PP

formules dont la premièfe seule n'avait pas été établie plus haut.

Si , pour un second point (a?, , y, , -?,) les fonctions P , P' prennent les valeurs P, , P', , et (î , co les valeurs ^, , o, , on a

et par suite,

ùt'-i,,^ est l'angle sous lequel se coupent les deux plans passant par la droite (P ,P') et par les deux points considéréb. L'équation précédente exprime un théorème connu.

Associons à la droite (P . P') une seconde droite (Q , 0'), définie de la même manière. On aura ici

'ii^' Q

et par suite

ï <(«»+«•) PQ

Les droites (P , 0) » (P'» Q') forment un couple associé aux deux premières. Nous avons dans le second membre, à un facteur constant près , le rapport des carrés des distances du point (a; , y , z) k ces droites.

Donc si Ton a deux droites ô ,$' -, et un couple de droites associées $',$', le rapport des distances d'un point quelconque de l'espace aux deux droites $ , «î' est une fonction ke*^'^^ ^'' de la quantité w + w' . Ces angles w . w' sont ceux que font les plans passant par le point variable et les droites §'\d", respectivement avec des pians fixes passant par ces deux droites.

Si(^ et ^' deviennent imaginaires conjuguées, un des couples associés sera formé de droites réelles, et Ton pourra remplacer le rapport des distances à deux droites imaginaires par tme fonction imaginaire des éléments géométriques réels «>,«'.

D'après ceîa, étant donnée une surface telle que le produit des distances d'un de ses points à n droites ^, , . . . , J, soit

222 SUR UNE CLASSR RKMaRQOABLB

proportionne! au produit des distances du mi^me point à n autres droites 5', , ... ,(î'„, on pourra dire qu'analytiquement cette définition revient à la suivante :

On a 2n droites Si , e, , ... , £,„ (associées aux couples 6i , $'i) . Pour chacune, on mesure l'angle que fait le plan déterminé par elle et par un point quelconque M de la surface avec un plan fixe parallèle à la droite. La somme de ces angles, comptés dans un sens déterminé, est constante.

Mais, comme les droites servant à l'une au moins des deux définitions sont imaginaires, le lien établi n'a qu'une valeur purement analytique, et il peut simplement servir à faire reconnaître Tanalogie de deux lieux géométriques dont les définitions pourraient paraître très différentes au premier abord .

La remarque précédente aurait cependant une plus grande importance si la surface définie par l'équation

conservait la même définition avec une infinité d'autres système des 2n droites. Lorsque ces droites deviendraient imaginaires conjuguées, il faudrait leur substituer les droites associées réelles e. , et adopter la seconde définition. Nous sommes donc conduits à nous proposer la question suivante, analogue à celle que nous avons résolue pour le plan (art. 27) :

Une surface peut-elle être représentée, et d'une infinité de manières, par une équation de la forme

S. ... Sn = k.^\ ...3'„?

Soit

chaque plan

devra couper la surface suivant 2n droites.

Si une infinité d'équations de la forme précédante conviennent à la surface, celle-ci sera donc réglée, et même, à ce

qu'il semble, admettra un double système de génératrices reetilignes. Ce fait ne peut se présenter que si le lieu se décompose en surfaces du second degré. Nous allons voir que cette hypothèse peut se réaliser.

Soit une quadrique (Q) , et une conique (C) située d'une manière quelconque. Supposons qu'il existe une série de polygones plans d'un nombre pair 2n de côtés, circonscrits à (C) et inscrits à (Q) , et considérons l'un quelconque de ces polygones.

Soient f, ,Pj , .. . ,pn;p't , p'i, ... ,p'n les deux groupes formés en prenant de deux en deux les côtés de ce polygone. L'équation de la section de (Q) par le plan de (C) pourra être, comme orr sait, représentée par une équation de la ibrme

(H) P^P,---Pn=^k.p\p\,..p\,

où Pi , p'i désignent les distances aux côtés eorrespondartts du polygone. L'équation précédente convient en même temps à d'autres coniques, qu'on peut définir de la manière suivante : Supposons que la section de (Q) contienne les sommets

PtP\ ,P\P^,P,P\, ••.• Les sommets

PiP.»P\P\iP*Ptr •••

seront sur une autre conique, les sommets

PrP\iP\P»> '■'

sur une troisième conique, et ainsi de suite. La dernière de ces coniques se réduit à une droite, si n est impair.

Toutes ces coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, circonscrit à (jQ) et à (Q) , et par chacune d'elles on peut faire passer une quadrique inscrite dans la développable

2fîA SDR UNE CLASSE REMAROVAeLB

Soient (Q') , (Q") , • • • ies quadriques ainsi définies; la dernière sera un plan, si n est impair.

Cela posé, menons par chacun des côtés Pi,p\ des pians tangents à la quadrique (Q), se coupant conséoutivemeDt suivant des génératrices rectilignes de (Q) passant aux points

Soient P. , F, les plans ainsi obtenus. Uéquation

(iz) P.P. ...P.=:/r,.P'.P',...P',

représente une surface ayant avec la quadrique 2w droites communes, celles qui passent par les 2 n sommets. De plus» on peut disposer de A-, de telle manière que, si Ton coupe par le plan de (C) , l'équation (12) se réduise à Téquation (il) , et oâ? conséquent le lieu représenté par cette équation aura, avec la quadrique (Q) , 2n droites et une conique communes. Il devra donc contenir la quadnque (Q) . Pour la môme raison, il contiendra les quadi'iques (Q') , (Q") , , . . , inscrites dans la

développable (C) (Q) j et déjà définies.

Nous avons donc le théorème suivant, équivalent à celai de l'article 38 :

Le lieu représenté par réquatim

p&ut se décomposer en quadriques ^ toutes inscrites dam vne même déceîoppable y et alors r ensemble de ces qiuuiriques peut, d'une infinité de manières, être représenté par une équation de la forme précédente. Tous les plans P. , ? . demeurent tangents à toutes les quadriques.

Si n est impair, Pane de ces quadriques se réduit à un plan.

Nous aiions ftire deux applications intéressantes de ce théorème.

1*> Supposons que dans la développable | (C) (Q) j on puisse inscrire une sphère; les plans P, , P'. , dans toutes les équations de la forme précédente, demeureront taugents à la sphère. L'anallagmatique dérivée du lieu représenté par

DE COURBES ET D£ SURFAr.ËS ^U:ÉBI)IOU&S. 2â^

réquation (18) aura donc, d'après les résiiHats de l'article 44, une infinité d'équations de la forme

R,i\ ... R,.=rA.R',ï\%... fin.

ITailleurs, elle se décompose en cycîides homofoeales, correspondantes aux différentes qiiadriques faisant partie du lieu représenté par l'équation (13). Nous avons donc la proposition suivante, déjà énoncée, pour le cas particulier de quatre pôles, par M. Moutard -.

