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On voit que le carré de la distance d'un point à une droite fixe se décompose en deux facteurs linéaires par rapport aux coordonnées du point. Ces facteurs sont évidemment imaginaires.

Réciproquement, étant donnés deux plans quelconques (P) , (P') , tangents au cercle de l'infini, le produit PP' des premiers membres de leurs équations représente, d'après la formule (i), une quantité proportionnelle au carré de la distance à leur droite d'intersection.

Soient $ , tî' deux droites définies, l'une par les plans P , P' , l'autre par les plans Q » Q', ces quatre plans étant tangents au cercle de l'infini. Les plans P,Q;P',Q' déterminent deux droites ô\$\ qui forment un couple associé au premier. De même, les combinaisons P , Q' ; Q , P' , déterminent deux nouvelles droites <î" , $\ formant un nouveau couple. Ces six droites forment les trois couples d'arêtes opposées d'un tétraèdre circonscrit au cercle de l'infini, et ces droites associées donnent lieu à plusieurs propriétés.

Par exemple, on a, en désignant par di la distance d'un point de l'espace à la droite correspondante,

5*5'» = JfcPP'QQ' , a'*8"=:ifc, PP'QQ' ,

k y k^ étant des constantes que la formule (4) apprend à déterminer.

Donc

et nous sommes conduits au théorème suivant : Étant données deux droites quelconques de l'espace, si par

ces droites on mène les plans tcngents au c«i?cle àe Vin&ui, on forme un tétraèdre tel que les produits des distances d'uiî point aux trois couples d'arêtes opposés conservent des rapports constants quand le point se déplace dans l'espace.

Étudions ces plans tangents au cercle de l'inâni- Yoici comment on peut former leur équation la plus générale. Soient (P) , (P) deux pians rectangulaires quelconques, et désignons par p , p' les distances d'un point de l'espace à ces plans. On aura des équations de la forme

P = a?C0Sa4-?^CGS,8-)- ZCOiy^h, OÙ

et de même,

p' ™ .î?COSa' -»- ^cosp' -h ZCOSy' — /*' .

D'ailleurs

COSaCOSa' •+■ COS^C08,6' -f-COSyCOS-/' =0 •

Cela posé, Téquatioa d'un plan (P) tangent au cercle de l'infini est

(6) P = MP + îp'),

où )i est une constante réelle. Celle du plan conjugué P' est

(7) ?' =:l{p-ip') .

Appelons maintenant ^ la distance du point (aî,y,z) à la droite (p ,p') ou (P , P') , et w l'angle que fait avec le plan (p) le plan passant par ce point et par la droite. On a

et par suite

P'r^XSô-^

d'où