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Généralités sur les solutions obtenues.

6. Lorsque a(x) et b(x) sont des fonctions entières, les solutions sont des fonctions entières, le théorème d’existence étant applicable dans un cercle de centre O et de rayon arbitraire. Soient A(r), B(r) et F(r) les modules maxima des fonctions 4(x), b(x) et FC) Sur Mer Ce Enr.

En intégrant suivant le rayon vecteur, on déduit de l’équation (2):

G5) FO + f [4OF(E) +30 ]é

*?) Ce qui précède est l'extension aux équations différentielles fon:tionnelles de l’étude faite dans ma note Sur les systèmes d'équations différentièlles linéaires en nombre infini [Bulletin des Sciences Mathématiques; 2° série, tome XLV (1921); 1° partie, p. 81-87].

Il est vraisemblable que, par suite, la fonction F(r) est inférieure ou égale à la solution de léquation

(6) MG= + f[ [4OM(E)+280@]4.

Y di

En retranchant membre à membre (16) de (15), on voit que la fonction

D(r) = F(r) — Mr) satisfait à

(17) DOPAEIOLIES IE

Nous allons démontrer rigoureusement que cette fonction est négative ou nulle. Soit p.(x, f) la borne supérieure de ®(r) (en valeur qualifiée) dans l'intervalle

(zx, &). Supposons d’abord r inférieur à h; reste alors dans l'intervalle (o, +)

Z la fonction A(r) étant positive, on augmente le valeur de l’intégrale en remplaçant (+) par sa borne supérieure # ( +).

Donc:

h dé DOPATC +) | AG)d: pour r Zh

et par suite

«) TODPAICES NEC

Comme, d’autre part, (° +) est au plus égal à (0, h) on a aussi

#. (0, n|: a [ao] Z 0:

On peut choisir h assez petit pour que le facteur entre crochets soit positif; on en conclut que (0, h) est négatif ou nul pour h assez petit.

Lorsque Z est plus grand que 1, l’application réitérée de l'inégalité (18) permet d'étendre la conclusion à un intervalle aussi grand qu’on veut.

Dans le cas où È — 1, soit h, une valeur pour laquelle on a déjà démontré liné-

galité m(o, h) Zo.

Ecrivons l’inégalité (17) sous la forme