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c'est-à-dire Tidenlité qui a été notre point de départ, ce qui sert de vérification à nos calculs.
D'autre part, la sphère se réduit à un plan (P) , si l'on a
Les plans de l'espace ^ont donc déterminés par cinq quantités m. , et ces coordonnées satisfont à l'équation linéaire (13). Dans ce cas, la formule (8) devient
îH.=:^|^r2A«,+ 2B5, + 2Gy, — DJ-
et, comme l'équation du plan (P) est
2Aa? + 2Bî/-+-2Cz — D = 0,
on voit que les cinq coordonnées rUi sont proportionnelles aux distances divisées par W^ des centres des cinq sphèrei (S.) au pian (P) .
(1 suil de là que le système actuel de coordonnées, quand il est employé à la détermination des plans, est un système de coordonnées tangentietles surabondantes. Si, au moyen de l'identité (13), on élimine une des quantités »i, , m, par exemple, d'une équation, il restera une relation homogène entre m, , m, ,m^,m,, qui sera Téqualion tangentielle de la surface enveloppe de tous les plans, rapportée au tétraèdre des centres des sphères (S,) , (è,) , (S,) , (S.) .
Kn résumé, notre système de coordonnées embrasse à la fois les points, les plans et les sphères. Les cinq quantités w, déterminent en généra! une sphère. Pour qu'elles conviennent à un plan, il faut qu'elles satisfassent à une équation linéaire (13);
DE COUKBES ET DE SUJU'ACES ALCÉtUUQL'KS. 261
pour qu'elles déterminent un point, il faut qu'elles satisfassent à réquation quadratique (12).
Si elles satisfont à la fois aux équations (12) et (13), elles déterminent un phni tangent au cercle de F infini.
Enfin, toutes les fois que Tune des coordonnées m, est nulle, la sphère ou le plan deviennent orthogonaux à (S,) , ou, si la sphère se réduit à un point, ce point se trouve sur (S,) .
iNous signalerons encore une propriété importante des quantités ?«, . Si Ton place la masse m, au centre G, de chacune des sphères (S,) , d'après les formules (7), le centre de gravité des cinq masses sera le centre de la sphère (S) . Cette propriété ne suffit pas évidemment à faire connaître les cinq quantités, mais elle constitue une relation importante, et dont nous aurons à faire usage.
Étant données deux sphères (S) et (S') par leurs équations
(14) S=^w,~=¥.{x'-^if + z') — 'iAx—2By~'iCz + D=z(),
(15) S'=2*»',5^ = K'(ic' + ^^ + 2')--2A'x— 2B'y— 2C'z-t-D'=0,
on peut combiner ces équations de manière à obtenir la suivante
et, en appliquant alors la formule (10), on aura
(A -h ).A')'-*- (B + >B')' 4- (C + ).C')' — (D + ÀD') (K + IK') (fw<-t-Xw',)' .
En égalant les coefficients de X dans les deux membres, on obtient la relation
(16) 2AA' + 2BB'+2CC'~DK' — D'K==2ymm' .
26i! SUR UNE CLASSE REMAROUABLE
Si nous désignons par x^y , z ,x\y' , 2' les coordonnées des centres de (S) et de (S'), et par R et R' leurs rayons, réquation (16) pourra s'écrire
x'Y -+- iy^yy -i- {z-^z'y-'^'--K"
I~ " KK' S^JlS^^l
Le premier membre de cette formule est la puissance commune de (S) et de (S') , qui se trouve ainsi exprimée er;, fonction des m,- , m', .
La condition pour que les deux sphères soient orthogonales est donc
La formule (17) prend une forme élégante, si Ton suppose que les deux spbAiûs (S) , (S') soient réduites à des poiats. Alors on a
et Ton peut écrire cette formule
7(Wi — m'iY (19) (.>-— 0?')' + {y—yy + (z — z'Y = -^
Telle est l'expression de la distance de deux points. S'ils deviennent infiniment voisins, on a
(20) dx^ i dy'-i-dz' =
Cherchons ce que peut représenter le second membre de la formule (19), quand on a, non des points, mais de véritables sphères (S) , (S').
