P*KO

La courbe qu'elle représente est tangente à la conique (K) en tous les points où elle la rencontre. Elle a des points doubles à l'intersection des courbes P et Q .

Par exemple, si l'équation (39) est du second degré en c- et en p, , mais non symétrique , elle représentera une courbe du 4® ordre ayant deux points doubles à l'intersection de la conique P— 0 et de la droite Q = 0, et cette courbe du ¥ ordre sera tangente en quatre points à la conique (K) .

Réciproquement, toute courbe du quatrième ordre à deux points doubles peut être représentée, et d'une infinité de manières, par une équation de la forme (38). Car il y a une série de coniques inscrites dans la courbe, et ne passant par aucun des points doubles: soit (K) l'une quelconque de ces coniques. L'équation de la courbe du 4® ordre pourra se mettre sous la forme (40) et par suite sous la forme équivalente (38). Ainsi, il suffît de prendre pour conique de base de notre système une quelconque des coniques tangentes à la courbe en quatre points.

Nous rencontrons ici un fait intéressant dans la théorie ^« ordre à deux points doubles, et ce fait

m- COURBKS ET DE SL'RFACF.S ALGftBRIQUKS. 205

se rattache aux différents modes de génération qu'on a proposés pour les décrire. On sait (en supposant que les deux points doubles soient les points à rinfini sur le cercle) qu'elles sont anallagmatiques par rapport h quatre pôles différents. Par suite, pour toute droite passant par chacun de ces pôles, l'équation du 4^ ordre qui détermine les points d'intersection de la droite et de la courbe se résout par des extractions de racines carrées.

C'est là un fait analytique remarquable en lui-môme. Les recherches précédentes lui donnent une réelle extension ; car elles démontrent que la même propriété appartient aussi aux droites tangentes à l'une quelconque des coniques inscrites dans la courbe du 4^ ordre.

Soit, en effet,

fip , pj = 0

l'équation de la courbe, du second degré, mais non symétrique en

Une tangente quelconque à la conique (K) sera définie par l'une des équations

En prenant successivement p =a , p, = a, on aura à résoudre deux équations du second degré, qui donneront chacune deux des quatre points d'intersection de la droite et de la courbe.

Ainsi, étant donnée une courbe du ¥ ordre à deux points doubles et une conique inscrite (K), toutes les tangentes à cette conique couperont la courbe en quatre points, se déterminant par des extractions de racines carrées. Quand la conique (K) se réduit à deux droites, ses tangentes viennent passer par le point de rencontre de ces droites, et l'on obtient le mode de génération dû à MM. Salmon et Moutard.

H suit de là que, étant donnée une droit'.^ quelconque dans le plan de la courbe, l'équation du 3« degié qui détermine les trois coniques (K) , inscrites dans la courbe et tangentes à la droite, est la résolvante de Téquation du 4^ é^gié, faisant

^06 SUR UNE CLASSK RKMAUgUABi.E

connaître les points d'inlerseetion de la droite et de la courbe. (Voir l'article 41 pour des remarques aiialogues relatives aux cyclides.)

Entin, on peut déduire des remarques qui précèdent un mode de génération des courbes étudiées ici.

Si l'on fait correspondre anharnioniquemenL les cereles passant pat- deux points a , a' aux tangentes d'une eonique (K), les micrseciions des cercies avec les tangentes correspondantes décrivent en général une courbe du 5^ ordre. Mais, si la droite aa' est tangente à la conique (K) , et, en outre, si la droite aa" . considérée comme tangente, correspond au cercle de rayon infini passant par a,a\ la courbe du 5« ordre se décompose dans la droite aa' et en une cyciique circonscrite à la conique (K) .

En terminant ce qui se rapporte aux courbes du 4® ordre, nous allons démontrer le mode de génération de ces courbes indiqué à 1" article 12 de cette Note. Soit

réquation de la courbe proposée. Cette équation n est pas symétrique, mais on peut la déduire d'une équation symétrique

par une substitution de la forme (43) Ap,p\-\-Bp, + Cp\-h i)^0 .

Cette substitution analytique, d'après les remarques faites plus haut, nous montre que la courbe est décrite par le sommet libre d'un triangle circonscrit à la conique (K) , dont l'un des sommets décrit une conique quelconque (42), et l'autre une conique (4-^), inscrite à (K) , Ainsi,

La courbe du 8® ordre décrite par le troisième sommet d'un triangle circonscrit à une conique (K) , dont l'un des sommets décrit une conique quelconque (C) , lautre une conique (('') doublement tangente à (K), se compose de deux courbes du

DE COURBES KT DE SURFACES AIXf.BRIOUES, 207

4* ordre à deux points doubles. Kéciproqueineut, toute courbe du 4^ ordre à deux points doubles peut être engendrée comme nous venons de l'indiquer.

