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I I I Si 2 c( 5) G (Le (Een AAC 22 MANN EEE 2 (Xe a) ARE Re on déduit l'équation qui détermine F(x). En groupant dans le second membre les termes qui ont le même pôle, elle s’écrit

FG)= GPS) + Ge nee. Ge

Un produit du type u? G,(u) est un polynôme de degré g + 1 en #, sans terme constant ni terme en #. On peut donc déterminer les coefficients des polynômes par la condition que, dans chaque ligne, les termes de la dérivée détruisent les termes de même nature du produit suivant, de telle façon qu’il reste la somme d’une fonction entière et d’un élément simple du premier ordre. La fonction F(x) sera, comme la fonction g(x) du n° 13, représentable par une série (29). Si dans f(x), on réunit toute la partie uniforme, on aura une expression du même type mais dans laquelle o(x) sera une fonction entière augmentée des fractions rationnelles introduites par le changement d’inconnue (34), autrement dit p(x) sera une fonction uniforme dont les points singuliers à distance finie seront les pôles x,,6x,,...,06" *x d'ordres respectifs, # — 1, Minnie es 1

Les transformations subies par f(x) lorsque x se déplace dans le plan sont de même nature que dans le cas du pôle simple (la surface de RIEMANN à une infinité de feuillets serait la même). Tout ce qui a été dit à ce sujet à la fin du n° 12 subsiste sans aucun changement.

15. Il ne nous reste plus qu’à envisager l'allure de la fonction lorsque la variable tend vers l’un des points critiques 6?x,. Il suffit pour cela de regarder comment se comporte le terme T, ayant cfx, pour point critique, et éventuellement aussi p(x) (dans le cas où cette fonction a des pôles); car la série formée par les autres termes est convergente et a une valeur finie.

Etudions d’abord comment se comporte le facteur log (—5) — P,(x); P,(x)

étant un polynôme tend vers Ps), limite finie et indépendante du chemin sur lequel x se rapproche de 6?x,.

En posant x — x, + se° on a (en désignant par L le logarithme réel)

Ü) log I— 7 )=L8 LL +1 0—log(—5? x )— ee +10—log(—0o? x, ).

Le dernier terme est fixe; le premier croit indéfiniment; le second reste borné si le chemin sur lequel x tend vers ç/x, ne tourne pas indéfiniment autour de ce point; si 6?x, est point asymptote pour la courbe décrite par x, 10 peut croître indéfiniment, et même aussi rapidement qu’on veut pour un choix convenable du chemin. J’appellerai respectivement chemin ordinaire et chemin en spirale ces deux espèces de courbes "#).

14) On peut concevoir aussi des chemins très irréguliers sur lesquels LE 0—+0o, et lim 0 — nombre 2 rs

fini ou — « (ou inversement) Dans ces conditions le logarithme croît indéfiniment sans avoir un ordre déterminé. On verrait aisément que f(x) ou bien croitrait indéfiniment irrégulièrement, ou bien serait

indéterminée.

À ; En résumé, le facteur log (: r—) — P,(x) croît toujours indéfiniment, comme co x

L— sur un chemin ordinaire, et avec une rapidité arbitraire (au moins égale à la P

précédente) sur un chemin en spirale.

Cherchons l'allure de la solution f(x) d’une équation dans laquelle b(x) a un pôle unique et simple x,. ?,(x) est une constante b; si donc x tend vers x,, ce qui préecède s'applique au terme T,, et par suite aussi à f(x). Mais pour p X 1, ®,(x) est une fonction entière ayant 6/x, pour zéro [formules (28)]; donc elle tend vers o comme une puissance entière et positive de p; dans ces conditions, T, tend vers Oo sur un chemin ordinaire, mais peut avoir une limite finie non nulle, ou même croitre indéfiniment sur un chemin en spirale. Par conséquent, sur un chemin ordinaire f(x) a une limite finie indépendante de ce chemin, mais sur un chemin en spirale f(x) peut tendre vers une limite différente ou croitre indéfiniment.

