SUR INK tl.ASSE hKMAHiiUABI.K

On obtient alors et réquàtion (29) se réiiuit à la suivante,

qui montre que la quadrique est inscritt; m la cyelide proposée.

L'hypothèse B — 0 , qui met les raisonnements en défaut, correspond aux cyclides du 3*^ ordre, qui n'admettent pas de quadriquês inscrites.

Ainsi Iss plans tangents de même rapport an-harmonique formeront une suite de déi^eloppables de 4^ classe, circonscrites à la cyclide sukaifii'êes courbes sipiiériques du 4" ordre. Les tangentes doubles de ces développables seront les seules droites par lesquelles on pourra Wiener à la cyclide deux plans tangents distincts, de même rapport anhannonique.

ut; CDL'RBF.S HT UF, SURFACES Al.GI-DniOlKS. 287

i^«5e XII

Sur le problème des normales aux cyclides,

Supposons que l'on se propose de mener d'un point des normales a une surface algébrique. Le problème, de quelque manière qu'rin le traite, s** ramène eiî définitive à h résolution d'une équation algébrique, contenant une seule inconnue w . Le de^TC de cette équation donne le nombre des normales qu'on peut mener d'un point à une surface algébrique. Mais la discussion du problème est plus ou moins simple, suivant l'arbitraire qu'on a choisie.

Supposons qu'on se propose do chercher les points de l'espace pour lesquels deux normales menées à la surface se confondent. Si Ton exprime que l'équation en u a une racine double, on obtiendra un lieu géométrique, plus général que celui que l'on demande, et qui est la surface des centres de courbure.

Choisissons pour inconnue, par exemple, le carré de la distance du point d'où l'on mène des normales, au pied de chaque normaie, 11 est clair que, si l'on prend un point A sui le lieu des centres des sphères doublement tangentes à la surface, il y aura une sphère ayant son centrr en A et tangente en deux ponil> ^' , a' à la surface. Les droites Au , Aa' seront deux normales menées du point A , et correspondantes à une même valeur de n . L équation en w aura donc une racine double, sans que les deux normales menées du point A et correspondantes à cette racine double soient confondues.

Il en sera de même si Ton prend toute autre inconnue, l'abscisse, par exemple, du pied de la normale; car, si le

288 suit LiNU CI.ASSK UËJIARUliABLf-

poinf, A se trouve but la surface, lieu des points d'où Ton peut mener deux iiorraales dont les pieds aient même abscisse, il est clair qu'on aura pour T abscisse une racine double à laquelle correspondront deux normales dijfférentes.

On voit donc que, de quelque manière qu'on aborde le problème, il sera bien diffîcilf de ne pas avoir à examiner et ii rejeter des solutions étrangères, dépendant uniquement du choix de Tinconnue et variant avec elle. On peut ajouter que ia Blême normale peut correspondre à deux valeurs distinctes de Tinconnue. C'est ce qui explique les grandes difficultés qu'offre l'étude du problème des normales. Ces difficultés ont iHé surmontées d'une manière complète dans le beau Mémoire de M. Clebsch relatif aux surfaces quadriques.

Le problème des normales aux cyclides est beaucoup plus compliqué que le problème analogue relatif aux surfaces du second ordre. Il est d'ailleurs d'une moindre importance; aussi mecontènterai-jed'en indiquer la solution, sans examiner tous les cas particuliers.

On a déjà vu (art. 60) que la cyclide a trente normales doubles, qui sont les normales abaissées des centres des cinq sphères directrices sur les déférentes correspondantes.

On a vu aussi, dans la Note précédente, que d'un point on peut mener douze normales à la cyclide. Voici comment on peut former l'équation dont dépendent ces douze normales.

Soit (4) ^im,) = Ù

ia condition de contact déjà trouvée entre une splière et la cyclide. Si les coordonnées du centre sont a;,-, on aura

(2) mi = lXi + ~^

et, en portant ces valeurs dans l'équation (1), l'équation en -

fera connaître les différentes sphères ayant pour centre le

point (Xi) , et tangentes à la cyclide, c'est-à-dire les normales menées du point (a?,) . Mais il est préférable de suivre la méthode suivante.