Notons encore une conséquence de Téquation (41). Si Ton donne à p une valeur quelconque, on trouve pour p, deux valeurs, entre lesquelles il y a une relation symétrique du second degré. Donc,

Étant donnée une courbe du 4® ordre a deux points doubles et une conique (K) , inscrite dans la courbe, si des points où une tangente à (K) coupe la courbe on mène de nouvelles tangentes à la conique, ces tangentes forment un quadrilatère dont deux sommets opposés décrivent des coniques.

Wè SUR UNE CLASSE HEMAROIABLE

"Vot© III.

Sur la démonstration directe des théorèmes de géométrie spkérique exposés dans la troisième PAKTrE.

Dans la Troisième Partie (art. 33 ii 38), nous nvons donné quelques propositions de géométrie sphérique, que nous avons déduites des théorèmes analogues déjà démontrés pour les courbes planes (art. 27 à 32). Il ne sera pas inutile de montrer comment l'emploi du système de coordonnées étudié dans la ^ote précédente peut conduire à une démonstration directe des propositions relatives à la géométrie de la sphère, données dans la Troisième Partie. Mais auparavant nous allons exposer quelques remarques relatives à la perspective plane des figures tracées sur la sphère.

Étant donnée une sphère (S) de centre 0, projetons ses différents points sur un plan P, par des droites contenant le centre 0 . 41ors à tout point m de la sphère correspondra un seul point M du plan. Mais ce point M aura pour homologues sur la sphère les deux points diamétralement opposés w , w', situés à l'intersection de la sphère (S) et du diamètre OM. On a donc un mode de représentation de la sphère sur un plan qui a été étudié surtout par M. Chastes, et, en dernier Heu, par M. Clebsch. Les points à l'infini de la sphère se projettent suivant ceux d'un cercle (K) , intersection du plan de perspective (P) et du cône asymptote de la sphère. Les grands cercles de la sphère se projettent suivant des droites, et les petits cercles suivant des coniques doublement tangentes au cercle /M) .

Les génératrices rectiligpaes de la sphère se projetteot suivant les tangentes an cercle (K) , et chacune de ces tangentes est la perspective de deux génératrices rectilignes de la sphère (S) , qui sont diamétralement opposées et de systèmes différents.

D'après cela, si Ton emploie, pour déterminer les points à la surface de la sphère, le système de coordonnées formé des deux séries de génératrices rectilignes, de telle manière que là première des coordonnées demeure constante pour tous les points d'une génératrice rectiligne de l'un des systèmes, et la seconde pour tous les points d'une génératrice de l'autre système; à ce système de détermination des figures sphériques correspondra, dans le plan qui est la perspective de la sphère, le système de coordonnées qui a été étudié dans la Note précédente, et dans lequel on détermine un point par l'intersection de deux tangentes à la conique (K). Nous allons tout d'abord examiner la liaison entre les deux systèmes de coordonnées.

Soit un point du pian (P; , ayant pour coordonnées f , p, , déCnies dans la Note précédente. La tangente T au cercle (K), déterminée par la coordonnée p , est la perspective de deux génératrices du premier et du second système de la sphère t,t'. De même la tangente T,, correspondante à pj , est la projection de deux génératrices rectilignes t^, t\. Donc le point M du plan intersection de T,T, est la projection de deux points m , «i' de la sphère, w , intersection de t , f\; m.\ de f , f, .

Ainsi, notre système de coordonnées symétriques p . pf , qui détermine sans ambiguïté un point du plan, ne conserverait pas cette propriété sur la sphère. Pour faire disparaître cette difficulté, nous conviendrons qu'en déterminant le point M par les coordonnées p , p^ , la tangente définie par la premièi-e coordonnée p sera toujours la projection d'une génératrice rectiligne du premier système de la sphère; et au contraire, à

la tangente correspondante à pi on fera correspondre une génératrice rectiligne du second système. Alors à un système (f , p,), définissant un seul point M du plan, correspondra aussi un seul point m de la sphère. Mais au système (p, , p) , définissant le même point M du plan, correspondra le point m' de la sphère, diamétralement opposé au point M .

