COS
'f demeure donc constant pour toutes les quadriquos inscrites de même rayon.
Cela posé, considérons une surface (B) et les surfaces parallèles par rapport à (S) , (B,), (B,) , . . . . Les lignes de courbure se correspondant sur ces différentes surfaces, si on les prend comme déférentes , les anallagmatiques (I) , (2,) , (ïj , . . . , ainsi obtenues, se correspondront point par point avec conservation des lignes de courbure ordinaires. Voyons comrnent on peut définir cette correspondance.
La surface (B,) parallèle à (B) est l'enveloppe d'une suite de quadriques (V,) inscrites, de rayon constant, ayant leur centre d'inscription sur (B) , et dont les plans d'inscription enveloppent par coiiséquent la polaire réciproque (B') de (b) .
254 SI R Vm ClASSK MKMAKijL'ABLE
La surface (S,) ayant (B.) pour dcterenle sera donc l'enveloppe des couples de sphères correspondantes aux quadriques (V.) do rayon constant. D'après la remarque précédente, ces sphères coupent la sphère directrice (S) sous un angle constant. Donc,
Étant donnée une surface quelconque (B'), on lui mène des jilans tangents, et par leurs intersections avec une sphère fixe (S) on fait passer des sphères coupant (S) sous \m angle arbitî'aire, mais constant a. Soit .i:^/ la surface enveloppe de ces sphères. Deux surfaces {ïlj,{^^), obtenues en attribuant à Tangle constant les valeurs a , p , se correspondent point par point avec conservation dos lignes de courbure.
Les points correspondants sur les diirérentes surfaces sont à rinterseclion d"un cercle orthogonal à (S), ci les coupant toutes à angle droit.
Cette transformation comprend comme cas particulier celle
qui a été donnée dans la Noie V. Si Ton prend, en effet, a = g ,
on obtient Fanallagmatique ayant pour déférente la polaire réciproque (B) de (B'). Si l'on fait a — oo , on obtient les points sphères passant par rintersection de (S) et des plans tangents à (B'), c'est-à-dire Fanallagmatique ayant (B') pour déférente. On a donc les deux anallagmatiques ayant pour déférentes deux surfaces (B) , (B') , polaires réciproques par rapport à (S) . C'est la transformation de la Note V.
En réunissant les résultats qui précèdent, on peut donc énoncer le théorème suivant :
Étant donnée une surface {!), on lui adjoint une sphère ^xc (S)^ et l'on construit toutes les sphères tangentes à la surface et coupant (S) sous un angle constant a . Par rintersection de chacune de ces sphères et de (S) , on fait passer de nouvelles sphères coupant (S) sous un angle § , Ces nouvelles sphères enveloppent une surface {!), correspondante point par point à {!) ^ avec conservation des lignes de courbure.
Les points correspondu ats sur les deux surfaces sont sur des
I)K COJRBKS FT l»K SUIUACES ALr.K.niUOUKS. "2^^
cercles normaux à la fois aux deux surfaces et à la sphère (S) (*). Nous rencontrons ici des surfaces enveloppes de sphères variables, coupant une sphère fixe (S) sous un angle constant. On ramène leur étude à celle des anallagmatiqucs ordinaires par la remarque suivante. Soit 0 le centre de la sphère (S) , et G le centre d'une sphère variable (U) , coupant (S) sous un
/\ angle constant a . Cet angle a est égal à CMO , et Ton voit que
la sphère (U') de rayon CP coupe la sphère ($') de rayon OP à angles droits. Or OP = OM sin a l'st évidemment constant; la splière (S') est donc invai'iable.
Quant à la sphère (U') , elle a luéme centre que (U); mais son rayon diffère de celui de (U) d'une quantité constante PM — OM cos a.
Les sphères (U) et (U') envelopperont, par conséquent, des surfaces parallèles. Donc La surface cmeloppe des sphères coupant sous un angle constant
une sphère (S) est parallèle à une surface enveloppe de sphères
Concentriques aux premières, n coupant à angle droit une sphère
fixe (S') concentrique à (S) .
(') Ce ihr'iorème peut èlve généralisé de la manière suivanlc.
Considérons une surfacp (2) enveloppe d'une série de sphères variables [U), coupant sous des angles quelconques la sphère (S) . A chacune des sphères (U) coupant [S) sous l'angle 9, on fait correspondre une sphère (Vj, passant par l'interteclion de (S) et de (U) , et coupant (S) sous un angle ?, déterminé, par l'équaiion
ces f — COS'^,
1 — ces o COS 9
Alors les nouvelles sphères (U,) enveloppent une surface (Z,: , qui correspond point par point à (2) avec conservation des ligues de courbure. Quand 9 reste constant, il en est de même de 9, , et l'on retrouve le ihéorème donné dans le texte.
•^56 SUU UNE CLASSE RFMVHOUABLr.
JVote JL.
Sur un aoavôau système de coordontiées et son application à lit thème des cyclides.
