VT

Dnns les calculs précédents, nous avons pris pour base de notre système cinq sphères deux à deux orthogonales, mais on peut aussi prendre cinq sphères quelconques, non orthogonales à une même sphère.

Soient en effet (S,) les cinq sphères orthogonales, ci Xi les coordonnées définies plus haut d'un point quelconque.

DK r.OURBKS ET DK SURFACES ALGIïnRIQL'RS. 274

Effectuons la substitution linéaire

on tirera de ces équations (42) j/, = 2^p,,Xk.

Les équations

représentent donc cinq sphères quelconques, que nous appellerons (S',), et qui ne sont pas orthogonales à une même sphère, puisqu'il n'y a entre les ^, aucune relation linéaire identique.

La signification géométrique des nouvelles variables y,- est donc la suivante. Elles sont proportionnelles aux puissances du point par rapport aux sphères (S.) multipliées par des facteurs constants.

De l'identité

on déduira par la substitution une relation

quadratique et homogène, et contenant en général les rectangles des variables y, . Donc

// existe, entre les ptiissances d'un point par rapport à cinq sphères non orthogonales à une même sphère, une relation quadratique et homogène, qui contient en général les rectangles des variables.

Nous n'étudierons pas d'une manière détaillée le nouveau système de coordonnées auquel nous sommes conduit ici. Les formules qui se rapportent à ce système se déduiront sans peine des précédentes, si l'on applique les notions relatives aux invariants et covariants des formes quadratiques homogènes. Nous nous bornerons à indiquer la condition pour que deux sphères soient orthogonales.

Soient

272 SUR UNE Cl.ASSR REMAROlABI.E

les équations des deux sphères et désignons par 9, (y,) la forme adjointe de f (?/.). La condition d'orthogonalité pourra s'écrire

dm, "c/Wj

Ou déduit notamment de cette dernière équation la proposition suivante :

Pour que les cinq sphère^i qui conipose7it la base du système soient dnix à deux orthogonales, il faut et il suffit que la relation identique (-48) ne coutieiwe pifs les rectangles des variables (^).

(') On pourra consuttor sur cette relaiion uu Mémoire de l'auleiir, inséré dans les Annales de l'École Normale supérieure, 2* série, t. I, n" 6.

m COUHBES ET DE SliHFACKS AUlÉBRIQDEiS. 273

IVote XB.

Applioation du système de coordonnées considéré dans la Note précédante à la théorie des >îyelides.

Nous avons vu (art. 4-1) que Téquation d'une cyclide peut se mettre sous la lornie

A (x^ + y' + 2*)' H- tt, t{œ' -i-y'-h 3') + vj' ~ 0 ,

où ^ , y , ;r , î désignent les coordonnées homogènes ordinaires d'un point, et «, ,«, des polynômes du premier et du second degré. Si nous introduisons les cinq quantités (S,), définies par les équations suivantes,

S,~xf. S,=:yt, S, — zt. S,:=/', S, = x'-hy' + z\

l'équalion de la cyclide se transformera en une équation homogène et du second degré par rapport à ces cinq quantités (S,), D'ailleurs, celies-ci sont liées, d'après la Note précédente, par une équation identique, qui est ici

Cela posé, désignons, pour abréger, par

Ci) *(S,)=rO

l'équation homogène de la cyclide. D'après des principes bien connus, les deux fonctions f (S.) » ?> (S,) pourront C^tre ramenées par une substitution linéaire à ne contenir que les carrés des variables.

L'identité (i) prendra la forme

274 SUR UNE CLASSR RKM ARQUABLE

et les équations

Xi — 0

rçprt'senteront, par conséquent, des sphères orthogonales. L'équation lie la cyclide deviendra

Nous retrouvons le résultat établi (art. 47).

Tl est vrai que, étant données dieu'X formes quadratiques^ on ne peut pas toujours les ramener à des sommes de carrés; mais ces cas d'exception peuvent se déduife du cas général par la méthode des limites.

Examinons, par exemple, le premier de ces cas. qui comprend tous les autres, et qui correspond à Thypotlièse où les sphères

se rapprochent indéfiniment, et viennent se confondre. Alors les équations (3) et (4) prennent les formes

fl,iC,'-H ■ ■ ■ -h ar^''-i'2bx.x'.^-= 0 .

Au moyen de la première de ces formules, quie>^tuno identité, on peut éliminer x^x'.^ de la seconde. L'équation de la cyclide ser?. donc de la forme

(6) A,;r;- -+ A,.r,* -h A,xî -i A,.r./ =: 0 .

