependant nous allons indiquer rapidement comment la théorie générale des cycliques peut être raUachéo aux fonctions elliptiques.

Sott IVquation différentielle

du (Iv

(ob)

où /■(«) , /■, («) désignent des polynômes' imaginaires conjugué!^

du ¥ degré. En général, cette équation ne peut s'intégrer

du en termes finis. Mais, si la diflerenlielle --;:z= se déduit de

yfiii)

. ■ par une substitution linéaire de ia forme

bc + b'

la différentielle . . : se déduira de même de . .

par la substitution

imaginaire conjuguée de la précédente, et l'équation différentielle (56) sera intégrable algébriquement. L'étude de cette intégrale nous avertit que la courbe qu'elle représente est une cyclique plane quelconque. Elle est en effet de la forme

D'ailleur:^, l'équation difiFérentielle (56) met en évidence les

propriétés focales de la courbe.

En effet, soient

f[u) = A (m — rt.) (m — a,) (M — a,) (m — a,) ,

La droite

du coupera la courbe en un point pour lequel t-, est nul, d'après

l'équation différentielle. Cette droite est donc tangente à la courbe. Il en est de même des droites

La cyclique aura donc les 16 foyers définis par les équations W = 0, /.(r) = 0.

Nous allons démontrer que ces foyers peuvent être placés 4 à 4 sur des cercles.

Les polynômes f (u) , f^ (v) provenant d'un même polynôme par une substitution linéaire, leurs racines auront les mêmes rapports anharmoniques. Supposons par exemple que 0 (Oj , 0, , a3 , a,) = 0 (6, , 6, , 6, , b,). On aura

T)E TOURBES ET DE SURFACES ALCÉBRIQdES. 77

Soient A^ , A, , A3 , A^ les quatre foyers déterminés par les coordonnées (a, , b,) , (a, , b,) , (a, , b,) , (a, , b,) . On a , d'après des formules que nous avons fréquemment employées,

. 1 ^ ' ■> yii.AiA,A< ' i ' gt.A,A,A.

rt, — «3" A, A, ' ^5 — «i AjAi '

et de même pour les rapports figurant dans le second membre de réquation, ce qui nous conduit, en substituant, à la formule

2(A,A3A,-A,AA) = 2À-7r .

Cette égalité exprime que le quadrilatère formé par les quatre points est inscriptible, et, par conséquent, que les quatre foyers sont sur un cercle.

Comme chaque valeur du rapport anharmonique- répond à quatre dispositions différentes des éléments, on trouvera quatre cercles sur lesquels les 16 foyers seront rangés 4 à 4.

Enfin Téquation (56) conduit à une construction simple de la tangente aux cycliques, analogue à celle que Ton connaît pour les courbes du second degré. Car soient V , w, , w, , (o^ , (o,^ les angles que font avec Taxe des x la tangente au point M et les droites MA, , MAj , MA3 , MA^ , qui joignent ce point aux quatre foyers ; l'équation différentielle

A u — a^ u — a, u- a. u—a^ B v — bi v—bi V — 6, V— b^

\dv)-

conduit, en posant

à la relation

(69) 2V=:2K + ... +«,+ o.,4-w,r:xM.7r,

et cette relation donne pour l'angle V deux valeurs, différentes

de ~; par conséquent, les tangentes aux deux courbes passant

en un point du plan sont perpendiculaires. Ainsi, l'équation (56) est intégrée par le système des cycliques planes, homofocales et orthogonales.

78 SUft XjMH eiASSb: REMAROLiBLE

Pour construire iitniplenienl la formule (59). ii suffira de connaître la constante K, et, pour cela, de placer d'abord le point M sur le cercle focal. Mais nous n'insistons pas sur ce point do détail. Remarquons aussi que l'es formules de substitution (57),(r>8K interprétées géométriquement, donnent la transformation par rayons vecteurs réciproques dans le plan. Nous retrouvons donc r ette proposition ; Toute cyclique plane ext la tranfiformée par rayons vecteurs réciproques d'une Ci/clique à deux axes de symétrie.

Ces dernières cycliques ont été étudiées par M, Siebeck dans deux Méraoiies importants (t. LVll et LIX du Journal de Borchardt). Les ovales de Descartes ont été considérées au même point de vue par l'auteur dans les Annales de l'Ecole Normale. Signalons aussi des articles de M. Laguerre dans le Bulletin de la Société Philomatkique (*).

De l'eilipse de Cas&ini.

On sait que l'équation de cette courbe, rapportée à ses axes de symétrie, est

C'est donc une cyclique; c'est aussi ce qui résulte de l'équation focale

rr = h ,

«t cette dernière équalion va nous permettre d'énoncer les propriétés caractéristiques de Tellipse de Cassini,

Proposons-nous d^abord le problème suivant, résolu d'une manière e^énérale par M. de la Gournerie {^) : Étant donnée

[^) Sup les applications de la Géométrie au Cilcul Intégral. Bulletin de la Société Philomathique, 1807, p. SI.

('') Journal Je Ltauville, t. XIV, 2^ série. Mémoire sur les lignes spiriques.

