AX' + 2B> + C

étant ici du 3® ordre en p , à chaque valeur de X correspondent trois valeurs de o , et par conséquent trois tangentes à la conique (K) . Ces tangentes forment un triangle dont les sommets décrivent la courbe (V^) . Mais on doit se demander si ce mode de génération donne la courbe la plus générale du 4® ordre à i point double, et la réponse est affirmative.

Considérons d'abord une courbe générale du 4® ordre. On sait, depuis les belles recherches de Hesse, de Steiner, etc., que cette courbe peut être engendrée, et de plusieurs manières, comme enveloppe d'une suite de sections coniques, représentées par une équation de la forme

(30) E+Bm + Em*=:0 ,

où m est un paramètre variable, et H , D , E des polynômes du second degré par rapport aux coordonnées ordinaires. Ces coniques sont telles qu'il en passe deux par un point quelconque du plan. Chacune est tangente à la courbe enveloppe du 4^ ordre en 4 points a, , a^ , «j , a^ , variables avec m .

Mais il est clair que toutes les coniques représentées par

108 SUR LNK C.f.ASSR REMAROl^ABLE

lY^quation (.'30) font partie du réseau df^terminc par trois d'entre elles, et par conséquent que les cordes de ces coniques a, a, , «,a3 , ... enveloppent la courbe, en général du 6^ ordre et de la 8^ classe, qu'un appelle la cayleyenne du. réseau. Ainsi toutes les tangentes à la eayieyenne coupent la courbe du 4^ ordre en quatre pointo, qui se déterminent par groupes de deux. Cette remarque établit une correspondance digne d'étude entre une courbe de 'j® classe, la cayleyenne, et la courbe du Â^ ordre.

Dans le cas où la courbe du 4® ordre a un ou plusieurs points doubles, il y a toujours un système au inoins de coniques inscrites dans la courbe et contenant toutes un seul des points doubles, que nous appellerons a. Ces coniques déterminent un réseau, et, comme elles passent par un point fixe, ia caylevenne se réduit à une conique (K) . Alors chaque conique est tangente à l'enveloppe en trois points seulement a, , a, , a, , et les droites qui joignent ces trois points enveloppent la conique (K) . C'est le mode de génération qu'il s'agissait de retrouver.

Nous pouvons d'ailleurs exprimer les coordonnées ordinaires d'un point de ia courbe (V,j en fonction d'une arbitraire, de la manière suivante.

Donnons-nous une des racines {>— m de l'équation (29). En résolvant celte équation par rapport h }, 1 sera exprimé par une fonction de u, contenant la racine carrée d'un polynôme du 6® degré en w. Mais, si l'on considère X comme connu, l'équation du 3® ordre en p aura trois racines u , p , p,. Supprimant la racine m , pf , etp-f p, seront donnés en fonction ratiotmelle de u et de X , ou, si l'on veut, en fonction de u et d'un radical carré du 6® degré en u. Or, une fois connus c p, , p + p, , on a, par les formules (3), les coordonnées ordinaires d'un point de la courbe

Le système de coordonnées examiné ici se prête d'une raanière très simple à la résolution de toutes les questions concernant les polygones circonscrits aux coniques. En voici un nouvel exemple.

Supposons qu'on se propose, étant données deux courbes (W) , (W,) , de trouver le lieu décrit par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à la conique (K) , et dont deux sommets décrivent les courbes (W) , (W,) .

Soient

les équations des deux courbes, et considérons le triangle circonscrit ABC dans une de ses positions. Les coordonnées des trois sommets seront, par exemple,

pour A , . . . p, , s. ;

pour B , . . . p , p^ ;

pour C , ... 0 ,p, .

Alors, si le point A décrit la courbe (W), on devra avoir

f{p,,P,) = Q, ou f(p,,p,) = {}.

De même, si B décrit (W,) ,

?(/>,/'») = 0, oa f{f,, ,,) = ().

Pour avoir le lieu décrit par le troisième sommet, il faudra donc éliminer o, entre les deux équations

ou entre les deux suivantes,

(31') no.,p.)=^o, ^{p,,p) = o.

Ce second système est identique au premier, si les équations sont symétriques. Dans tous les cas, la question est, oa le voit, ramenée à une simple élimination.

Par exemple, supposons que (W) , (W,) soient des droites ou des coniques doublement tangentes à (K). On aura à éliminer p., enire deux équations

k'p p, + Wp + C'p, 4- D'=: 0 ,

ce qui conduit évidemment à une relation de même forme entre p et p, .

Nous obtenons, par suite, le théorème bien connu suivant : Si un triangle est circonscrit à une conique (K) ., et que deux de ses sommets décrivent des droites ou des coniques doublement tangentes à la proposée, le troisièm,e décrira aussi une conique doublement tangente à la proposée (K) .

Supposons maintenant que les deux courbes (W) , (W,) soient deux coniques, inscrites dans un même quadrilatère circonscrit à (K) . Nous avons trouvé Téquation de ces coniques (27). En intégrant cette équation, on voit qu'ici le système (31) sera de la forme

En éliminant f , , nous trouvons l'équation

qui représente une conique inscrite dans le même quadrilatère que les trois premières. C'est le théorème de Poncelet sous sa forme la plus complète, et la méthode suivie s'étend, on le voit, à d'autres questions.