Mais la sphère (a\), étant orthogonale à la sphère infiniment voisine (x,) , devra se réduire à un point, et comme elle est aussi orthogonale à (S,) . (S^) ^(83) , le point auquel elle se réduit sera à rintersectioii de ces trois dernières sphères. L'équation (5) représente donc une cyclide, qu'on pour^^a transformer par une inversion en une quadrique. Il suffira de mettre le pôle de l'inversion au point

us COrRBES KT l»R SUUFACK?; ALfJÈBRIQliES 275

Soit, donc

(6) y\ar = i^

l'équation d'une cyclide générale.

D'après la formule (33) de îa Note précédente, les coordonnées m, d'une sphère tangente au point .17, auront pour expression

(7) rïii := {\i + 1) Xi ,

où / a une valeur fixe, mais quelconque. Ces coordonnées devront, par conséquent, satisfaire aux deux relations

Ai 4- //

En éliminant X entre ces deux équations, on aurait la relation qui doit avoir lieu entre les quantités w^ , pour que la sphère qu'elles déterminent soit tangente à la cyclide. On obtiendra évidemment cette relation, en exprimant que la première des équations (8) a une racine double. Celte équation étant biquadratique, son discriminant sera du douzième ordre par rapport aux quantités îw,- . Soit

(9) W{nii)^0

l'équation qu on obtient en régalant à zéro. Elle est homogène et du douzième ordre par lapport aux quantités w, ; ou en déduit les conséquences suivantes.

Si l'on clierche combien on peut faire passer, par l'intersection de deux sphères données, de sphères tangentes à la cyclide, il faudra remplacer wi, par m, + À^»', , et Ton aura pour À une équation du douzième ordre.

Donc ;}or un cercle on peut mener douze sphèrex tangentea à la cyclide.

i76 SUR UNK CLASSE nKMAKO'MULF.

Si Ce cercle devient une ligne droite, les splières (jui le contiennent sont des plans. Donc (a cyclide est de la douzième classe.

Enfin, si les deux sphères données w,- , w', sont concentriques, les sphères (w, -4- À m',) ont le même centre que les premières. Donc, dans une série de sphères concentriques, il y en a douze qui sont tangentes à la cyelide. En d'autres termes, d'wti point on peut memr douze normales à la cyelide.

Toutes ces propositions, si différentes en apparence, sont ici des conséquences d'un principe unique.

Ajoutons que l'équation (9), en y regardant les w,- comme les coordonnées d'un plan, est Véquatiôn tangentielle de la surface. Cette équation est de la forme

Proposons-nous de rechercher, quand la sphère (m^ est quelconque, quelle est la signification géométrique des racines de l'équation

Nous obliendrons ainsi le résultat suivant. La sphère (mi) ccupe la cyelide svivant une courbe située sur quatre cônes du second degré. La détermination de ces quatre cônes s'effecttie par la résolution de Céquation précédente.

Soit, en effet,

(H) S = 2WrS.- =r .f' + y« -+-.?' H — 0

l'équation de la sphère sécante, écrite en coordonnées ordinaires. Pour tous les points de la cyelide situés sur cette

S,, sphère, on pourra remplacer .t.- = jt- par la fonction du premier

degré — ^=a, , et, si Ion effectue celte substitution à la

UK COURBES KT DE SDKFACES ALGÉBKIQtES. ^7

fois dans l'équation de la cyclide et dans Fa relation identique entre les quantités Xi , on aura les deux équations

(it)

yA,«,*=::0, y«,*rr=Ô,

qui représentent la première une quadrique, la seconde la sphère sécante (S). On a aussi l'identité

(43) yw,«,=o,

en remplaçant t, par a,- dans Téquation de la sphère (S) .

Cherchons les cônes passant par l'intersection des deux quadriques(12). Pour cela, il faudra exprimer que l'équation

(A.4-/)i.,'^-rO

représente un oéne, en tenant compte de la relation ideotique (48). On obtient ainsi, sans difficulté particulière, l'équation

(•4) lî^=0

^W Ai + A

et les eoordannées du sommet du cône ont pour valeur

La proposition que nous avions en vue est donc démontrée, et l'on voit bien pourquoi une racine double de l'équation (14) correspond à une sphère tangente. Si deux cônes viennent se confondre, la courbe d'intersection de la sphère et de la cyclide aura un point double à leur sommet commun, qui sera le point de eontact de la sphère avec la cyclide.