DE COURUES ET DE SURFACES AL(;i^.Rfiit!LE:i.. 79

ujie cyclique plane, définie par la conique déférente (K) et par le cercle directeur (A), déterminer les foyers singuliers de cette cyclique.

Nous avons vu que les foyers singuliers sont les points réels, situés sur les asymptotes de la cyclique. Nous savons aussi qu'étant donné un des cercles orthogonaux, au cercle (A) et ayant son centre en m sur la conique (K), pour avoir les points de la courbe, il faut abaisser du centre 0 de (A) une perpcndiculajre sur la tang:ente en m. Les points d'intersection de cette perpendiculaiic et du cercle appartiennent à la cyclique, I/un de ces pouits s'éloignera à lïnfini dans le cas seulement où la tangente en M à la conique ira passer par un des points à rinfuii sur le cercle, 1 par exemple. Alors la tangente à In cyclique sera la tajigente au cercle, c'est-à-dire la tangente menée à la conique par le point I. On voit donc que les asymptotes de la cyclique seront les tangentes menées à la conique des deux points T et J; eu d'autres termes, les foijcrs singuliers de la cyclique seroul les foyers ordinaires de la conique déférente.

Cela posé, soit une ellipse de C4assini, Les points qu'on appelle d'ordinaire foyers de cette courbe, et qui donnent lieu lieu à l'équation

rr' -- k ,

seront à la fois des foyers orainaires et des foyers singuliarb. L'ellipse de Cassini s'obtiendra donc en prenant une conujue déférente (K) à centre unique quelconque, et un cercle directeur concentrique à cette conique. D'ailleurs, comme les foyers de la conique (K) doivent aussi étie foyers de la courbe, il faudra que le cercle (A) passe par les points de contact des tangentes menées à la conique de ses deux foyers. Cela nous conduit au mode suivant de génération :

On obtient la courbe de Cassini, en prenant une conique déférente quelconque (qui doit être une hyperbole, si la courbe est réelle), et pour cercle directeur le lieu des points

80 SDK UISE CLASSE RKMAUQLABLF.

d'où Tûri peut mener à la conique des tangentes rectangulaires.

Si l'hyperbole a son axe réel plus grand que Taxe in;agind;re, la courbe est formée des deux ovales. Dans ce cas, les quatre foyers sont sur l'axe réel.

Si rhyperbole a son axe imaginaire plus grand que Taxe réel, on obtient la courbe formée d'une seule branche. Deux des foyers réels sont sur l'axe imaginaire.

Enfin, SI l'hyperbole est équilatère, c'est la lenmiseate que l'on obtient.

Pour avoir les quatre foyers de la courbe, d suffira de mener des droites aux points I et J par les quatre point-, d" intersection de la conique déférente et du cercle.

Ce sei'ait ici le lieu de montrer comment les propriétés des cycliques permettent de généraliser un théorème relatif à la lemniscate, et de donner un mode parfait de représentation des intégrales elliptiques par un arc de courbe. Mais ces propriétés peuvent, sans inconvénient, être détachées du travail actuel.

L'ellipse de Cassini fait partie des courbes que nous avons étudiées au n" 27. Son équation peut, en effet, s'écrire

(60) (u^—c')iir—c^) = a',

d'où l'on déduit

et, par suite, équation de la forme

RR'—^-. rr' ;

et les nouveaux pôles seront déterminés par les équations

««r=c' — irt*,

t'» = C* — /fl^ ,

DE COURBES ET DE SURFACES Al.GÉBhlQlJES. 81

Considérons un cas particulier, l'équation deviendra

Cette équation peut s'écrire

(01) |p'-RR',

p désigne la distance au centre de la courbe; R , B' sont évidemment les distances aux deux autres foyers détermines par les formules

Donc , le prodtdt des distances aux deux seconds foyers est proportionnel au carré de la distance au centre.

11 résulte delà que la transformée par rayons vecteurs réciproques d'une ellipse de Gassini est encore une ellipse de Gassini, si Ton met le pôle au centre. Seulement, pour la courbe formée d'une seule ovale, les deux foyers donnant lieu à la propriété focale rr' =k passeront par la transformation sur l'axe perpendiculaire.

Nous allons maintenant développer la propriété dos segments capables, en écrivant l'équation (60) sous la forme

(62) :i::::iii^ - - -'

«' — c' + a~er r* - c^ + a^e .^*

D'après les propositions générales données plus haut, cette équation exprime que, si l'on considère les deux segments dont les extrémités sont données par les formules

pour la première extrémité, et

82 SUR UNE CLASSE REMAROl ABf.E

pour la seconde, la somme des angles sous lesquels on voit ces deux seements est oonstanio. Donc,

Si l'on inscrit dans i' ellipse de Cassini un parallélogramme de même centre, la somme algébriffiic des anghjs sous lesqueis on voit les côtés opposés d'un point de la courbe est constante.

Ces remarques servent d'application aux théorèmes généraux énoncés plu^-haul.

L'ellipse de Cassini n'est pas d'ailleurs la cyclique la plus générale ayant une équation de la forine

RR' = K.rr' .