L'équation (14) R.R,... H«=: A:. r,r,...r„

peut convenir à ton/: les points d'une cyclide. Il suffit qu'on fuisse inscrire dans la focale un polygone formé de 2w génératrices de la déférente, et alors Véquation (14) représentera, en même temps qve la cyclide, d'autres cyciides homofoeales.

L'une de ces cyciides se réduit à Tune des sphères principales, si n est impair.

2^ Supposons qu'on puisse circonscrire au cercle de l'infini un polygone de An côtés, ifjscvit dans (Q) . Alors Téquatioti de la quadrique (Q) pourra s'écrire

(iSj P,P, ... P,„ = A.P,P',... P',",

et P: 1 P'< sont des plans tangents au cercle de Finfini. Cette équation exprime donc qu'il y a un rapport constant entre les produits des distances d'un point de la surface à deux séries de n droites,

* 1 5 » î î 'r 3 » » 4 » • • • 5 • Sn — { , 'în ,

d'une part, et les droites

pour le second groupe. Donc,

Si une quadrique est circonscrite à un polygone de An sommets circonscrit au cercle le l'infini, on peut choisir, et d'une infinité de manières, deux sérijs de n droites, telles que, pour tout point de la quadrique, il y ait un rapport constant entre les produits des

2i(y SUR UNE CLASSE REMARQUABLE

distances aux Jenx séries de droites. Le lieu complet des points jouissant de cette propriété se compose de plusieurs (juadriqnes homo focales.

C't'st la généralisation des théurèmes de M. Chaslcs sur l'hyperboloïde, lieu des poinls dont les distances à deux droites ont un rapport constant. Cet hyperboloïde est la plus simple des surfaces considérées ici, et les théorèmes généraux de cette Note et de la précédente conduiraient à plusieurs propriétés nouvelles de cette surface. Mais nous terminerons ici, sans insister davantage, notre étude des diverses formes et des applications des théorèmes relatifs aux polygones inscrits et circonscrits.

l%otc \.

Sur les lignes gêodésiques et les lignes de courbure dans la géométriô de M. Cayloy.

Dans les articles 61 et 62 du texte et dans la Note III, nous avons essayé de donner une idée des rapports que M. Cayley a établis entre la géométrie des relations métriques et celle du rapport anharmonique. Les théories de l'illustre géomètre anglais ont été résumées dans l'ouvrage de M. Fiedier sur les formes binaires. Dans ces derniers temps, elles ont été développées dans un Mémoire important de M. Klein {Malhemor lischeAnnaîen.i. IV).

Une fois définies les notions d'angles et de distances, les autres définitions de la géométrie métrique ordinaire subsistent, et peuvent être introduites sans aucune difficulté. C'est ainsi que, dans l'article 62, nous avons généralisé les notions de focales et de lignes de courbure. Nous allons nous occuper maintenant des lignes géodésiques.

Étant donnée une figure dans l'espace, prenons pour surface absolue la sphère représentée par l'équation

Alors la distance de deux points déterminés par les coordonnées {x , y ,z) , {x\ y' ,2') sera donnée par la formule

...,* {OCX' +yy' + zz'~h^y

(oj' + 1^* + 2» — R') (a?" + y ' » + 2" — R»)

228 SUB I NK r.l.ASSE hEMAHOl'ABLr.

tout ii fait analogue à lu {'orumlt' f>i) de la ^ote !ll. On aura

.)ÎISSi

(.r°-f~y»-f s^— ir;i.K-^ + y'^-f ^'^— H^)— :,iû;'-j-y|/' + ;z'— H^

,) 1 SI n 'j ;^": — • ■

■ ' (x'-i-y'-hz'—R')(x'^'f. y" i z" — R')

Pour doux points intérieurs n l;i sphère, le second membre de rcitle équation est négatil'; la distance o de deux points sei'a d<.ne une quantité imaginaire de la forme A i.

Si le point {x' , ij' , 2') est voisin du point {oc ,y , z), on fera

,r;' =: x + d;r , y' — y + dy , z' := z -i- dz .

et la fonnule (8;. en y remplaçant sin't? par ô' ou d'y\ donnera

(x"'-^y'^-hz''—K'')(dx'-+dy^'+dz')~{xdx-iydy+zdzY

Telle est l'expression de la distance rfa de deux points infiniment voisins.

Nous allons maintenant chercher les lignes géodésiques d'une surface définie par l'équation (5) f{x,y.f)^-0.

Je dis que ces lignes géodésiques sont caractérisées par cette propriété, que leur plan oseulateur est normal nu plan tangent (c'e&t-àdire passe par le pôle de ce pian^ On voit que cette proposition est la généralisation de la propriété fondamentale des lignes géodésiques ordinaires.

A cet effet, prenons, pour plus de symétrie, une variable indépendante quelconque f, et soient x\y\z' les dérivées àe X ,y ,z par rapport à t.

Nous avons

'T) F" Hil^U^. (-^^ ^yy' -^-zz'Y

^^ x' + y'-i-z' — W- \x' + y* + z-'—ny

et r intégrale à rendre minimum est

(8) Jyf.df.

DE COL'BHES ET DE SURFACES ALGÉBRî(}LES. 229

les variables x ,y , z étant liées par réqaation de la surfac.'c. D'après les principes du calcul des variations, les équations différentielles de la ligne géodésique sont

ât

'Il

dx

et les deux équations analogues en y et z.

Il reste à vérifier que le plan osculateur ûc h ligne définie par ces équations est conjugué du plati tangenl pai- rapport à la sphère. Or, pour que deux plans ayant pour équations

ma: + ny -i- pz + q -=0 . ni'j -^ n'y-^ p'z -^ tf ■=-{)

soient conjugués ou normaux (par rapport à la sphère), il faut que Ton ait

W(mm' -h un' -^pp')—qH' — 0 .

Appliquons cette relation au plan osculateur et au plan tangent; il faudra qu'en appelant ar", î/'', z" les dérivées secondes de j- , i/ , ^ , on ait

df df df df df àf

L 1 L X — - ■+- tJ — 4- z -

âx dy âz dx -^ dy âz

(iO)

=rO

(V les t'ormuies (9), développées, nous donnent des expressions de la forme

EL

âx

= Ax +

Cx' ,

^~kz+ Hz + C^ az

et réquation à vérifier prend alors la forme

dx -^ dy âz

OU, en substituant les valeurs de -7- ' -r- • t- •

àx dy dz

et Ton reconnaîtra, en substituant les valeurs de A .B,C, que cette dernière équation se vérifie identiquement.

Notre théorème est donc démontré : Les lignes géodésiques ont leur plan osculateur normal au plan tangent.