Nous avons vu, dans la Note précédente, que la condition de contact s'obtient en éliminant X entre deux équations

Cela posé, soient deux sphères données (m.) , (w',) , et cherchons combien on peut faire passer par leur intersection de sphères tangentes à la cyclide. Il suffira ensuite de supposer concentriques les deux sphères données pour obtenir la solu tion de notre problème particulier.

Toute sphère passant par l'intersection des deux proposées a pour coordonnées m, + A;m',, et Ton aura, pour déterminer A; et À, les deux équations

Posons

(Vj = (; + A j (X 4- A,) ... (). + A j ,

les équations (5) et (6) seront équivalentes aux suivantes,

La première de ces équations est du 4® degré en À , la seconde est là dérivée de la première par rapport à X.

Notre première méthode pour la recherche des normales revient à l'élimination de X entre ces deux équations, élimination qui se fait en exprimant que l'équation (8) en À a une racine double; mais nous aurons avantage à éliminer /. nu lieu de X. On est ainsi conduit à l'équation finale

(10) («pf-'ff')' = 4(fr-r?')(/"f-^/''),

qui est du douzième ordre en X , et qui peut être mise, comme on sait, sous la forme équivalente

II y a quelques remarques à présenter sur cette équation. On a d'abord identiquement

et, si Ton introduit le polynôme du troisième degré suivant

l'identité (12) peut s'écrire

(13) /*-y^zr.n(>)F(/),

et l'on déduit de là, en prenant les dérivées des deux membres,

On peut donc donner à l'équation (M) en a la forme nouveHe

(14) (d F' + n'F)' = 4oF (f^— '/-y ) .

Nous avons ainsi deux formes distinctes et également importantes de notre équation en X. On voit que cette équation est du 8® ordre par rapport aux quantités m,- , w, ,, et il est clair que, si on la développait, elle ne dépendrait que des binômes niim' — m^m'i. Elle est donc à la fois homogène et

du 4« ordre, soit par rapport aux m, , soit par rapport aux w',. Nous allons chercher dans quel cas elle peut avoir une racine double.

Son discriminant, que nous appellerons A et qui est du 22® ordre par rapport aux coefficients, devra donc être du 88*^ ordre, soit par rapport aux w^, soit par rapport aux m\ . Nous allons chercher les facteurs de ce discriminant, et déterminer leurs degrés de multiplicité.

Si Ton désigne, pour abréger, par

le premier membre de Téquation (8), notre équation en À est le résultat de l'élimination de k enfre les deux suivantes

Considérons les deux valeurs k^ et k^ de k, tirées de la seconde équation, comme des fonctions de X déterminées par cette équation^ et portons-les dans la première. Le résultat de l'élimination de k prend ainsi la forme

(15) *(•>.. A-„)*(>, iV) = û.

Four qu'il y ait une racine double de l'équation en À, il faut que la dérivée du premier membre de l'équation (15) par rapport à À soit liiiile, ce qui donne

(16) * (X , k\) rf* (), ,k,]-hi> (a , k,) 0* (). , k,) = 0 .

Mais un des deux facteurs du premier membre de l'équation (15) est nul. On a, par exemple,

L'équation (16) se réduit alors à

et, en tenant compte de l'équation

292 SCn LNP. CLASSE F.EMÂaCjL'Aiti.K

qui définit A-, comme fonction de À, il reste

On est ainsi conduit aux trois hypothèses suivantes :

c'est-à-dire, les deux équations (8) et (9) en k doivent avoir deux racines communes ou la seconde une racine double k^ = k^ . Cette seconde supposition doit être rejetée, car elle

rendrait infinie la dérivée -r-° , et l'examen de la première nous d.>. ^

conduit au résultat suivant :

Le discriminant cherché A contient un premier fadeur, qui est le résultat de l'élimination de a entre le? trois équations

Ur-fv = ^.

