B'—AC

Pour » = 3 , on a la première classe des fonctions ultraelliptiques. Les équations (20) sont au nombre de deux; les courbes intégrant les deux équations différentielles sont des courbes du 4* ordre, à 1 point double, admettant pour tangentes doubles les 6 côtés fixes d'un hexagone circonscrit à la conique (K), etc.

On obtient d'ailleurs sans difficulté, dans tous les cas, l'équation des courbes (Y), c'est-à-dire îa relation entre p , pi^ convenant à tous les points de ces courbes. Il suffira d'exprimer que les deux équations en À ,

AX' 4- 2B; + C = 0 , A.r + 2B,). + G, — 0 ,

ont une racine commune, ce qui donne

(AC, — CA,)' = 4{AB, — BAj(BC,~CB.) .

Cette forme met en évidence le facteur à supprimer (p— p,)', qui, égalé à zéro, donne la conique de base (K) . La suivante,

(2BB. — AC. — GÂJ'~4(B'— AC)(B.^— A,C;j=:0,

.onduit à un théorème intéressant.

La courbe d'ordre «, définie par l équation