Au moyen des remarques précédentes, nous pouvons aussi interpréter toute substitution faite sur l'une des variables. Soit

l'équation d'ane ceurbe (Y). Si l'on substitue à p, la variable p, , liée à la première par l'équation

le résultat de la substitution définit une courbe nouvelle (V),

DE COlJRBeS £T DE SUHFACES ALGÉBRiQLES. 201

et il est clair que (V) est le lieu décrit par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à (K) , ci dont deux sommets décriraient les courbes (V) ,(L'); ou plutôt, cest, d'après ce qui précède, une des deux courbes dont se compose le lieu complet.

On verra ainsi que toute courbe du 4® ordre à deux points doubles peut être considérée, et d'une infinité de manières, comme le lieu décrit par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à une conique (K), dont un sommet décrit une conique quelconque, et Tautre une conique doublement tangente à (K). J'indique seulement ce mode de génération, dont la démonstration exige quelques développements, qui sont donnés à la fin de cette note.

Nous avons vu comment l'équatioa différentielle d'Euler

admet pour intégrales générales les coniques inscrites dans le quadrilatère circonscrit à (R) et défini par l'équation

(33) /(PJ-^O.

Si ce quadrilatère a pour deux de ses sommets opposés les points circulaires de l'infini, les coniques intégrales seront homofocales à (K) .

On doit à M. Chasles deux beaux théorèmes, qu'on n'a pas encore essayé de démontrer par la considération des fonctions elliptiques. L'un de ces théorèmes peut s'énoncer ainsi :

Étant données deux coniques homofocales (C) , (K) , si de deux points a , a' de l'une (C) on mène des tangentes à l'autre, on forme un quadrilatère, dont les autres couples de sommets opposés &, 6', c , c' sont aussi sur des coniques homofocales

Wi SUR UNE CLASSE REMARQUABLE

aux proposées. Cette importante proposition se démontre sans difficulté de la manière suivante.

Soit la conique (K) et le quadrilatère défini par Téquation (3S). Toutes les coniques inscrites dans ce quadrilatère seront représentées par l'équation

en sorte que, pour deux points (o , p,) (o', p\), situés sur une conique, on aura

.o«^ f ^p fjii^ = fjiL^ rj±±^ , ^ Jyw) J^m jvW) jyim

ce qu'on peut écrire

J \^M J yn^) J ^^'niù J ^^fip\)

Cette dernière équation exprime le théorème qu'il s'agissait de démontrer. Elle sigiiifie que la conique qui passe par le point (p , o') et qui est inscrite dans le même quadrilatère que les premières, passe aussi par le point (pj , p/j. Or ces deux points sont deux sommets opposés du quadrilatère formé par les quatre tangentes p , f ' , p^ , p', ; ce qui démontre la proposition indiquée.

On peut aussi faire intervenir le théorème d'Abel de la manière suivante.

En vertu de l'équation (35), on devra avoir l'identité

(36) {Kx* -^ Ba? 4- C)' - f(x) = D (x—o) ta;— /j.) (a?— p') (x— /»',) ,

et la symétrie de cette identité prouve immédiatement le théorème. Mais nous allons déduire de l'identité (36) la démonstration d'un autre théorème de M. Chasles. Posons

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRiQUES. 203

L'identité (36) pourra s'écrire

(37> {A^' + Bx + Cr-~r,(x]=:{œ-^a){x-b)(x~a'){x^b'), et cette identité, toute semblable à la précédente, exprime que, dans le quadrilatère

CT (x) — 0 ,

on peut inscrire une conique passant par deux sommets opposés {a,b), {a\ b') par exemple, du quadrilatère primitif

fy.^) =- 0 ; d'où le théorème suivant :

Étant données deux coniques (C),(K), si de deux points de (C) on mène des tangentes à la conique (K) , elles forment un quadrilatère dans lequel on peut inscrire une conique passant par deux quelconques des sommets opposés du qua> driiatère llCKK?

En transformant par Thomographie, on a le théorème de M. Chasies :

Étant données deux coniques homofocales, si de deux points de lune on mène des tangentes à l'autre, on forme un quadrilatère circonscriptible à un cercle.

On sait que cette proposition comprend comme cas particulier les propriétés métriques focales.

Les théorèmes de géométrie que nous venons de démontrer s'étendent aux courbes plus générales que nous avons examinées, et qui correspondent aux équations abéiiennes. On pourra consulter à ce sujet l'article présenté à la Société Philomathique (séances du 25 mai et du 8 juin 1872).

xm.

Le système de coordonnées précédent trouve une application intéressante dans l'étude de quelques courbes, et, en particulier, de relies du quatrième ordre à deux points doubles.

204 SUR UNE CLASSE REMAP.QUAIJLE

Supposons qu'on ait à examiner une équation non symétrique en p , p, . Une telle équation pourra toujours se mettre sous la forme

(38) /■(/>,^)-+-i> — p.:"=(.°,fj = 0,

où /■ et c sont des fonctions symétriques. Elles s'expriment donc en fonction rationnelle des coordonnées ordinaires, tandis que p — fi est la racine carrée du premier membre de l'équation de la conique (K) . En élevant au carré pour rendre l'équation rationnelle, nous aurons l'équation

(39) /«(p^,)'^*^0, OU