La méthode que nous venons de suivre fournit sans difficulté les sections circulaires des cyclides. Cherchons, en effet, les sphères doublement tangentes; il faudra que l'un des quatre cènes déterminés par l'équation (14) se réduise à deux plans,

278 Si;« UNK CLASSE REMAROUABLE

et pour cela il est indispensable que l'une des coordonnées du sommet, %^ , par exemple, devienne indéterminée. Soit

;//, irrO , X r= — A, ;

comme/. — — A, doit être lacine donbie, on .mra, en exprimant ce fait,

Si, au lieu de a, , on prenait a, , a, , .... on aurait bien les cinq séries de sphères doublement tangentes, interprétons les équations (15).

Le première de ces équations indique que les sphères de la série sont toutes orthogonales à la sphère (S,) .

D'ailleurs, si l'on appelle S, la puissance du centre de l'une des sphères par rapport à la sphère {%) , on a d'après la formule (9) de la Note précédente,

R.ff?,— S. — R*, R,m,=rO==S, — R',

et par suite

En substituant ces valeurs dans la deuxième des équations (15), un obtient

Cette équation du lieu des centres est bien du second degré, et elle représente une surface conjuguée par rapport au tétraèdre formé des centres des sphères (S,/ , . . . , (S^).

On retrouve donc' la génération des cyclides due à M. Moutard. Nuus n'insisterons pas sur les déinonstia lions très simples qu'on pourrait donner ici des relations entre le? quadriques, ;i l'aide du système de L'Oor(Jonnées que nous avons employé.

DE COURBES ET UE SLKKACES AKiÉBBlUUKS. 2/9

Nous avons vu que la condition de contact d'une sphère et de la cyclide s'obtient en égalant à zéio le discriminant de l'équation

du 4* ordre en À. Ce discriminant e^t de la forme

où I et J sont des fonctions, du A'' et du 6^ degré respectivement, des quantités w, . On peut se demander quelle est la signification géométrique des équations

1—0 ou J r=: 0 .

Pour répondre à cette question, nous rappellerons le théorème suivant, du à M. Cremona (*).

Si par deux points d'une cyclique (et en général d'une biquadratique gauche) on mène des plans tangents à la cyclique, ou, si elle est plane, des cercles tangents, le rapport anharmonique des quatre plans ou des quatre cercles ainsi obtenus est constant.

Cette valeur constante est précisément le rapport .inliarmonique des racines de l'équation précédente du 4^ degré.

Quand

cette valeur est égale à une racine cubique imaginaire de l'unité; [es diiîérents rapports anharmoniques qu'on peut former avec les quatre racines sont égaux. Nous dirons avec jM. Cremona que la courbe est équiharmoniqne.

(') Gkemona . Mémoire de géométrie pure; sur les surfaces du 3* ordre. Journal de Borchardi, t. liXVlI!, p. 119.

Ainsi, les sphères dont les coordonnées satisfont à l'équation

coupent la surface suivant des cyclides équiharmouiques.

Les quatre cercles ou plans sont, au contraire, en rapport harmonique, si les coordonnées de la sphèie satisfont à l'équation

Les ociuatioiis (17) et (iS) étant des ordres 4 et 6, les plaas qui satisfont à ces équations enveloppent de:s surfaces de la 4* et de la 6® classe respectivement. Nous avons donc les théorèmes suivants :

L'enveloppe des plans coupant une cydide suivant des courbes équiharmoniques est une surface de la 4^ classe.

L'enveloppe des plans coupant suivant des courbes harmoniques est de la 6^ classe.

Ces propositions, qui s'appliquent à toutes les surfaces du 4^ ordre à conique double, sont lextension des théorèmes de M. Cremona relatifs aux surfaces du 3® ordre {^).

Plus géni^ralement l'équation

(19) 1' — Kr = o

convient à toutes les sphères coupant la cyclide suivant des courbes de même rapport anharmonique. Celles de ces sphères qui se réduiront à des plans envelopperont une surface de la 12« classe.

Étant donnée la cyclide

CJ Journal de Bmchanlt, L l."XViH, ].. 08.

DE COURBES ET DE SUIlFACES ALGftBRIQUKS. 281

nous avoîii vu que Téquation générale des sphères tangentes à la cycHde au point (a?,) est h suivante,

Si Ton donne à / les six valeurs

on obtient successivement une sphère réduite au point de contact (:Ci) et les cinq sphères doublement tangentes à la surface ayant un de leurs points de contact en (j?,) . Les rapports anharmoniques de ces cinq sphères ou, ce qui est la même chose, êc leurs centres disposés sur la normale au point (Xi) seront les mêmes que ceux des six nombres précédents, c'est-à-dire seront constants. Donc

Une normale quelconque à la cyclide rencontre les cinq déférentes en cinq points, qui sont les centres de sphères doublemeni tangentes à la cyclide et ayant un de leurs points de contact au pied de la normale. Ces cinq points et le pied de la normale déterminent sur cette droite une division komographique à nne division fixe; en d'autres termes, le rapport anharmonique de quatre quelconques de ces cinq points demeure constant (*).