Il résulte de ce théorème que la ligne la plus courte entre deux points de l'espace est, dans la géométrie de M. Cayley, la ligne droite qui joint ces deux points. Car la ligne la plus courte réunissant deux points de l'espace sera géodésique sur toutes les surfaces qui la contiendront, et par conséquent devra avoir son plan osculateur indéterminé. Ainsi,

Dans la géométrie de M. Cayley, les lignes droites sont les lignes les plus courtes entre deux points.

On suppose toutefois qu'en allant duii point à l'autre on ne rencontre pas la sphère; car alors il y aurait discontinuité, la distance devenant infinie. Ainsi, les deux points doivent être à l'intérieur ou à l'extérieur de la sphère.

Il suit du théorème précédent qu'on saura déterminer les lignes géodésiques sur toute surface du second degré (Q). Car soit (S) la sphère absolue; la surface développable ayant son arête de rebroussement sur (Q) et tangente à une quadrique quelconque (Q') inscrite dans la développable | (S) (Q) j aura précisément pour arête de rebroussement une ligne géodésique de (Q). Il y a, entre ces lignes et les lignes ordinaires, une relation qui est bien exprimée par le théorème suivant :

Une ligne géodésique ordinaire d'une quadriquc (0) est aussi ligne géodésique en prenant pour absolu toute quadrique homofocale à (Q) .

De nouvelles conséquences peuvent être déduites, si l'on emploie la méthode de transformation définie à l'article 44 du texte. Nous avons vu que cette transformation conserve les

angles, les focales, les lignes de courbure (art. 62). Si Ton se sert des formules 14 de l'article 44, et que Ton appelle X , Y , Z les coordonnées du point correspondant au point {x ,y .z),on trouvera

(13) ^fT ~ ^x» + Y' + Z'— RT

Ainsi, l'arc dd défini précédemment se ramène, dans la figure anallagmatiquc correspondante, en négligeant un facteur constant, et en posant

X=-hY* + Z' — B'

Donc, du théorème relatif aux lignes les plus courtes indiqué plus haut, et des notions acquises (art. 44 et 62) sur la transformation considérée, nous concluons les propositions suivantes :

Les lignes rendant minimum entre deux points de l'espace l'intégrale

sont des cercles orthogonaux à la sphère définie par l'équation (15) X'-+-Y'4-Z' — R' = 0 .

Les lignes tracées sur une surfa^cG et rendant minimum la même intégrale sont celles pour lesquelles il y a une sphère passant par trois points consécutifs-, normale à la surface et à la sphère fixe (15).

On peut déterminer ces lignes pour les cyclides. Elles correspondent aux lignes géodésiques de la surface du second degré homologue de la cyclide. Leur propriété géométrique est la suivante : La sphère passant par trois points consécutifs et normale à la surface est tangente à une cyclide homofocale à la proposée.

â32 SUR UNE CLASSE REMARQUABLE

Les lignes de courbure dans la géométrie de M. Cayley peuvent être définies (art. 62) de la manière suivante. Ce sont les courbes telles que les normales à la surface en tous leurs points forment uïie surface développable. On sait que les normales sont les droites joignant le point de contact du plan tangent au pôle de ce plan. Mais ici le principe de dualité exige que nous introduisions une autre droite, que nous appellerons seconde normale, et qui sera Vintersection du plan tangent avec le plan polaire du point de contact. La première et la seconde normale sont des droites polaires Tune de Tautre. Quand on prend la polaire réciproque de la surface par rapport à la sphère, la première normale se transforme en la seconde, et réciproquement.

Puisque Ton a introduit une seconde normale, on peut se demander quel sera le lieu des points de la surface pour lesquels les secondes normales forment une surface développable. On aurait ainsi des lignes de seconde courbure, mais ces lignes coïncident avec les lignes déjà définies; car, si les premières normales forment une surface développable, il en est de même des secondes normales, qui sont leurs droites polaires, et réciproquement.

Ainsi, sur toute surface, il y a un double système de lignes dont les tangentes sont conjuguées dans l'indicatrice et dans la sphère, et qui sont telles que, pour chacune de ces lignes, soit les premières, soit les secondes normales forment une surface développable.

U suit de cette réciprocité entre les deux séries de normales, et de la remarque, faite plus haut, que ces normales se changent l'une dans l'autre, que, si l'on remplace une surface (F) par sa polaire réciproque (F,) , prise par rapport à la sphère absolue, les lignes de courbure se correspondent. Ainsi,

Une transformation par la méthode des polaires réciproques

D£ COURBES ET DE SURKACES ALGÉBRIQJJË.s. 2'J3

(la surface directrice étant la sphèrv absolue) conserve les lignes dt courbure.

Si maintenant on piend les deux surfaces (F) . <}\* pour déférentes de deux anallagmatiques (1) , (2,) , nou3 voyons qu'il y aura correspondance entre ces deux surfaces, de telle manière qu'à une ligne de courbure (ordinaire) de l'une corresponde une ligne de courbure (ordinaire) do l'autre. Nous avons donc une transformation de surfaces avec conservation des lignes de courbure. Voici comment on peut défmir cette transformation.

Si dun point ni ie (F), comme centre, on décrit une sphère orthogonale a la sphère directrice (S) , et la coupant suivant un cercle situé dans le pian (P) , ce plan (Pi sera le plan polaire de w et touchera en m, la polaire réciproque ^F,) de (F). D'ailleurs, en considérant (Fs) comme déférente, au plan (P) correspondent deux points de ranaliagmatique (2,)., qui seront les sphères de rayon nul passant par l'intersection de (S) <d de i^P;. En réunissant tous ces résultats, nous avons ia piopo.sition ^ui\uiîte ,

Etant donnée une surface (1), on lui mme des sphères tangentes, orthogonales à \me sphère fixe (S) , U lieu des sphères de rayon uulj passant par l'Intersection de ces sphères tangentes et de (S), est une mrface (i,) , dont les lignes de courbure sont les transformées des lignes de courbure de (1) . La relation entre {1) et (i,) est réciproque. Elles admettent pour surfaces déférentes deux surfaces polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à (S).

Il est à remarquer que (1) n'est pas nécessairement anallagmatique par rapport à (S) .

La transformation précédente équivaut, quand la sphère (S) est réelle et qu'on la change par une inversion en un plan, à une transformation déjà donnée par M. 0. Bonnet ('), et qu'on peut définir ainsi ;

(') 0. Bonnet : Note sur un genre particulier de swr/iaces réciproques. Comptes rendue, l. XLlf, p. 485-487.

On mène à une surface les sphères tangentes ayant leurs l'entres daiis un plan donné (P). Le lu'u des sphères de rayon nul passait par T intersection de ces sphères et du pian (P) est la surface correspondante à la première.