DE COURBES ET DE i>UKFAi:i:S ALGÉBRIQUES. 263
On a alors
D'ailleurs, puisque les coordonnées sont homogènes, on peut toujours supposer que
et par suite on aura
2RR'=r
Zr;Zr7
et, en ajoutant cette équation membre à membre à (17),
On aurait de même
, y (,,,, + m',)' (22) (a;-a;')« + {y-yO' + (-~*'')'-(R+lVr = -^1— ~- •
Zr; ù r.
Mais ces deux formules supposent essentiellement que
La condition de contact de deux sphères peut donc s'écrire, dans notre système et avec l'hypothèse précédente,
(23) 7{mi±m',y'~0
2G't .^f i! U.\K CLAbSK REIttAlluL'ALîLK
Si les deux si^hèies 'Jevenaient iiiùninient voisines, on aurait
7 dm,' (24) dx' 4- ây' -h d -' — /< R* =- "e^ , - ■
mais cette formule supposeesseutieliemonl que, lorsiiuew, varie, Inii' demeure constante.
D'après ré({uation (24), la condition de eonlact de deux sphères infiniment voisines sera donc
(25) 'Sdnu' = 0.
imd
Les formules données ici peuvent être écrites d'une autre manière, qui met en évidence leur interprétation géométrique. Par exemple les équations k^V et (22), relatives à deux sphères et établies dans l'hypothèse que
deviennent, en appelant '^ Fangle de ces sphères,
.(26) 4sin'| =
et par suite, en appelant V Tangie de deux sphères infiniment voisines, la formule (24^ nous donne
en supposant que l.m^ demeure constante.
Les formules précédentes, ne contenant que des angles, ^ s'appliquent au cas où les sphères se changent en des plans.
Une des propriétés les plus importantes du système pré-
UE COLRnKS El DE SLHI-ACES ALUÉBRIQUES. 265
cèdent de coordonnées, c'est qu'il est en quelque sorte indifférent à la transformation par rayons vecteurs réciproques ou inversion.
C'est-à-dire que, si l'on soumet le système entier à une inversion, les cinq sphères (S.) se changent en cinq nouvelles sphères (S',) , et toute sphère, point ou plan (U), se change en une sphère (U') , qui a, par rapport aux (S',) , les mêmes coordonnées que (U) par rapporl aux (S.) . V.n d'autres termes, on étudie, dans notre système de coordonnées et dans la même équation^ en même temps qu'une figure, toutes ses transformées par la méthode des rayons vecteurs réciproques.
Pour démontrer cette inqiortautc proposition, il suffit de
remarquer que, grâce aux foiinules de l'inversion, les cinq
Si quantités jt- se changent, à un facteur près, dans les quantités
S', analogues ~ , relatives aux sphères (S',) inverses des (S.) .
On a
et par suite l'équation
de toute sphère (U) se change dans l'équation
de la sphère ([]') correspondante. Cette nouvelle sphère a donc, par rapport aux (S',) , les mêmes coordonnées que la première (U) par rapport aux S,-. C'est ce qu'il fallait établir. Toutefois, il peut arriver que l'une des sphères (S<) soit
S,changée en un plan. Alors il faudra remplacer -* par 2(/i,
di désignant la distance à ce plan.
Ainsi, la- véritables coordonn(''Cs d'un point sont propor-
266 SUR UNK CLASSE REMAHOlSniE
S tionnclits Jiux quantités -' ou ^2rf,, bi la sphère ih\ basf» (S,^
doviont un plan, et tout point sera déterminé par les cimj coordonnées homogènes
hces par l'équation
et invariables pour toute nnersion plan*; ou sphcrique.
Le systènio actuel de coordonnées présente une propriété tout à fait singulière, et sur laquelle il importe que nous insistions.
D'abord, tous les points du plan de Pinfini qui sont hors du cercle de l'infini ont les mêmes coordonnées, savoir
En effet, d'après la formule (9), les coordonnées d'un point quelconque 0 sont égales -s
Si le point 0 s'éloigne indéfiniment sans avoir pour limite un point du cercle de l'infini, OC- devient infini, et l'on trouve
.\u contraire, si le point 0 s'éloigne à l'infini en s'approchant d'un point du cercle de l'infini, OC, est indétermin ', et l'on a, ■i la limite,
RjX. — À-HfxR.* ,
011 le rapport - peut prendre toutes les valeurs possibles. Les
!)E COUKBES ET DE SUhFACES ALGÉBlUQUEi». 267
points du cercle de Tinfini ont donc une infinité de systèmes de coordonnées.
