Pôle simple. Prenons d’abord l’équation

(20) LG) =af(=) +

Nous pouvons modifier un peu le domaine D pour que, dans le domaine D" obtenu, les hypothèses faites au n° 1 soient réalisées. Il faut d’abord exclure l’intérieur S b d’un petit cercle y de centre x, pour que la fonction nm Qi holomorphe dans le Lo) domaine restant. Il faut aussi exclure les points intérieurs aux cercles ÿ5, ÿ5°, …, qui se

trouvent dans D, de façon qui le domaine restant D’ contienne son transformé —. [03 Enfin pour qu’il soit à connexion simple, il faut effectuer une coupure suivant une ligne

1 joignant les points x, et 6x, et les lignes Jo, 10°, ... *Ÿ). Nous nous occuperons seulement de la solution s’annulant avec x, c’est-à-dire de celle qui vérifie l’équation

@1) se = f [ecor(+) + ex

Le théorème d’existence établi dans la section I s’applique à l'équation (21) dans le domaine D'; la fonction f(x) est donc holomorphe dans ce domaine. L’équation (21} peut s’écrire sous la forme

C2) 16 = [ a@A<)dx +5 8 (1 -Æ),

o la détermination du logarithme étant celle qui s’annule à lorigine. La fonction f(x)

étant régulière en > On voit que si l’on fait tendre x vers x, (en supposant le rayon

de y de plus en plus petit), ou si l’on fait franchir par x la coupure !, l'intégrale sera régulière et uniforme; la fonction f(x) a donc en x, la même singularité que

à ee ; : À 3) Ceci n’est qu’un exemple simple d’une coupure rendant le domaine simplement connexe; on pourrait varier beaucoup son tracé,

X à A DR blog (: — =). En raisonnant de la même manière, on verrait aisément qu’en chacun o