Cette dernière transformation fait correspondre à au point réel de Tune des surfaces un point imaginaire &e l'autre. La transformation sphérique n'a pas nécessairement >3et inconvénient; il suffit que le rayon R de la sphère soit de la forme K 1/ — 1 pour q\\d un point réel de Tune des surfaces corresponde un point réel de lautre. Dans la Note IX nous généraliserons d'ailleurs ce mode de transformation.

Nous indiquons ici Tensemble des théorèmes sur les lignes de courbure que nous avons démontrés ou qui résultent immédiatement des remarques précédentes.

Les lignes de courbure forment deux systèmes de lignes orthogonales, et conjuguées par rapport à rindicatrice de chaque point.

Les normales en tous les points d'une ligne de courbure forment une développable, dont l'arête de rebroussement est ligne géodésique de la surface des centres de courbure.

Si l'on a un système triple orthogonal, deux surfaces de système différent se coupent suivant une ligne de courbure commune.

Si deux surfaces se coupent sous un angle constant, leur ligne d'intersection ne peut être ligne de courbure d'une surface sans l'être en même temps de l'autre.

Dans une étude plus complète de la géométrie cayleyenne, il faudrait considérer, en même temps que les lignes géodésiques, leurs polaires réciproques, qu'on peut définir ainsi :

Étant donnés deux plans tangents à une surface, en suivant l'une de ces lignes, qui va d'un point de contact à l'autre, le plan tangent effectue la moindre rotation possible. Dans la géométrie ordinaire, ces lignes, qu'on pourrait appeler de moindre rotation, sont celles pour lesquelles la normale à la surface demeure parallèle à un plan fixe. Dans la géométrie

cayleyenne, leur déUMMiiination exige rintogration d'une équation du second ordre. Je me contenterai de donner le théorème suivant :

Étant données deux quadriqucs (Q) , (Q') , toute ligne tracée sur (Q) et dont les tangentes sont aussi tangentes à (Q') , est géodésique par rapport à toute quadrique inscrite dans la développable l(Q)(0')!, ^^ ligne de moindre rotation par rapport à toute quadrique passant par rintersection de (0) et de(Q').

Nous avons vu que, étant donnée une cyclide, on sait en trouver les lignes de courbure, qui sont algébriques, et les lignes de longueur nulle , qui sont transcendantes. Plus généralement, étant donnée une surface du 4® oidre à conique double (B) , on saura résoudre les deux mêmes problèmes, trouver les lignes de courbure et les lignes de longueur nulle, en prenant pour absolu une quelconque des quadriques (S) qui lui sont inscrites. Car supposons que (S) soit une sphère, ce qu'on peut toujours réaliser par une transformation homographique, et considérons (B) comme déférente, (S) comme sphère directrice. L'anal iagmatique correspondante se composera de deux cyciidcs, et les lignes de courbure et de longueur nulle de (B) par rapport à (S) coricspondront point par point aux lignes de même définition de l'une des deux cyclides. Ces deux cyclides sont transformées par rayons vecteurs réciproques Tune de l'autre.

236 SLR LAE CLASSE JfEMARUt ABÎ.E

."Voie \i.

Suc la tranbf'iririîtion par rayons vectaurs recirroq-je? et la théorie des pôles secondaires d?s nycliies.

Daiis bés études sur la théci-ie Jes cyclides, M. Mou tard a considère, en même temps que les points liommos par lui pôles principaux et qui sont les lenties des cinq splu'i-es directrices, d'autres points qu'il a appelés pôlefi secondaires, et qui possèdent la propriété suivante. Si Ton transforme la ryelide par rayons vecteurs réciproques, le pôle de transformation étant en un de ces points, et le module étant conven.ableraent choisi, on obtient une surface symétrique de ia première par rapport à un plan.

Si nous n'avons pas donné place à cette théorie des pôles secondaires dans notre travail, c'est quelle nous paraît exprimer d<*s propriétés, non de,- cyclides, mais de la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. C'est ce que nous allons montrer.

Les auteurs qui ont écrit sur la transformation par rayons vecteurs réciproques ont dû sentir le besoin d'un nom pluscourt pour désigner cette transformation. Nous rappellerons, ji lexemple des géomètres anglais, inversion.

Une inversion est définie par la sphcre, lieu des points qui se correspondent à eux-mêmes. Le centre de cette sphère scia h- pôle; le rayon, le module de l'inveision. Voici comment on peut définir, étant donnée la sphère d" inversion (S) , les couples de points correspondants A , A' .

Si Ton considère fun de ces points. A par exemple, comnjc le centre d'une sphère de rayon nul (A), par ri.ulersection de (A) et de /S) passera une deuxième splicre de rayon nui (A',) , dont le centre sera le point A'.

I>K (.OIRAFS FT DE SLiR!' AtLKS AHijfcjmiQrEi. '237

Ainsj, deux pomts correspondants sont les centres des deux spiières de rayon nui passact pai- un même eercie de ia splière d'inversioii. Ce cercle est imaginaire quand tes points sont réels.

Ouand le point A décrit une surface il), le point A' décrit une surface (T). Le système (2l , i') est anallagmatique par rapport à la sphère d'inversion, et la déférente est l'enveloppe des plans perpendiculaires sur ie milieu de A A'.

Si ia sphère d'inversion se réduit à im plan (P) , alors à un point A correspond le point symétrique A' par rapport à (P). Les points A , A' sont, comme dans le cas gt'^néral, les centres de deux splièics de rayon nul passant par un même cercle du plan d'inversion.

Nous avons donc deux espèces principales d'inversions : Vinversion plaine, qui transforme une fij^ure en sa symétrique par rapport au plan d'inversion, et Vinvei^sion sphérique.

]\ suit, de la définition que nous venons de donner, que, si deux figures (F), (F') sont les inverses lune de l'autre par rapport à la sphère d'inversion (S), on peut soumettre le système à une inversion. Les iigures (F) , (F') se transformeront en (F,) ,(F',), ia sphère (S) en (S,), et les deux figures (^\)'^''''') seront inverses ou réciproques par rapport à (S,). Si la sphère (S) se transformaii en un plan, les deux figures (F,) , (F',) seraient symétriques par rapport a ce plan.

Nous allons nous servir de ce- remarques pour résoudre la question suivante :

Vue figure étant soumise successivennent à deux, inversions 1,1'^ trauver tons les couples d'inversion produisant le même effet qvs les deux précédentes .

Nous commencerons par supposer que les deux inversions I,]' soient planes, et définies par les pians P , P', Alors, si une figure (F) est soufnise à ces transformations, ii faudra prendre sa symétrique par rapport au plan P, puis la syjnétrique de l;i figure obtenue par rapport ^lu plan P'. Ces deux opérations équivalent à une rotation autour de la droite PP', rotation d'un anyle double de celui des plans P . P' .

238 SUR ONE CLASSK REMARQUABl-R

Ainsi, une rotalion est iéquivalent de deux inversioriB planes, et par conséquent tout dcplacenient d'une figure dans l'espace équivaut à quatre inversions planes.