Désignons par M ce premier facteur. Pour l'obtenir, multiplions chacune des équations (18) successivement par 1 , a , À' ; nous obtiendrons ainsi 9 équations du 8^ ordre au plus en À. En éliminant X par la méthode dialytiquu, nous aurons une résultante M du 18^ ordre soit par rapport aux m,, soit par rapport aux m',-, et du 30- ordre par rapport à ces deux séries de variables prises sim.ultanément. Cette ré^5ultante M figure dans le discriminant cherché a , élevée ;u carré. (Nous indiquons plus loin la méthode générale au moyen de laquelle nous avons déterminé les puissances auxquelles doivent être élevés les différents facteurs de A.;

*2° L'équation (17) sera aussi vérifiée dans l'hypothèse suivante :

c'est-à-dire si l'équation (8) en k a une racine double. Cela donne

OU, d'après les notations (13),

L'équation (l^) se réduit alors à

Le discriminant A doit donc contenir comme facteur le discriminant do nrF, ce qu'il est d' ailleurs facile de reconnaître d'après la forme de réquatioîï (14;.

Or, le discriminant de ctF ?e compose de trois pasties : le discriminant de o, qui est une constante; celui de F, que nous appellerons 2, et Va résultante élevée au carré de vj et de F.

F étant une fonction du 3® degré en X, son discriminant 2 sera du 8® ordre par rapport aux m,-.

Quant h la résultante de ny et de F, elle se compose des cinq facteurs Q, , qu'on obtient en portant dans F les racines de CT ,À=: — A,. On a

^'~li A,- A,

â® Enfin, le discriminant de l'équation en X contient un dernier facteur, correspondant à Thypothèse suivante, déduite de l'équation (17),

âk

La dernière de ces équations peut être remplacée, en tirant j^

de réquation

par

Donc, notre dernier facteur correspond au cas où Téqua-

294r SLR LNE CLASSE REMAROU ^BLTi:

tion (8) en À a une racine triplf, c'est-à-dire où la sphère correspondante a un contacl stationnaire avec la surface. En appelant G ce dernier facteur, le discriminant cherché sera

18) M*GQ.'Q,'Q,^Q,'Q,^v.:.A.

Il nous reste à déterminer le degré de G et aussi à indiquer comment on détermine l'exposant de chacun des facteurs du discriminant A. Commençons par G.

Exprimons que l'équation

a une racine triple. Comme elle est du 4« degré en a, on aura les conditions cherchées en égalant à zéro les deux invariants I . J , ce qui donne

équations du 4* et du 6« degré respectivement par rapport aux nii.

Cela posé, pour avoir G , on remplacera dans ces équations nii par nit + k m'i . On obtiendra deux équations en k , l'une du 4^, Fautre du 6® degré, entre lesquelles il faudra éliminer k . Les coefficients étant homogènes par rapport aux m, , m', , et des degrés 4 et 6, G sera de l'ordre

par rapport à ces mêmes quantités. Il sera donc seulement de Tordre 24 par rapport à chacune des séries de variables , par rapport aux w< par exemple; car, de même que A et tous les facteurs de A, G par la nature môme de la question dépend uniquement des binômes w, m'j — m, w', .

En réunissant tous les résultats trouvés, on voit bien que le discriminant (18) est, comme cela doit être, du 88* ordre par rapport aux m. . Nous allons maintenant indiquer comment nous avons déterminé les degrés de multiplicité de ses diflercnts facteurs.

A cet effet, nous exposerons d'abord une méthode générale qui permet de traiter, dans bien des cas, des questions de la nature de celle que nous avons à examiner ici.

Étant donnée l'équation

on sait que le discriminant de cette équation est, à un facteur numérique près, égal à

les Xi désignant les racines de l'équation proposée. D'après cela, toutes les fois qu un certain nombre de coefficients

(deux au moins) s'annuleront, l'équation aura une racine nulle multiple, et le discriminant s'annulera. Supposons, par exemple, que

fl„ , a„i , a„, 5 «„» j . . .

contiennent en facteur des puissances