II semble même que cette équation, contenant 9 constantes-, serait propre à représenter les cycliques planes les plus générales. Mais, comm« on a démontré que cette équation peut conserver la même forme avec une infinité de bystèmes de pôles, et que même l'un d'eux peut être choisi arbitrairement, ;0{i voit qu'elle ne contient, en réalité, que 7 constantes, et ue peut représenter toute cyclique. Nous verrons plus loin comment on peut rattacher tout cela aux théorèmes de Poncelet. Les cycliques déiînies par l'équation

fornaent lorsque K varie, un système de cycliques, coupées à angie droit par les courbea satisfaisant a léquation

(64) ÂMB -{- A 'MB' =:: con.t.

Ces nouvelles courbes sont encore des cycliques. On a donc un syjrtèin'e double orthogonal , formé exclusivement de cycliques.

Ce système conjprend, comme cas particulier, celui des ellipses de Csîsini et des hyperboles équilaières, qui a été étudié surtout par Lamé. II sniTjt que deux des pôles, B , B', servant à la déiijutioii du premier sysfème, soient rejetas à l'infini. Toutes leis cycti({u<?> du système général sont d'ailleurs

IIK COURBBS irr OK SI'RFAOES AI.CKBRiQlJES. 83

lies transformées par rayons vecteurs réclprotiucs de l'eîlipse de Cassmi.

Des points associés à la surface de la sphère.

Les propriétés des points associés dans le plan ont leurs analogues dans la aéoniétrie sphérique.

Si nous transformons une figure plane par rayons vecteurs réciproques, au plan correspond une splière; aux droites du plan passant par le point I correspondent les génératrices d'un même système delà sphère. De même, aux droites passant par le point J correspondent les génératrices rectiligncs du second système. On voit donc que toute génératrice de la sphère a un point réel, et que les génératrices d'un système sont imaginaires conjuguées de celles de Faulre. Donc, à un quadrilatère du plan, ayant pour sommets opposés les deux points ï et J, correspond sur la sphère un quadrilatère reotiligne formé de deux génératrices de chaque système. Il résulte de là la construction des points P', Q', associés aux points P , Q.

Par les points P , 0 on mènera les deux génératrices rectilignes de la sphère, qui passent en ces [>oints. Ces deux générati'ices se coupent en deux points P', Q' qu'on dira associés aux premiers. Il est clair que la droite P'Q' est la polaire de PQ, et, par conséquent, si l'un des couples, PQ , P'Q' est réel, l'autre sera nécessairement imaginaire.

Il est vrai que, dans le plan, nous faisions une distinction entre les points P',Q'. Si les points P et 0 ont pour coordonnées

Pi»=«>

s avons pris

(Voir art. 26). Mais ici la même distinction peut évidemment être faite ; car aux droites passant par le point ï dans le plan correspondront, sur la sphère, les génératrices d'un système, que nous appeierons (1); et de même, aux droites passant par J dans le plan, les droites du second système, que nous distinguerons par la lettre (.1), et qui sont imaginaires conjuguées des premières. Examinons maintenant les propriétés des points associés.

Le rapport ^rpT^ôTy ^^^ distances d'un point M aux quatre

points P,Q,P',Q', étant égal à Tunité dans le plan, sera constant à la surface de la sphère, et Ton aura

MP.MQ , MP'. MQ'

pQî p'Q'

Donc il y a sur la sphère un rapport constant entre le produit des distances d'un point quelconque M à deux points fixes, ¥ , Q , et le produit des distances du même point aux deux points associés P'.Q'.

On peut transformer de même les relations relatives aux angles, et nous signalerons d'abord celle-ci. Si l'on joint le point M soit aux deux points P , Q , soit aux deux points P', Q', les deux couples de grands cercles ainsi obtenus auront mêmes bissectrices. On pourra substituer, sans que la propriété cesse d'exister, aux grands cercles des petits cercles assujettis à couper à angle droit un cercle fixe quelconque de la sphère.

Nous avons vu que, dans le plan, on a

Sur la sphère les droites MP,MQ, ... se transforment en petits cercles passant par le pôle. Si nous appelons ce pôle M', la relation précédente, transformée sans aucune difficulté par la méthode des rayons vecteurs réciproques, nous conduit au résultat suivant :

Soient deux petits cercles de la spiière pa^.-ant, l'un par

M , M', P', l'autre par M , M', Q', et désignons leur angle par

/\ P'MQ'; on aura

/\ MP M'P ^^ MQ M'Q

M , M' étant d'ailleurs des points quelconques de la sphère, et P , Q les points associés à P', Q'. Cette relation est fondamentale, et nous allons en déduire plusieurs conséquences.

i° Les points M , M' étant quelconques, on peut faire sur leur position différentes hypothèses particulières, et supposer, par exemple, qu'ils soient diamétralement opposés sur la sphère. Alors les cercles considérés plus haut sont les grands cercles passant par M et les points flxes P', Q'. D'ailleurs, les distances M'P , M'Q deviennent égales aux distances UP^ ,MQl du point M aux points P, , Q, , diamétralement opposés à P et à Q , et la formule (66) devient

arc M P