PREFACE
L'ouvrage que je publie aujourd'hui se compose de deuK parties distinctes.
Le texte constitue seulement une nouvelle rédaction d'un Mémoire présenté en 1869 (^) à rAcadémie des Sciences, Mémoire dont l'impression a été retardée par bien des circonstances sur lesquelles il est inutile d'insister.
Les Notes contiennent l'examen détaillé de quelques questions qui s'étaient présentées dans mes recherches primitives, et que je n'avais pu traiter avec le développement qu'elles me paraissaient mériter.
Le but principal de l'ensemble de ce travail est l'étude d'une classe remarquable de surfaces du quatrième ordre, que je propose d'appeler cyclides, et qui admettent une conique double spéciale, le cercle de l'infini. Ces surfaces peuvent se décomposer en un plan, le pian de l'infini, et en une surface du troisième ordre, qui contient le cercle de l'infini. Elles donnent donc, par une transformation homographique, la surface la plus générale du quatrième ordre
{•] Voir t'extrait du Mémoire, Comptes Rendus, t. LXVIII, p. iZlï, sénnce éii 7 juin J869.
X l'RÉPACt;.
à conique double, et la surface générale du troisième ordre. J'ai dû joindre à leur élude, pour la rendre à la fois plus nette et plus complète, celle des courbes cjui jouent le même rôle (ju'elles dans la géométrie à deux dimensions. Ces courbe?, que j'appelle cycliques, sont soit les courbes planes du quatrième ordre ayant pour poinls doubles les deux points à Tintini sur le cercle, soit les courbes sphériques qui résultent de l'inteisection do la sphère avec une surface du second degré. Ouelques propriétés relatives aux imaginaïj'es se présentaient natui-ellement dans l'étude que j'avais entreprise; il m'a paru qu'il y aurait avantage à les développer avec la généralité quelles comportent. Ces explications jusiilierontj je l'espère, la composition et le plan de mon travail.
La première Partie est consacrée à l'étude de la transformation par rayons vecteurs réciprocjues, des foyers et des locales. Depuis I8G9, bien des recherclies importantes ont été ou mieux, connues ou publiées sur les différentes méthodes de tratjstormation. J'ai cru devoir conserver néanmoins les développements que j'avais présentés sur ce sujet, parce qu'ils sont élémentaires, et aussi parce qu'ils «e rapportent à la plus intéressante de toutes les transformations considérées jusqu'à présent. J'ai ajouté à cette Partie, au moment de l'impression, l'indication d'un moyen nouveau et très simple (le former ré({uation différentielle des surfaces applicables s\u' une surface donnée. Les théories relatives aux imaginaires exphquent netlement, ce qui n'avait pas été fait jusqu'ici, les solutions singulières de l'équation aux dérivées partielles à laquelle on est conduit.
La deuxième Partie contient une élude détaillée des cyclides planes et sphériques. J y examine les propriétés générales, la classitication des différentes espèces de cycliques, et les propriétés métriques focales, qui sont la
