ARS

des points ox, la partie irrégulière de f(x) est de la forme +.(x) log (: —.) = o

®,(x) étant une fonction holomorphe dans D.

11. Supposons que, dans l’équation (20), 4(x) soit une fonction entière. On peut alors prendre pour domaine D l’intérieur d’un cercle de rayon arbitrairement grand.

On en conclut que f(x) n’a comme singularités à distance finie que les points criti- 4 2 A A USE, ques logarithmiques x, &x,, ... 6"x,,

On peut essayer de la représenter par un développement du type

| 16) = 80) + 2,09 log (: —+) + (x) log (: ne

SX, (23) 5 - + p,Cx) log (: ee. }+-.

5 Xe (x), p,(x), o,(x), ..., p,.(x), ..., étant des fonctions entières. Cherchons à déterminer pour l’équation (20) une solution formelle du type (23) où, pour commencer, nous supposerons seulement o(x), o (x), p. (x), ...,® (x), ...

uniformes dans tout le plan. Pour le faire, nous utiliserons la remarque suivante: les fonctions (x) et v(x) étant supposées uniformes autour de x,, tandis que la fonction 1(x) admet ce point pour point critique, une identité de la forme

u(x) + v(x)t(x) = 0 ne peut avoir lieu que si #(x) et v(x) sont identiquement nulles (sinon, 4(x) s’expri-

merait par le quotient de deux fonctions uniformes). Par suite, U(x) et (x) étant aussi uniformes, une identité de la forme

TOM IONO EP UOE MAO)

n’est possible que si l’on a à la fois 12) = Une tv (x) = F7 C0)

; x , Exprimons alors f ( +) et f(x) en groupant les parties uniformes et les termes

logarithmiques :

= ( D (9 (ef

OO Re an

X—6X, X—6" Xe

(24) ee og (1— À Ÿ+7 (x) Het +8 (los (1)

et par suite le second membre de (20) devient:

(Et (5) OPEL te

Dans un cercle de centre O et contenant le point x, sans contenir 5x,, et les

x | suivants, la seule fonction multiforme est log (: — &); pour que les expressions (24) o

% ; et (25) soient identiques, il faut et il suffit que les coefficients de log (: — À) soient O /

égaux dans les deux membres, ainsi que la somme des termes restants. En considérant cette somime dans un cercle contenant 6x, et aucun autre point critique, on verra que

les coefficients de log (: — =) doivent être les mêmes, et ainsi de suite. Les coeffi-

cients de chaque logarithme et les parties uniformes doivent être égaux chacun à chacun dans (24) et (25), d’où L ! X ! X F0) = 0, p.69) = (9e), 66) = 20e, (Æ), … C6) | Ù rat A 22 v, (x) = a(x),, (= LRSNT

en vo RE + RER. RO La (+

Les équations (26) déterminent successivement ® (x), ® (x), ...,®,(x),..., par quadratures, c’est-à-dire en introduisant pour chacune une nouvelle constante arbitraire ; p,(x) est une constante et p. (x), ..., ®. (x), ... sont des fonctions entières. Quant À

p(x), elle est déterminée par léquation (27), équation différentielle du type (1) dans laquelle

(x) = — ___ P(x) ae OU OMNE ere CONS

2 n X X —X, APR RO IN RÉEL ONE

Cette fonction b(x) étant holomorphe autour de l’origine, on pourra appliquer les résultats déjà obtenus en exigeant que p(x) tende vers une limite lorsque x tend vers o sur un chemin C. D'ailleurs, pour que le développement (23) représente, au voisinage de l'origine, en prenant les déterminations principales des logarithmes, la solution de l’équation (21) (à laquelle nous nous sommes restreints au début du n° 10), il faut et il suffit que #(x) tende vers o avec x. Dans ces conditions, o(x) est une fonction holomorphe tant que b(x) reste holomorphe, mais le pôle de b(x) le plus rapproché

de l'origine est un point critique logarithmique pour æ(x) (n° 10). Pour que o(x) soit uniforme, il faut que b(x) n'ait aucun pôle, ce qui détermine les constantes d’intégration des équations (26). On obtient ainsi:

RC) = D 8,002 [ aGDb.dx 6) = [late (ax, (28) NT

à % D'OPTRCO MEL

b(x) étant alors une fonction entière, p(x) est aussi une fonction entière. 12. La série (23) ainsi déterminée n’est pas convergente en général. Par exemple, dans le cas très simple où a(x) = 1, b — 1, les formules (28) donnent:

AIG NE

Dies à p, (x) —

D LE n Re 0) ET, 4e

P.CX) = 1, p, (x) =

Si l’on donne à x une valeur non nulle, pour # assez grand, x sera très petit par

rapport à 6"x,, et le terme o,(x)log (: — =.) de la série (23), sera de l’ordre de

(arme) 5 CAPE TIA

qui grandit indéfiniment avec #.

On peut modifier la méthode en remplaçant le développement (23) par

1)=r +8, C9 [log (1). Gale (+).