Nous voyons que l'effet de nos deux inversions 1 , ï' ne sera pas changé si aux deux plans P , P' on substitue deux autres plans Q , 0% ^e coupant suivant la même droite que les premiers, et iaisant le même angle dans le même sens.

Si les deux inversions I , i' sont sphériques, en les soun:ettant à une même inversion convenablement choisie, on peut les transformer en inversions piajxes, et, en leur appliquant h proposition précédente, on est conduit au théorème suivant :

Étant données deux inversions dé f nies par u's sphères (S) , (S') , on peut toujours les remplacer par deux nouvelles inrersions. Les dmx sphères (S,),iS',), qui définissent ces inversions, passent par l'intersection des deux premières, et font le même angle, comité dam le même sens, que les deux premières.

Les nouvelles inversions ainsi définies sont évidemment les seules qui puissent remplacer les premières.

Parmi ces couples d'inversions, définies par les sphères (S,), (S',), ii en est deux qui sont particulièrement remarquables :

l" La sphère (SJ peut se réduire au plan radical de (S) , (S') . Alors !a première des deux inversions sera plane. Donc

Deux inversions quelconques opérées sur une figure (F) équivalent à une inversion sur la figure symétrique de (F) par rapport à un plan convenablement choisi.

2° La sphère (S',) peut se réduire au plan radical de (S) et (S'). Alors la seconde des inversions sera plane. Donc

Deux inversions quelconques, transformant une figure (F) en (F,) , peuvent toujours être remplacées par une inversion sphérique qui transforme (F) en la figure (F',) symétrique de (F,) par rapport à un plan, et par l'inversion plane qui transforme (F' J en (F,).

Ce dernier résultat a été indiqué par M. Mannheim {Journal de Liouville, t. XV, 2® série).

ME COUHBKS ET DE SURFACES Al.GÉBRIQUFS. 239

Ucvenoîis aux couples d'inversions sphériques qui pouvojit remplacer les deux premières (S) , (S'}. Leurs pôles décrivent une droite fixe, la ligne des centres de (S) et de (S'); ils y déterminent deux divisions homographiqucs, dont les points doubles sont les points limites, centres des sphères de rayon nul passant par Tintersection de (S) et de (S'), et dont deux points correspondants sont les centres de (S) et de (S'). U n'y aura donc aucune difficult.' dans la construction de tous ces couples d'inversion.

Examinons maintenant ce que devient une figure après un nombre quelconque d'inversions I, , I, , . . . , I„ .

Appelons P les inversions planes et S les inversions sphériques. Les inversions l, , I, peuvent se remplacer par une inversion plane P, , suivie d'une inversion sphérique S, , ce qu'on peut exprimer par la formule

On aura de même

Sn— lin = Pn — iSn •

Donc

(1) I. ...în = P,P, ...P„lS,. .

On démontrerait de même que

(2) 1. ...In = S',P\ ...P„,.

En d'autres termes, une série d'inversions planes et sphériques peut toujours être remplacée soit par une suite d'inversions planes et une inversion sphérique, soit par une inversion sphérique suivie de plusieurs inversions planes.

J'ajoute qu'on peut toujours supposer que le nombre des inversions planes soit pair. En effet, s'il est impair, considérons par exemple la suite

P. ...P„-iS„;

au lieu de S„ , définie par la sphère (S„) , de centre 0 et de

î2U; SLK UNF, CLASSK BKWAHQL'ABLE

rayon K, prenons i inversion définie par la sphère (S'„) de centre 0, iiiais de rayon RK — i . Les inversions S,, , S'„ , opérées sur une même figure, donnent deux Sgurea symétriques par rapport an centre 0. Or, or) déduit une de ces figures de sa symétrique pa? trois inversions planes, définies par trois plans rectangulaires 0 , 0', Q% se coupant en 0. On aura donc (3; S„==QO'Q'S'.,

et comme on ajoute trois inversions planes à un nombre impair de ces inversions, le nombre total sera pair.

Or, deux inversions planes équivalent à une rotation, un nombre pair d'inversions équivaut à un déplacement. Donc

Un nombre quelconque d'inversions peut toujours être remplacé soit par un déplacement et une seule inversion., soit par une inversion suivie d'un déplacement.

Deux inversions ne sont pas, en général, échangeables; pour qu'elles possèdent cette propriété, il faut et il suffit que leurs sphères soient orthogonales.

Soient deux sphères orthogonales (S) , (S') définissant les deux inversions. Leur plan radicai (P) et la sphère (S.) , décrite sur leur cercle d'intersection comme grand cercle, se coupent à angle droit. (P) et (S,) définissent donc deux inversions pouvant remplacer les deux peeraières.

En particulier, si une figure est anallagmatique par rapport aux deux premières inversions, on voit que l'inversion définie par la sphère (S,) la changera en une surface qui sera la symétrique de la première par rapport au plan radical des sphères (S) , (S') .

Cette proposition entraîne évidemment les propriétés des pôles secondaires. J'ajoute que, si, au lieu de l'inversion défJnie par (S,) , on prend celle qui est définie par la sphère concentrique et orthogonale, elle donnera une surface symétrique de la première par rapport à la ligne des centres des deux sphères primitives (S) , (S') .

Une cyclide qui a cinq pdles principaux a évidemment des

bV. COURBRS KT DK S^RfACRS ALGÉBRIQUES. 241

pôles secondaires, qui sont les pieds d(\s hauteurs des cinq tétraèdres qu'on peut former avec quatre des cinq points.

l.es cinq inversions définies par cinq sphères deux à deux orthogonales se détruisent; leur effet est nul sur une figure quelconque.

Supposons» en effet, que trois des cinq spiicres se réduisent à des plans rectangulaires Qj , 0* , Qj. Les deux autres S, , S', auront pour centres le point de rencontre de ces plans, et les carrés de leurs rayons seront égaux et de signes contraires. Or, d'après la formule (3), on a

ou

On passera de ce cas particulier au cas généra! par une iijversion quelconque ctTactirée sur rensemblc de la figure (').

CJ Oïl pourrait, en stiiv;>nt les :néUi<)iles indiqiiéos ici, étendre aux inversions les pitiposiLioni-; relalivos à la symétrie. Par exemple, si deux inv^^rsionii effectuée?; sur une ligiue algébiia.ue la laissenf invariable, les sphères iléliiiissant ces deux luversions foiu un ;ingle coinmensurablo.

2i2 SUR UNE CLASSK iîKMAltUl AJU.E

Sur les différentes transformations par lesquelles on peut déduire du tore la cyclide de M. Dupin.

Nous avons vu (art. 58) que la cyclide de M. Dupin a quatre points coniques disposés par couples aa', bb' , et tels que les points de chaque couple soient à une distance nulle de ceux du second. Les points d'un môme couple sont ceux par lesquels passent les sphères inscrites d'une même série. Ils sont réels, ou imaginaires conjugués. II est clair que les deux couples aa\bb' ne peuvent être réels tous les deux.

