TOP RE OO EE OO

FLAMANT

On a alors

ho nr Le h) | 4@ds+e@h, D] A4@de pour Er LE bo 1h +, D Le à) | AG@de +8 1) | 44e 0 ho

20, Dfx — f4œ4%) ZeC, 2) [4er

Si h est assez voisin de h, pour que le facteur entre crochets soit positif, 4 (h,, h} sera négatif ou nul. Soient h, h,, ..., h,, ... une suite de nombres positifs croissants

définis par les conditions:

“br ‘h, #hy J AO | amd... = | AG. =0<r:

0 LE br

ces nombres croissent indéfiniment, car s'ils tendaient vers une limite l'intégrale de A(r) deviendrait infinie pour cette limite, ce qui est impossible. L'extension précédente pourra. être faite dans les intervalles successifs (0h) (hS Eh) RS CURE ERRS et par suite D(r) est bien négative ou nulle pour toute valeur de 7. €. Q. F. D.

7. Considérons maintenant le cas où 4(x) et b(x) sont régulières à l’origine, et admettent des points singuliers à distance finie. Un point singulier x, de l’une de ces fonctions sera, en général, pour les solutions f(x) définies par leur valeur à l’origine, un point singulier, et même un point critique autour duquel s’échangeront différentes branches de la fonction (ce fait se présente déjà pour une équation différentielle ordinaire). De plus, Pexamen de l’équation (1) montre qu’il en sera de même pour tous

: x les points. 5x, 5x, ..:! «xs, 24. Enteffet, le'second\/membre, contenant f( +.) ç

nm De AE ARR A RE :

aura une singularité pour 7e c’est-à-dire x — 6x,; le premier membre f(x)

aura la même singularité, ce qui entraine la singularité de f(x).

L'existence d’un point singulier de a(x) ou de b(x), même lorsque ces fonctions sont uniformes dans tout le plan, fait que les solutions seront multiformes. Il y aura d’abord lieu de déterminer la nature du point singulier, c’est-à-dire l’allure de la fonction lorsque la variable tend vers le point singulier, et la modification qu’elle subit lorsque la variable tourne autour du point singulier. Mais en outre, la fonction étant définie par l'équation (1), une nouvelle question se pose, trouver la signification précise de cette phrase: la fonction multiforme f(x) satisfait à l'équation (1). Etant donnée la dérivée d'une des branches de la fonction au point x, l’équation (1) n’est vérifiée que si l’on

LA : £ met au second membre la valeur au point — d’une branche bien déterminée de la G

fonction. Par quel chemin faut-il prolonger de x à . la branche dont la dérivée fi-

gure au premier membre pour obtenir la branche qui doit figurer au second membre? La réponse à cette dernière question est d’ailleurs facile. L’équation (1) est vérifiée par les valeurs f’(o) et f(o) de l'élément défini primitivement autour de l’origine. Elle sera toujours vérifiée si l’on prolonge par le même chemin C les deux membres f(x)

et (=) + b(x); prolonger ce second membre le long de: C revient à prendre

F , , fans) , C , en — la branche issue de l’élément primitif par prolongement suivant ——. On voit (°] G

aussi que si a(x) et b(x) étaient multiformes, ce sont les valeurs résultant du prolongement le long C des éléments initiaux qui devraient figurer au second membre.

8. Considérons la famille des solutions de l’équation (1) définies par la valeur initiale c, considérée comme paramètre arbitraire. Ces solutions sont données par la formule FC) = 6,80) + F0) où f,(x) est la solution particulière correspondant à la valeur initiale o, et p(x) la so-

lution particulière de l'équation homogène

G) AOPCOL ES correspondant à la valeur initiale 1.

Les deux fonctions f(x) et w(x) dépendent de a(x), tandis que f(x) seule dépend de b(x). La relation entre f(x) et b(x) est d’ailleurs une transmutation linéaire, de telle sorte que si b(x) est une somme de deux fonctions b,(x) et b,(x), f(x) est aussi la somme des solutions analogues correspondant respectivement à b (x) et b,(x). De ce fait, l'influence des singularités de b(x) sur les solutions semble plus facile à étudier que celle des singularités de 4(x). Cette idée est corroborée par lobservation suivante: un pôle de 4(x) n’entraine pas toujours une singularité pour la fonction p(x); en effet, 9(x) étant une fonction entière admettant des zéros, si l’on pose

LA a(x) — £ o ; #2) cette fonction a des pôles (les zéros du dénominateur), et il est évident que Jes solutions de l’équation (19) correspondante sont les fonctions entières C(x).

IT. Infiuence des pôles de b(x) sur les solutions obtenues. 9. Supposons que 4(x) soit holomorphe et b(x) méromorphe dans un domaine D

analogue à celui défini au n° 1. Dans ce domaine, b(x) peut être décomposée en une somme d’une fonction holomorphe et d’un certain nombre d’éléments simples (au sens

de la théorie des fractions rationnelles); d’après la remarque faite au n° précédent, la solution f(x) de l'équation considérée est la somme de celles des équations obtenues en remplaçant b(x) par chacune de ses parties. La partie holomorphe de b(x) donnera une solution holomorphe. Il suffit donc d’étudier la nature des solutions obtenues lorsque b(x) est un élément simple.

Premier Cas EST