4 +8 Ge (ie) 2.0 +

n sx,

P (x), P.(x), ..., P,(x), ... désignant des polynômes. On a alors

OROMCUE EC) af) (0e + (On( 2) (Te

ou, en mettant en évidence, pour chaque point critique, la même fonction multiforme

que dans (29):

Les formules (24) et (25) sont alors remplacées par d’autres où les fonctions multiformes ont les mêmes coefficients; p (x), o,(x), ..., æ,(x), ... doivent encore satisfaire aux équations (26) et sont par suite des fonctions entières. Dans les parties

: b uniformes, les pôles ne peuvent provenir que de —— et des dérivées des loga-

rithmes, ce sont les mêmes que dans (27); et par suite, pour qu’ils disparaissent, il faut que les fonctions # (x), ..., o, (x), ... soient les mêmes que dans le développement purement formel (23). Ces fonctions étant ainsi indépendantes des polynômes, on peut choisir ces derniers de manière que la série (29) soit convergente.

Soient M, M, ... Mit. .,tMles thornes supérieures tdes modules tdenp (x) p,(x), ::., 9 (x), respectivement) dans’ les cercles de centre Oleridetrayons-R, RE «ue, RE. CM, MS MS MINI bornes supeneures des modules de

leurs dérivées dans les mêmes cercles.

Il existe des nombres positifs &, €, . €

tie, ,=..- telsique [ES Ytrois=sèries n

MAC five HP DU M2, on po 2 PCA me Res Mer ae MES Me, + Mie, + + Mie, + ee soient convergentes.

Considérons un cercle de centre O et de rayon R, et enlevons de ce cercle la bande balayée par un petit cercle dont le centre décrit les lignes 1, 16, 16°, ..., du n° 10; soit EÆ le domaine Ctoilé restant; tout point de E peut être joint à l'origine par un chemin de longueur inférieure à un nombre fixe À.

La fonction -—— est holomorphe dans E et peut donc y être représentée avec o

Papproximation & par un polynôme

are — 2) pe pour x dans E;

d’où l’on conclut, en intégrant de o à x:

log (: — +) — gi PAGE cours pour x dans E

x à En remplaçant x par > On voit que:

I I £a | € X — "x, a Pi or DS

log (: — À Aro

pour x dans F6"

En adoptant pour les formules (29) les polynômes

PG)= | p,@ix,

on aura, d’après les inégalités précédentes :

I < e, role

X— 6 log (: —

Le domaine E faisant partie du cercle de rayon R, Eco" fait partie du cercle de rayon RE”, et par suite,

p, (x) LM,

Dans un domaine EG" en considérant les termes à partir de celui qui a pour point . N . . . .

critique 5 x,, on voit que la série (29) est normalement convergente, ainsi que les

< pour x dans Ec” n x—5"x,

— P,(x) Xe,

CHCA RG pour x dans Ec”

Les x deux séries dans lesquelles on a décompost f En suivant la formule (30), et les

deux séries qui constituent f(x) lorsqu'on sépare la partie uniforme d’une part, et les termes ayant un point critique d’autre part. Dans ces conditions, les raisonnements faits au n° précédent s’appliquent ici en toute rigueur; par suite, la série (29) est convergente et représente bien la fonction cherchée, satisfaisant à l’équation (24). Il est bien clair que, si les fonctions »,(x) sont les mêmes, quel que soit le choix des polynômes P,(x), la fonction #(x) au contraire dépend de ce choix [en particulier, elle n’est pas la même que dans la solution formelle (23)].

Jusqu'ici, chaque logarithme désignait la branche s’annulant avec x; cette branche est d’ailleurs une fonction holomorphe dans le domaine où on considérait ce logarithme. Il suffit de donner aux logarithmes leur sens général pour que la série (29) représente la fonction f(x) dans tout son domaine d’existence. En effet, une branche quelconque de f(x) s’obtient en prolongeant l’élément primitivement considéré le long d’un chemin entourant de façon plus ou moins compliquée des points critiques pris dans la suite Xe Xp e 5X,, «3 toutefois, ce chemin doit rester à distance finie; par suite

FLAMANT

pour une. valeur assez grande de N, il est tout entier contenu dans le domaine Eo”. Le raisonnement fait à l’alinéa précédent prouve que le reste de la série (29) (à partir : d’un terme convenable) est une fonction holomorphe dans EG. En regardant f(x) comme la somme des termes précédents et du reste, on voit que la circulation effectuée par x n’a d'effet que sur un nombre fini de termes; cet effet est un changement de branche du logarithme correspondant. Il en résulte aussi que la détermination obtenue après cette circulation ne dépend que du nombre total de tours (comptés avec un signe correspondant à leur sens) faits par le chemin autour de chaque point critique, et non pas de l’ordre dans lequel ils se succèdent. Au point de vue du calcul, pour avoir une valeur quelconque de la fonction f(x), il faut prendre une détermination quelconque pour certains logarithmes en nombre fini (mais non borné supérieurement), et la détermination primitivement envisagée pour tous les logarithmes à partir d’un certain rang. Dans l’application du résultat précédent à une fonction b(x) ayant des pôles simples, si plusieurs de ces pôles appartiennent à la même suite de points x,,6x,,6°x ,..., il est clair qu’il y aura intérêt à les grouper pour déterminer d’un seul coup tous les termes logarithmiques qui en résultent. La valeur obtenue pour les constantes d’intégration serait seule changée.