Dans la Quatrième Partie de ce travai'l, nous avons été conduit à un nouveau système tle détermination des points de l'espace, dont Tétude paraît présenter de grands avantages dans la théorie des cyeiidts. Les cinq quantités S^ définies dans Varticle ^9, et qui sont les puis-sances d'un point par rapport à cinq sphères urthogonalt^s, peuvent être considérées comme des coordonnées d'une nature particulière; mais elles sont en nombre plus que suffisant, et l'on p«ut les étudier sous deux points de vue essentiellement distincts.
D'abord, les cf.ordonnées S, , étant au nombre de cÀm\, ne sont pas indépendantes les unes des autres, et il doit y avoir entre elles deux relations. On trouve, en effet, qu'elles satisfont aux équations
qui se déduisent immédiatement des formules de Varticl.) 48. On voit donc, comm^ cela doit être, que trois seulement des coordonnées S, peuvent être choisies arbitrairement; les deux autres seront alors déterminées par les équations précédentes.
Mais on peut aussi déterminer un point, non plus par les cinq coordonnées S^ , mais simplement par les rapports mutuels de ces cinq quantités. Soient A-, , ^, , . . . , Ar^ des nombres
I>K COURBES F.T f)E SURFACES AI.GI^lLrUQIJFS. 257
ppoportio?in(;îs à S, , S, , . . . , S^ . On aura, pour déterminer le point, {es équatiui
ou
5 étant une arbitraire inconnue. Les quantités ki devront satisfaire à Tunique relation
ei, quand on connaîtra les nombres /r,, c sei'a déterminé par réqualion
Nous adopterons cette seconde manière de déterminer les points, et nous aurons un système de cinq coordonnées homogènes, liées par une seule relation, du second degré par rapport aux coordonnées. Nous allons, du reste, pour donner à notre système de coordonnées toute la généralité qu'il compo/te, rattacher le mode de détermination (io.-> [)oints dans ce système à celui des sphères et des plans. Nous commentons en rappelant quelques propositions déjà établies.
Soient cin({ sphères (S,), deux à deux, orthogonales, et définies par les équations
Le rayon R, de chacune d'elles est donné par la formule
et, en exprimant qu'elles sont orthogonales, nous obtenons les équations de condition
(3) 'î. 4- 5, = 2«,«, + 2 ,3,.Sj + 27,v> .
Nous avons vu (art. 48) qu'on a entre les cinq quantités S, la relation identique
258 SI R i;.\K <;î.assf, «kmaro'jablf.
qui conduit aux équations doinu'es dans farticle cité,
Cela posé, l'équation de toute sphère (S) peut évidennment =6 mettre sous la rornie
car celte équation conUeat cinq paramètres variables, les quantités iPi) les rapports mutuels de ces cinq quantités peuvent donc servir à déterminer une sphère; ce sont, en quelque sorte, les coordonnées d'une sph»>re, et il importe de rechercher d'abord leur signification géométrique.
A cet effet, nous supposeron;? que l'on remplace dans réquation (6) les quantités S,- par leurs expressions x,y ,z. On aura une identité de la forme
L'équation de la sphère (S) en coordonnées ordinaires sera donc
K [X' -^ y' 4- 2') — 2A.C — SDy — 2C2 -f- D = 0 ,
et Ton aura
Grâce aux identités (5), on peut résoudre ces dernières équations par rapport à m, , et l'un trouve ainsi
(8) w,=r^-|^ rK(«,'+p,'4y,»)-2A«.— 2B^,— 2Cv,-hD— KR.^ ]•
Soient 0 le centre de (S) et R son rayon.
HE COLRRES ET HE SI RFACF.S ALr.l^.HRlgllES. 259
Appelons P; la puissance du centre C,- {a. , ^, , y,) de (S.) par rapport à (S) ; réquation (8) pourra s'écrire
L'expression entre parenthèses est un invariant remarquable de (S) et de (S,) , le carre de la distance des centres moins la somme des carrés des rayons. Il s'annule quand les deux sphères sont orthogonales. Nous l'appellerons puissance commune des deux sphères.
Donc les cinq coordonnées 7», , qui déterminent dans notre système une sphère variable (S), sont proportionnelles aux puissances communes de (S) et de chacune des sphères (S,) , divisées par le rayon R, de la .sphère (S,; .
On voit que la coordonnée m^ ne s^annule que dans le cas où la sphère (S) est orthogonale à la sphère (S.) .
Par exemple, l'équation
représente toute sphère orthogonale à (SJ et à (S^) .
Cherchons le rayon R de la sphère (S) en fonction des coordonnées îh, . On a, d'après les identités (7) ,
riO) A' -h B' 4- C* — D K -^ ^ w,- .
Le premier membre de cette équation est égal à R*K'; on a donc
Dans le cas où la sphère variable se réduit à un point M , les cinq quantités m, deviennent les puissances divisées par R< du point M par rapport aux cinq sphères orthogonales. En appelant S; ces puissances, on obtient
iGO SUR LiNK CLASSR HK MARQUABLE
et, comme W est nul dans ce cas, on a
(12) ]Vw--.= 0,
OU