Pour que la cyclide soit transformée en un tore par une inversion, il est nécessaire que les sphères d'une même série soient transformées en sphères Mvant leurs centres en ligne droite, et il suffît, pour obtenir ce résultat, que l'inversion employée rejette à l'infini deux points doubles conjugués, par exemple a .a'. Le pùle de l'inversion doit donc être sur le cercle lieu des points à une distance nulle de a et de a'. Ainsi,

Le lieu des pôles des inversions transformant la cyclide en tore se compose de Jeux cercles, intersections des points sphères a, a' et b,b'.

L'un au moins des deux couples a a' , bb' étant formé de points imaginaires conjugués, l'un au moins des cercles sera réel. Les deux le seront, quand les quatre points doubles seront imaginaires. Ces deux cercles passent d'ailleurs l'un par a a', l'autre par bb'. Ils sont dans les plans des deux coniques focales, lieux des centres des sphères inscrites, et tangents en 6 6', a a' respectivement à ces focales.

On peut obtenir les résultats précédents d'une manière plus

i)K coi'iUïi'S ET ni- sL'ni'A(;Rs alckbhiques. 243

élémentaire, en remarquant que la cyclide peut être considérée comme Tenveloppe d'une sphère tangente à trois sphères fixes. Si l'on peut transformer par une inversion ces trois sphères fixes soit en sphères ayant leurs centres en ligne droite, soit en sphères égales, la cyclide se changera en un tore. Nous allons retrouver ainsi les inversions indiquées par M. Mannheim dans son étude sur la cyclide, et nous examinerons dans quel cas elles sont réelles.

Étant données trois sphères (S) , (S') , (S"), les pôles des inversions qui les transforment en sphères ayant leurs centres en ligne droite sont sur le cercle orthogonal des trois sphères. Ce cercle sera imaginaire, si les trois sphères se coupent en deux points.

Cherchons maintenant les pôles des inversions qui transforment les sphères en trois sphères égales.

Considérons les deux premières que nous appellerons (S) et (S'). Si des centres rie similitude comme centres on décrit des sphères passant par Tmlersection des deux premières, ces sphères bissectent les angles formés par les deux sphères données. 11 suffit de se rappeler, pour reconnaître ce fait, que toute droite passant par un centre de similitude de (S) et de (S') coupe ces deux sphères sous des angles égaux.

Les deux sphères bissectrices que nous venons de trouver conservent évidemment leur propriété quand on soumet la ligure à une inversion, et Tune d'elles ne deviendra un plan que si les deux sphères (S), (S') sont changées en sphères égales. Donc

Le lieu des pôles des inversions transformant deux sphères en sphères égales se compose de deux sphères passant par Vintersection des deux premières, bissectant leur angle, et ayant pour centres leurs centres de similitude.

En appelant S , S' les puissances d'un point par rapport aux sphères données, les deux sphères bissectrices ont pour

équations

24^t sua UKE CLASSK }tK:ri.U;OUAÎ(!,K

U ei R' étant les donx rayons. Si ces rayons ont un si^ne, comme fola arrivp dans les problèmes de (ontaet, et en particulier dans celui qui nous occupe, le lieiî se compose d'une seule de ers sphères.

Consid/'.r-rtns maintenant trois sphères (S) , (S') , iS") . Ces iphijies, j.riï<es deux à deux, donneront lien à trois sphères bissectrices, ayant leurs centres sur Taxe de similitude des trois sphères données, et passant pnr les cercles d'intersection de ces sphères. Ces tr-ns sphères bissectrices couperont donc à angles droits le cercle ortho^'onal des trois premières (S^ , (S') , (S") , et elles se couperont suivant un cercle, intersection des deux sphères de rayon nul dont les centres sont situés à la fois sur le cercle orthogonal e( sur Taxe de similitude.

Donc le lieu des pâles des inversions transformant trois sphères dont les rayons sont affectés de siijves en trois sfhères de raj;ons igauT et de mêmes signes est un cei de, intersextivn de deux pQivlssphèfes situas à la fois sur Vaxe de similitude et sur le cercle orthogonal des trois proposées

On voit que ce cercle sera réel, toutes les fois que le cercle orthogonal sera imaginaire ou ne coupera pas l'axe de similitude.

Nous avons par conséquent deux inversions transformant la cyclide en tore, celle qui remplace les sphères proposées par trois sphères ayant Ipurs centres en ligne droite, et celle qui les transforme en sphères égales. De ces deux mversions., une au moins sera toujours réelle; car, si le cercle orth<»^'onal devient itriaeçinaire, ia première ne pourca être employée, mais la seconde sera certainement réelle. La cyclide est donc, dans lous les cas, la transformée du tore par une inversion réelle.

Dans une étude plus complète que celle-ci sur la cyclide, H serait utdc de remarquer une relation de réciprocité à laquelle elle donne lieu.

En général, la polaire réciproque d'une cyclide est une surface du quatrième ordre, ayant une conique double.

LiR COUaBÈS £1 DE SUIlFACES ALGÉDIUQUBS 245

quatro points coiiiqneà; en un mol, c'est la transformée Iiomographiqiie d'une cyclidc à quatre points doubles. Mais on pmt ckjji^ir la quudriiiiie (h telle manière que la cyclidc ait pour polai-rertciprogue une ajclide. En effet, considérons la sphère (S), passant par les quatre points coniques a ,q>' ,h ^h' do îa cyclidC; et fp.fi coupe lu déférente (A) correspondante suivant !es qu&tre droites ah, ah' , a'b, a'b' . Les plans tangents double:? de la cyclide passeront par le contre de (S) , et envelopperont uu cOne (0) su{)pléjiiontaire du cône asymptote do (A) . Or, il existe comme on sait, quatre séries de quadriqrtos honioliiéliqueg. ayant pour centre e-ommun le sommet fiu cône (D) , et transformant ec cône dans le cercle de î infini. La polaire récrproque de la cyclide par rapport à une ib ces quadriquos sera évidenjTTicnt encore ime cyclide.

panb cette transformation par polaires réciproques, aux qofitre points coniques correspondeiit les quatre pians tangents singuliers, aux cercles d'une des surfaces, les t*^neh de r>';volution circonscrits suivant les cercles de la polaire r<^cipro~ que, etc. L>^s quadriquesqui servent de l)ase à la transformation ne sont réelles que si !a cyclide a deux points doubles réels. i^a pTopriété que nous venons de signaler nous pai'aît néanmoins présenter quelqtie intérêt, parce qu'elle met en évidence les relations de dualité auxquelles donne lieu la cyclide de M. Dupiii.

248 SLR LNE CLASSE REMAnQîJABLE

T^ote VUI.