Étant donnés deux points A , B de la sphère, définis par les coordonnées ? , p, ; p', ?', , les points associés A', B' auw)nt pour coordonnées p , p', ; p', p, , et les points diamétralement js à ces derniers, ?', , p ; p, , p'.

Examinons maintenant les propriétés métriques relatives à ces systèmes de coordonnées. Nous allons rappeler les définitions importantes déjà données d'après M. Cayley (ait. 61).

Étant donnés deux points dans le plan et la conique (K), appelons distance des deux points M , M' la fonction d définie par l'équation

R étant le rapport anharmonique des points M , M' et de ceux où la droite iVI M' coupe la conique (K) .

De même, étant données deu?L droites, appelons angle de ces deux droites la fonct.on V, (Jéfînie par l'équation

R' désignant le rapport anharmonique formé avec les deux droites et les deux tangentes menées de leur point de rencontre à la conique (K) .

,Çes définitions subsistent quand on soumet la figure entière à une transformation homjgraphique; car on sait que l'homographie ne change pas les rapports anharraoniques. Si l'on soumet, au contraire, la figure à une transformation par

polaires réciproques, les angles se changent en distances, les distances en angles.

Ces définitions étant admises, on reconnaît sans peine que deux points m ,n de la sphère se projettent suivant deux points M , N du plan, tels que l'arc mn de la sphère soit égal à la distance MN , prise par rapport au cercle (K) et telle que nous venons de la définir. De même, deux grands cercles de la sphère se projettent suivant deux droites faisant le même angle que les deux grands cercles, pourvu qu'on mesure l'angle des droites par rapport au cercle (K) .

Ainsi la géométrie de h sphère est identique à cette géométrie plane, dans laquelle on prend le cercle (K) pour conique absolue, suivant la définition de M. Cayley.

Il résulte de \h que, dans la suite, nous pourrons considérer à volonté soit les figures planes, soit les figures sphériques comme rapportées à notre système de coordonnées, et nous obtiendrons en même temps les propriétés métriques des figures planes dans la géométrie de M. Cayley, et celles des figures sphériques avec les notions ordinaires d'angles et de distances.

IIÎ.

Proposons-nous d'abord de déterminer la distance de deux points M , M' par rapport à une conique (K). Soit, comme dans la Note précédente,

l'équation de la conique, et a , p ,y , a', P', y' les coordonnées de M et de M'. Tout point de la droite MM' aura pour coordonnées a-f-Xa', g + Xp', y + X/'', et, en exprimant que ce point satisfait à l'équation (1), on aura

Cette équation détermine les deux valeurs de > correspondantes aux deux points d'intersection de la droite MM' et de

SIS SUR l!NE CLAS8B RBNARQCABLE

la conique (K) , et, d'après les principes connus, le rapport anharmonique de M , M' et de ces deux points sera égal au rapport des racines de l'éqaation précédente. En appelant r ce rapport, on a

On déduira de là la valeur de r» puis la distance 4 des deux points, pai" la formule

En raisonnant de la même manière, on trouvera q\ie Tangle V des deux droites définies par les équations

est donné par la formule

où

^' r' ""(n*— ■mp)(Ti'«—m'p')

Voyons maintenant ce que deviennent ces formules dans notre système de coordonnées. Il suffit évidemment» pour avoir la distance des deux points définis par les coordonnées p , p, , a , ttj , de substituer aux coordonnées oitïinaires leurs expressions en fonction de p , pj , œ , «j , ce qui se fait sans difficulté. On trouvé ain«i, presque sans calcul»

(7) 8in^!=.fc^HeiIIf!i>

(8) cos'

1 (p pj («-«,)

(9) lang-^^-^^— Vr~^'

A h surfece de la sphère, à sera l'are joignant les deux

DE COURBSS ET DB SURFACES ALGÉBRIQUES. 2iS

points; 3 siiîs i^ corde, c'ést-à-dire ia distance rectiiigne des

deux points. On voit que les seconds membres de ces formules et leurs inverses sont les six rapports anharmoniques qu'on peut former avec les quantités p , o, , a , a, .

Examinons maintecant un autre problème, et proposonsnous, étant données deux droites, se coupant en un point (p , p J ôt passâîjt l'une par lo point (a , a,), Tautro par le point (^ , p^), de trouvei* langle qu'elles forment entre eltes. Appliquons les formules (5) et (6). Pour la première de ces droites, on a

et pour la seconde on a des valeurs semblables ae m' ,n' yp'. En substituant ces valeurs dans la formule {6), on trouve

r' ~ MM,

où

et, par suite,

, M Aï,

On a donc

Le double signe correspond aux deux sens dans lesquels on peut considérer l'angle des droites, ou celui des grands cercles de la sphère se projetant suivant les droites.