Les remarques suivantes expliquent ces propriétés si singulières de notre système de coordonnées.
Si l'on soumet les points de l'espace à une inversion, tous les points à l'infini en dehors du cercle de l'infini viennent se confondre au pôle A de l'inversion. Ils ont donc tous, d'après une remarque déjà faite, les mêmes coordonnées que ce pôle, après l'inversion.
Au contraire, à un point M sur le cercle de l'infini correspondent, après l'inversion, tous les points M' situés sur la droite AM. Le point M doit donc être défini par tous les systèmes de coordonnées qui, après l'inversion, déterminent les différents points M', en nombre infini sur la droite AM .
Faisons i application des résultats précédents à quelques problèmes simples.
Soient deux sphères (S) , (S') , définies par les équations
y ntiXi = 0 , \"^' ' ^i = ^ '
L'équation de toute sphère passant par leur intersection sera
L'une de ces sphères se réduira à un plan, le plan radical des deux premières. Elle correspond à la valeur de l déterminée par l'équation
Deux des sphères se réduisent à des points. Les valeurs de X auxquelles elles correspondent sont déterminées par l'équation
26S SLH LNE CLASSE lU: MAUQUABI.E
OU
Ld Lk id
On sait que, lorsque cette équation a des raciiies égales, les deux sphères (S) , (S') sont tangentes; la condition de contact est donc
;îi)
Si Ton l'ait Ird^ -^l^ni ■■ ^ cette équation se déconipose dans les deux conditions (22) déjà trouvées.
Si réquation en À est identique, les deux sphèics se réduisent à des points, et ces points sont sur une droite allant rencontrer le cercle de Tinfini.
On sait que, étant données des sphères passant par un même cercle, quatre de ces sphères donnent lieu à un rtqjpoit anharinonique, connTie quatre plans, et ce rapport anharinoni(jue est égal à celui des centres de ces sphères, situés en ligne droite. Il est clair que le rapport anharmonique de quatre sphères, déduites de Téquation (28) en donnant à À quatre valeurs distinctes, sera le même que celui de ces valeurs de À.
Examinons maintenant une surface quelconque représentée par l'équation homogène
'32) fix, , a-, , . . . , a^,} = û ,
que, pour abréger, nous écrirons
L équation
où les Xi désignent les coordonnées d'un point M de la surface, et X, les coordonnées c urantes, représente, quand on y fait
OE counni'S et dr surfacks ai.g(' sniQUES. 269
varier X, une suite de sphères tangentes en M à la surface. Si Ton dispose de X de telle manière que
alors réquation (33) représente un plan; c'est le plan tangent à la surface au point M .
Toute sphère
normale à la surface au point M, devra aussi être normale à toutes les sphères tangentes (33). On devra dont avoir, quel que soit X ,
'est-à-dire
S? àf S?
Si Ton a, en outre,
réquation (3/t) représentera un plan normal. Tous les plans normaux passent donc par la droite
Pour que le point (x,) soit un point singulier de la surface, il faut que Ton ait, pour une valeur convenable de X,
(') Cette notation abrégée indique qu'il faut égaler.à zéro tous les déterminants formés avec les quatre lignes qu'on obtient en donnant ;'i / quatre valeurs quelconque?, prises dans la suite 1,2,3,4,5,
ilO SUR VSF. CLASSK UKMAHQUABLK
Pour que deux surfaces, reprtsentéos par les équations houiogèiîes
soient orthoironales, il faut oL il suffit que Ton ait, pour leurs points communs.
Lia Xi d Xi
Cette équation a déjà été donnée dans le texte (art. 4-9). Enfin, étant donnée une sphère par Téquation
toute sphère concentrique aura pour é(iuution
(38) l(."'''iy' = "-
Par exemple, si Ton demande Téquation générale des sphères ayant pour centre un point (x.) , cette équation sera
Ces dernières propositions se démontrent sans difficulté au moyen des formules généfoles déjà données. L'équation d.* la spliôre réduite au plan de l" infini est
(40, Il