La proposition précédente est la généralisation d'un théorème important, relatif aux normales des quadriques qui sont divisées, comme on sait, par les plans principaux dé la surface et par leur pied en segments conservant des rapports invariables. Nous allons compléter cette analogie en cherchant, dans le cas des cyclides, le lieu des points qui forment sur chaque normale, avec trois quelconques des six précédents , un rapport anhiarmonique conslant. Cela revient à chercher le lieu des centres des sphères tangentes, correspondantes a une même valeur de / . Nous dirons que toutes ces sphères

(') Voir u« Mémoire de l'auteur, Annales de l'Ecuk Normale supérieure, t. I, 2« série.

iJ82 sua UNE CLASbK REMAKQUABLt

sont des sphères bm^enies de ntéme rapport anharmonique . Elles se représenteront dans les Notes suivantes. Leurs coordonnées

satii-foat évidennuent aux deux équatioris

Si Ton désigne les coordonnées de leur centre para?,, on auiu, en veilu de la formule io^^) de la Note précédente,

lUi — Jti -4- - '

et il faudra, pour obtenir le lieu des centres, éliminer K entre les deux équa'ions

Posons

Là ki-\-\ j ^0)=^(>. + A,)(>. + A,

fW

^^^l-êr.

les équations (^2) pourront être remplacées par le système suivant

et, en éliminant K , on aura

(,,f-^f f = (v/-/-v')(/--y-«fr) ,

DK COURBES ET DE SURFACES ALGKBKIÛUES. 283

OU encore

Cette équation est du k^ ordre par rapport aux quantités Xi ; mais, comme elle ne dépend en réalité que des dilTérences

Xi Xj __ S,- — Sj

R, "" Ri ~ ""rTrT ' la surface qu'elle l'eprésente sera en général du 4® ordre. Elle aura d'ailleurs, d'après l'équation (M), une conique double, représentétî par les équations

<r f -^ et enfin, d'après l'identité

elle se réduira, pour À= — A^, à une quadrique double. En effet /"' — 9 'I deviendra nul, et l'équation (25) prendra la forme

Cette quadrique est une des déférentes de la cyclide.

Nous retrouverons la surface précédente dans la discussion du pi'oblème des normales.

Nous venons de considérer des sphères tangentes, et de définir ce que nous appelons les sphères de même rapport anharmonique. Nous sommes ainsi amenés à étudier tous les plans tangents de même rapport anharmonique, c'est-à-dire correspondants à une même valeur de >. .

Soient nii les coordonnées de ces plans tangents; elles

284 su II UISK CLASSE HKMAHQLABLE

satisferont aux deux équations <26) >-— i--.0, >

où À reste constant; et conime, dans le système actuel de coordonnées appliqué au plan, les m^ sont simplement des coordonnées tangentielles ordinaires (Note X), nous voyons que

Les plans tangents de même rapport anharmonique enveloppent une déveUifpable de 4^ classe; circonscrite aux deux quadriques (itï).

Nous allons compléter ce théorème en prouvant que les points de contact de ces plans tangents, correspondants à une même valeur de X , sont sur une courbe sphérique de la cyclide; que, si l'on fait varier X, les différentes tourp^s ainsi obtenues sont sur des sphères concentriques; et, enfin, que ces sections sphériques sont les seules suivant lesquelles une quadrique puisse être inscrite à la cyclide.

Soit, en effet.

l'équation d'une sphère tangente, de rapport anharmonique X.

Pour qu'elle se réduise à un plan, il faut que Ton ait

c'est-à-dire que le point de contact soit sur la sphère représentée par réquation précédente. Ainsi, le lieu des points de contact des plans correspondants à une même valeur de a est bien une courbe sphérique.

Si, dans l'équation (27), on fait varier X, on obtient une séria de sphères concentriques. Il reste à démontrer que les sections de- la cyclide par ces sphères sont les seules courbes suivant lesquelles une quadrique puisse être inscrite à la cyclide/

Soit, en effet,

b= 7 m, Xi

UF. COtIRBES FT {>K SURFACKS AÎ.SÉBP.JOLES. i8o

une sphère sécante quelconque, et posons

Pour tous ies points d'intersection de (S) et de Ja cyclide, on peut remplacer la fonction du second degré a;, par la suivante,