Nous avons obtenu l'expression do la distance de doux points et de l'angle de deux droites dans notre système de coordonnées. Au moyen de ces expressions, convenant aussi aux figures sphériques, on démontrera sans difficulté ies pro-

positions de la Troisième Partie. Nous nous contenterons d'éiablir l'équation fondamentale (69) de l'article 33.

Soit un triangle sphérique ABC, dont les sommets ont pour coordonnées a , a^ ; ^ , §, ; y , -/,. D'après la formule (11), les angles A , B , C de ce triangle seront donnés par les formules

«.A (g — y) («,~.6j (g— y,) («, — PJ («-^)(«.-v](«~l3J(«.-y,)

,.B^(^-.a)(^,~y)(3-a,)(^,-yJ , (^~7)(P,-«)(P-70(P.--«,)

d'où il suit, en multipliant membre à membre, et en appelant S l'aire du triangle ABC ,

«S^(,-yy(y-,p,)»(^-^a,)2

K-v)'(7,~PV(.5.-c.)»

Or, soient M , M' deux points de la sphère, de coordonnées y, , p pour M , et /3, , ■/ pour M'; et soient $ , ^' les arcs AM , AM'. D'après les formules (7), on aura

sin*^2

et par suite

smsm~

Les points B',C', associés à B ,C, ont pour coordonnées ^î/i ;'/>?»; Î6S points M , M' sont donc diamétralGraent opposés à B', C, et nous retrouvoms la formule de l'article 33.

fl est à remarquer qu'en extrayant la racine quatrième des deux membres de l'équation (12), nous avons choisi une racine

particulière du second. Ce choix se justifie; il suffit de supposer que le troisième sommet G du triangle vienne se placer sur l'arc AB. Les deux membres deviennent alors «%aux à l'unité.

On peut encore appliquer les remarques précédentes à l'interprétation dé certaines équations considérées soit dans le plan, soit sur la sphère.

Nous avons vu, dans la Note précédente, que l'équation

peut représenter, dans certains cas, des coniques inscrites dans un même quadrilatère circonscrit à la conique (K). La même équation représentera alors sur la sphère des coniques homofocales.

Supposons que, dans l'équation (43), /"(p) et f (p) soient de degré 2n. Alors les coniques pJanes seront circonscrites à un polygone formé de 2n tangentes à (K) , et se partageront tous les sommets de ce polygone. Les coniques sphériques seront circonscrites à un polygone formé de 2n génératrices rectilignes. Si l'on désigne, par exemple, ces génératrices par les nombres i , 2 ,3 , ... , 2n, la première conique contiendra les sommets (1 2) , (2 3) , ... ; la seconde, (i 3) ,(2 4), (3 5) , ... ; la troisième, (1 4) , (2 5) , .... Or l'équation (13) peut s'écrire

(p-b,){p-b\) ■ (^,~.fc,)(p~6',)

et, si l'on tient compte de la formule (M), on voit que l'équation précédente exprime la propriété suivante.

Formons les n segments dont les extrémités sont les points (a, , a\) et (6, , b'i) . La somme des angles sous lesquels on

216 SUR UKE CLASSE BEMARÔUÀBLE

voit e*s segments d un point de la courbe est égale à un mc^ltipiê de !(,.

Noub avons donc le théorème suivant :

Soit une conique (G) , circonscrite à une série de polj^gones d'un nombre pair de sommets» circonscrits à une conique (K) . Soient A, , . . . , A„ , ?t sommets^ pris de deux en deux, de Tun de ces polygones; Bi , . . . , B» , a sommets, choisis de la même manière, d'un autre de ces poiygones. La somme des angles [par rapport à (K)] sous lesquels on voit d'un point de la courbe les segments A,B, ... , A»B,, est égale à un multiple de n.

On peut généraliser ce théorème en prenant tous les sommets, et alors il s'applique aux polygones d'un nombre impair de côtés, ^iais II est surtout utile sous la forme précédente.