Bô la iransformatioii par rayons vecteurs réciproques des surfaces anallagmatiquss.

Lue surface anallagrnatique (2) pcr.t être définie comme l'enveloppe d'une suite de sphères qui demeurent orthogonales à une sphère fixe (S), que nous avons appelée sphère directrice.

Si l'on soumet la surface à une inversion, les sphères doublement tangentes à Tanallagmatique (2) se changent en de nouvelles sphères orthogonales à la sphère (S') inverse de (S). L'inverse de l'anallagmatique (i) sera donc une anallagmatique {!') , ayant pour sphère directrice la sphère (S') inverse de (S) . Il y a ici un problème à étudier . Quelle pelatiori y a-t-il entre les deux déférentes (B) , (B') des anallagmatiques (1) , {z')'! Nous allons montrer que ces deux déférentes sont homologiques.

A cet eti'ct, soit 0, le pôle et (S,) la sphère de l'inversion à laquelle on soumet (1) . Deux sphères de centres j; , g , et nngentes à (2) , se transformeront par l'inversion en deux sphères tangentes à {!'), de centres p' . q' . Les droites pp\qq' iront évidemment passer par le pôle 0,. Donc les deux déférentes (B) , (B') se correspondent point par point, de telle manière que les droites joignant les points correspondants pp',qq' aillent concourir au pôle 0,. Je dis maintenant que les droites j) 9 ,p'q' se coupent en un point situé dans un plan fixe (P) , le plan radical commun do (S) , (S') et (S,).

En effet, par l'intersection des deux sphères tangentes à (I) et de centres jt) , ç , faisons passer une sphère orthogonale à (S,) . Cette sphère sera aussi orthogonale à (S) ; elle aura donc son centre dans le plan radical (P) de (S) , (S') et (S,).

DE COURBES ET DE SllF\FAC^S ALfiÉBRtQURS. "247

Comme elle est orthogonale à (S,) , l'inversion la transformera en elle-même, et elle contiendra par conséquent le cercle d'intersection des deux sphères de centres />', 7'. tangentes à (S'). Son centre sera donc aussi sur la droite p'q', et sera l'intersection àe pq et p'q'. Comme ce centre est dans le plan radical (P) de (S) et de (S,) , la proposition est démontrée.

Ainsi les deux déférentes se correspondent de manière que les droites pp' joignant deux points correspondants aillent passer par un point fixe 0, , et de telle manière que les droites pq d'une figure aillent couper les droites correspondantes p'q' do rnutre en des points situés dans un plan fixe (P). Les déférentes sont donc homologiques; (P) et (0,) sont le plan et le centre d'homologie. Donc,

Si l'on soumet une anallagmatique (2) d une inversion définie par la sphère (S,) de centre 0, , elle 5h change en une anallagmatique (2) . Les sphères directrices des deux anallagmatiques sont inverses l'une de l'autre par rapport à (S,) . Les déférentes sont homologiques , 0 étant le centre d'homologie, et le plan d'homologie étant le plan radical commun à (S,) et aux deux sphères directrices de {!) et (2J (»).

Ce beau théorème est dû à M. de la Gournerie, qui l'a énoncé pour les anallagmatiques planes dans le Mémoire déjà cité. Il devient illusoire dans le cas suivant :

Si Von soumet (2) à une inversion transformant sa sphère directrice en un plan (P) , ranallagmatique se change en une surface {!'), symétrique par rapport au plan (P) . Les sphères doublement tangentes se changent en sphères ayant leur centre dans le plan (P) , mais dont le rayon n'est plus défini.

(') On peut ajouter que les deux sphères directrices sont aussi homologiques avec le même centre et le même plan d'homologie. II résulte de cette remarque, par e.xemple, que les polaires r<^ciproques des déférentes par rapport nux sphères diieciriees sont aussi homologiques. De plus, puisque les deux sphères directrices sont correspondantes, on conuaîtra, en même temps que le centre et le plan d'homologie, le rapport ou module d'homologie.

24H SUK Ui\E CLASSr rkmahouaule

Nous allons donner des règles simples relatives à ce cas particulier.

Arrivons à F ex a m en du cas singulier dans iequci T inversion change Tanailagma tique (2) en une surface (1') ayant un plan de symétrie. Les sphères tangentes à ranallagniatique (2) se changent c:i spiières ayant leur centre dans le plan de symétrie, et dont le rayon ne peut plus être déterminé. Les remarques siîivantes vont nous permettre de déterminer ces rayons.

Soit, pour plus de simplicité, une cyclide (K; ayant pour délerente la quadriquc (D) , et pour directrice la sphère (S). Soit (B,) la polaire réciproque de (B) par rapport à (S). La cyclide (KJ ayant (B,) pour déférente correspondra point par point à (K) y et les lignes de courbure des deux surfaces seront <x>rrespondantes (Note V). Remarquons d'ailleurs que ( hacune d'elles aura pour focale la section de l'autre par la sphère directrice. Cette relation se conserve si Ton transforme par inversion; et, si les deux cyclides sont changées en cyclides à plans de symétrie , la focale de chacune d'elles sera la section principale de l'autre.

Nous avons donc le théorème suivant :

Étant donnée une cyclide (K) à plan de symétrie, les sphères dûuhlemcnt tangentes ayant leur centre- dans le plan de symétrie peuvent être délinics par la propriété suivante : Les sphères de rayon nul passant par leur intersection arec le pian de symétrie décrivent une cyclide (K,) , ayant pour focale la section principale^ et pour section principale la focale de la première. Les lignes de courbure det deux cyclides (K) , (K,) sont des lignes correspondantes.

nE COL'HBES Kf l'L SURFAC&S ALUÉIÎRIQUHS. 249

IVofe IUL.

Deis surfaces qui demourent invariables quand on les tra-nsfornie par polabrea r&ciproqa?s, et des méthodes (h transformation des surfaces avec conserîation des ligues de courbure

Une grande partie de c^ travail a été consacrée à rcxamcn des propriétés des surfaces qui doirieureiit invariables par une invert^ion convenablemeTit choisie.

La méthode que nous avons suivie peut servir de gu'de dans l'étude d'une question plus générale qu'on peut énoncer ainsi :

Trouotr les surfaces qui demeurent iniariablcs quand on les soumiil à une transformation d'une nature déterminée.

A cet effet, on cheichera les surfaces les plus simples satisfaisant à la condition précédente, et contenimt au vùmM> troi? paramètres; les surfaces les plus générales répon-daiit à \à question pourront être engendrées comme enveloppes des précedejites.

C'est ainsi que, si Ton veut trouver toutes les su' faces qu'une inyersion laisse invariables, on remarque que lej» sphères orthôgonalBs à îa sphère d'inversion satisfont à cette condition, et lés surfaces anallagmatiqucs générales sont les ftnv..loppes d'une série simple ou double i\c ces sph6res.