Si nous nous proposons d'appliquer cette proposition aux coniques sphériques, nous voyons tout d'abord que, si une conique sphérique est cii'conscrite à un polygone formé de 2» génératrices rectillgnes de la sphère, n sommets au plus de ce polygone peuvent être réels. En joignant ces soramots réels aux sommets correspondants de tout autre polygone- inscrit, on formera des segments qui seront vus de tout point de la conique sphérique sous des angles dont la somme sera un muittplô de ï:. Le lieu complet des points tels que la somme de ces angles soit un multiple de r, se composera de cette conique et d'autres coniques homofocaies.

Enfin, une application de ce même théorème peut être faite à la théorie de certaines surfaces du oecond degré, qu'on définit de la manière suivante.

Soit une quadrique (Q), coupant le cercle de l infini suivant une conique (Ç), et supposons, ce qui n'a pas lieu en général, que la conique (G) soit circonscrite à une série de polygones d'un nombre pair 2n de côtés, circonscrits au cercle de l'infini, que nous appellerons ici (K). Soient doux polygones inscrits à (G) et circonscrit* à (K), et formons avec leurs sommets les n segments A , B, , . . . , A B„ , définis précedem-

DE C0UR3SS ST DE SURFACES AtGÊBRIQUES. S!i7

ment. Les extrémités de cfs segiBents sont sur îa conique (C), et par chacune de ces extrémités A/,B, on peut faire passer une génératrice rectiiigne de (Q), d'un système donné. Appelons ces génératrices a^ , p<, etCo Alors la génératrice d'un système opposé, passant par un point M de (C) , rencontrera toutes ies droites fixes a,- , ^^ , et les plans passant par cette génératrice et par les droites a., §< auront pour traces sur le plan de TinSni ies droites MA< , MB^. Donc l'angle des pians (M , cti) , (M , §<) est îe mên)e que celui des droites MA< , MB, , mesuré par rapport au cercle de T infini. En appliquant donc le théorème déjà donné, nous avons ia proposition suivante :

QuaTiâ une quadrique est circonscrite à un polygone de ^n commets circonscrit au cercle de Vinfini, on peut, et d'une infinité de manières, choisir sur celte quadrique deux groupes de n gênératrices d'un même système, tels que les plans passant par un point de ia surface et les génératrices du premier groupe forment avec les plans passant par le même point et les génératrices du second groupe des angles dont la somme soit égale à un multiple de % .

Par exemple, les hyperboloïdes étudiés par M. Chasles (Journal de Liouville, i" série, t. î, p. 324), lieux des points tels que le rapport de leurs distances à deux droites fixes soit constant, sont circonscrits à une série de quadrilatères circonscrits eux-mêmes au cercle de l'infini. Ils ont un axe de symétrie perpendiculaire aux deux droites fixes, et, si Ton prend deux de leurs génératrices quelconques d'un même système, l'angle sous lequel on verra ces droites d'un poini variable de la surface est égal à celui sous lequel on voit leurs symétriques par lapport à l'axe de symétrie, qui est perpendiculaire aux deux droites fixes.

IVote I^".

Sur quelques surfaces remarquables du second degré et sur les cyclidw correspoûdantes.

Les résultats obtenus dans la Tromème Partie sont fondés sur une propriété importante de la fonction qui exprime le carré de la distance de deux points, en géométrie plane. Cette fonction, quand les deux points sont dans un plan, se déconf\pose en un produit de deux facteurs linéaires. Une telle décomposition ne peut plus se faire quand les deux points que l'on considère sont situés d'une manière quelconque dans l'espace. Mais nous allons voir qu'elle subsiste quand on considère les distances des points de l'espace à des droites.

Soient, en effet,

les équations d'une ligne droite. En appliquant les méthodes de la géométrie analytique, on trouvera la formule suivante, qui donne la distance ^ d'un potnt {x ,y , z) àh droite,

A*— __ (A'P — APT-H(BT— BP-)' + (C'P— CP')'

~ (A'* -f- B' -h C) [K" + B'' 4- C") — (ÂA' -f-^BB' + C<VT' ^^ (A^+B'-hC')P'^-i-(A'"4-B'''-HC^')P'— 2(AA'+BB'+CC0PP' (À'4- B' + C) (A'^'^ B'^'+C'O — (AA' +BB' -t- GC')'

Cela posé, supposons qu'on ait choisi, pour déterminer la droite, les d^vx phns qu'on peut menei pir. la droiie ûangentiellement au cercle de l'infini. Ces plans sont distiiiSts, tant

que la droite ne rencontre pas le cercle de l'infini. Supposons que ce soient les plans (P) , (P') . On aura alors

et la formule (2) deviendra