Nous allons ici traiter une question de ce genre, et examiner comment on peut eiigendrer toutes les surfaces qui coïncident avec leur polaire réciproque par rapport à une quadrique (S> , Nous pouvons supposer, sans restreindre la généralité, que celte quadrique soit une sphère, et nous allons d'abord examiner s'il existe des quadriques qui soient leurs propres polaires réciproques.

Soient (0) Tune de ces quadriques.. et (0') sa polaire réci-

250 suu L'i\r: (:i,\sst': REMAj!(jL'ABi,K

proque. On sait que (Q') contient la courbe de contact avec (S) de la développable | (Q) (S) i . Cette courbe de contact doit donc appartenir aussi à (0), et par suite (Q) doit être une surface de révolution inscrite dans la sphère.

Cette condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante. Car soit

{{x'-^- 1/ + z'—J{^) U"+ y" -i z"—W)—K{xx' -i- yy' ^zz'—U'Y

réquation d'une surface de révolution inscrite dans (S). La surface polaire réciproque sera bien inscrite suivant la même courbe; elle aura pour équation

où

mais elle ne coïncidera pas avec la première. Il faut, pour qu il en soit ainsi, que Ton ait

Si l'on se reporte à l'équation (1), on voit que {x' ,y\ z') est le pôle du plan de contact ou d'inscription: nous l'appellerons, avec M. Cayley, centre d'inscription. D'un autre coté la formule (2) de la Note V nous montre que, dans la géométrie de M. Cayley, la distance 0 d'un point quelconque (j? , y , z) de la surface au centre {x\y\2') est constante, et donnée par la formule

(5) cos» 0 = ^ •

Nous appellerons & le rayon d'inscription, et nous voyons que les surfaces inscrites précédentes jouent dans la géométrie de M. Cayley le même rôle que la sphère dans la géométrie ordinaire. On reconnaîtra sans difficulté que le plan tangent

l)K (OtJIVHti; ET m Sl'HKACI-> AI.G'ÊIUWOUKS. 251

en toul point de la surface est normal au rayon qui passe au point de contact.

Les surfaces précédentes ont même des propriétés plus étendues que la sphère, qui les rapprochent des petits cercles dans la géométrie sphérique. Elles sont l'enveloppe du plan qui fait avec le plan d'inscription un angle constant 12 , défini par la formule

(C) ces» " = jT-, •

On peut appeler cet unglc, angle d'inscription; il est complémentaire de 6 .

Avec CCS détinitions, ie résultat que nous avons trouvé peut s'énoncer ainsi :

Les seules quadriques coïncidant avec leur polaire réciproque sont celles qui sont inscrites, et dont le rayon ou VanijU d'inscription est égal à r -

Cela posé, soit une surface (2) , qui coïncide avec sa polaire réciproque. A tout point m correspondra un plan polaire tangent en m' à la surface, et le plan polaire de m' sera tangent en m. D'après cela, si l'on construit une quadrique inscrite de la définition précédente, tangente à (2) en m, cette quadrique sera aussi tangente en m' à (I) . Donc

Toute surface identique à sa polaire réciproque est Venccloppe d'une série de quadriques inscrites dans (S) avec un rayon égal

à 7, et dont le centre d'inscription décrit soit une ligne, soit une

surface.

Si, au lieu de supposer que le rayon d'inscription soit

égcl à 7 , nous admettons qu'il a une valeur constante, mais quelconque, nous obtenons des surfaces remarquables, enveloppes de toutes ces quadriques inscrites de rayon constant. Elles sont tout à fait analogues aux surfaces parallèles dans la géométrie ordinaire, et donnent lieu aux propriétés suivantes.

252 SUh VUE Cl.ASSE HLMAiKiUABLK

Soit (H) une surface quelconque, et supposons que, de ses différents points comme centres, on décrive des quadiiques inscj-ites dans ia ?phère (S) et de môme rayon e . Ces quadriques enveloppent une surface (H,) , que Ton construira comme il ?uit. Soit M un point de cette surface; il peut être considéré comme Tinlersection de trois quadriqlies infiniment voifeincù, de centres infiniment voisins r,i,m\m". Ces trois centres étant à la même distance du point M , le plan mm'in", tangent en ni à (li), à la limite sera normal à la droite M»i. On aura donc la construction suivante.

Sur chaque normale à (H) en un point P, on portera, dans les deux sens, une longueur conslante égale à 0 , ce qui donnera les dt'ux points P, , P. r qui seront des points de la surface p;n'ailèle (llj . Les deux pians tangents à cette surface en P^ , P, seront normatix à la droite PP, P^; ils iront se coui>er, par conséquent, suivant la polaire de cette droite, ou stcondu normale de (il) en P, située dans le plan tangent à (II), l'e phis, ils feront des angles ogaux et constiuits avec le plaa tartgofjt à (H) en P.

Ce sont exactement les propriétés des coui'lies parallèles .sur la sphère. Dans la géométrie cayleyenne comiuo dan» ia g:éouiétrie ordinaire, les normales d'une surface sont normales aux surfaces parallèles, et par conséquent les iig-ncs de courbure se correspondent point par point sur les deux surfaces parallèles.

La polaire réciproque (H') de (H) peut être considérée comme parallèle à (II) ; car un point est à une distance r onstante é^dle à un quadrant de tous les points de son plan polaire, et par conséquent l» polaire réciproque d'une surface donnée i-cra îa surface parallèle rnetiée à la distance d'un quadrant.

On voit ^ue la surface parallèle menée à la distance de ^ se

composera de deux nappes conjugiiées, qui seront à uîie distance d'nn quadrant l'une de rauti-e, et par conséquent seront polaires réciproques Tune de l'autre. La droite qui

i.K codhuks f.t df. surpaccs ALGi:iiHiou£s. 2t>3

joindra deux points rorrespondanls sui' ios deux nappes sera «orrriale uonininno aux deux nappes.

Plus grnéralemcnt, deux surfaces parallèles se succédant à une distance d'un quadrant seront polaires réciproques i'une de Tautrc.

lî.

Nous allons maintenant montrer comment les propositions précédentes conduisent, dans la géométrie ordinaire, à une méthode de transformation des surfaces avec conservation des lignes de courbure ordinaires, plus générale (jue celle qui a été: développée dans la Note V.

Rappelons d'abord que, si Ton prend pour déférente une quadrique (Y) inscrite dans la sphère, Tanallagmatique correspondante se compose (art. 59) de deux sphères passant par la ligne de contact de la quadrique (V) , et ayant pour centres les deux foyers de cette quadrique. Ces deux sphères coupent sous un même angle 9 la sphère directrice (S) , et si 0 est le rayon d'inscription de la quadrique, on trouve sans difficulté

isin»

(j) rOSfp r= .