Prenons maintenant la solution F(x) d’une équation où b(x) a plusieurs pôles simples parmi la suite x, cx,, ... (par exemple la fonction F(x) du n° 14, correspondant aux pôles simples x,, ox,, ..., 6x). Lorsqu'un point 5?x, est un pôle, la fonction o,(x) correspondant est égale à celle donnée par la formule (28) augmentée du résidu de #(x) au pôle considéré; pour le terme T, correspondant, les conclusions sont analogues à celles formulées pour T° à l’alinéa précèdent. Quand x tend vers Pun des pôles simples de b(x), l’allure de F(x) est celle indiquée pour f(x) quand x tend vers x,; et quand x tend vers un point 6x, qui n’est pas pôle de b(x), F(x) se comporte comme f(x) quand x tend vers 6x,, p > I.

Enfin, pour la solution f(x) de l’équation (33) [pôle multiple de b(x)], il suffit de tenir compte de l'allure de F(x) et de celle des groupes d'éléments simples G,(x), On est conduit à distinguer deux cas:

1° p Zn —1: f(x) croit toujours indéfiniment: sur un chemin ordinaire, comme I I x ; En (bp n—2) ou ee (b—n—1) sur un chemin en spirale, avec une rapidité

arbitraire, au moins égale à la précédente. 2° p D n: sur un chemin ordinaire f(x) tend vers une limite finie, indépendante

du chemin; sur un chemin en spirale, f(x) peut tendre vers une limite différente, ou croître indéfiniment.

Deuxième cas: © = 1.

16. Pôle simple. Reprenons l'équation (20) f’(x) — e : le. Rep quation (20) f(x) = aGD + Comme aux n° 9 et 10, nous supposons a(x) holomorphe dans un domaine D

contenant x, et satisfaisant aux conditions du n° 1 (dans le cas où & est une racine

de lunité, ce domaine est invariant par la multiplication ou la division par 5). La construction du domaine D' satisfaisant aux mêmes conditions et dans lequel b(x) sera aussi holomorphe va différer. légèrement de celle du n° 10. Excluons les points inté-

durs runupetit cereleny de centre + \etauxr cercles You, 20 "qui Sont

en nombre fini, et tous situés dans D (je suppose, bien entendu, que « est une ra-

cine k° primitive de l’unité de façon que les puissances 6, 5°, ..., 6" soient effecti- P Ç DATE )

vement distinctes). Enfin, effectuons k coupures suivant une ligne } joignant x, à la frontière du domaine, et les lignes Je, Pat. ot

La fonction f(x) étant holomorphe dans D', les seuls points singuliers possibles SC SOPEE N O ECEE TE

Par analogie avec le premier cas, on est conduit à chercher pour les solutions un développement

JG) = 86 +8,69 log (1 — À) +8,09 log (1 — À) + G5) ne taut ROOMS. ot)

du type (23), mais avec un nombre fini de termes. Une autre différence se présente dans la formule

=) +8 (re (2) + (5) (2)

lexistence d’un terme ayant x, pour point critique. En raisonnant comme au n° 11, on voit que les équations (26) et (27) sont remplacées par

2,6) = «(9 (+) eu TOPLOUES Ar G6) 5) = a(r. (+) g,(0°x,) = 0

#6) = 6e, (+) NÉE ee

CH 9.0) One G7) F4 O4 RO + Ra Late) +

Pour que la solution o(x) de (37) soit uniforme, il faut que les solutions de (36) satisfassent aux conditions écrites en regard de ces équations. Le système (36) est un cas particulier du système (11) de la section I; mais, pour utiliser le théorème d’exisrence établi en cet endroit, il faudrait montrer qu’on peut disposer des constantes représentant les valeurs à l’origine des k fonctions de manière à leur faire prendre les valeurs particulières données aux points assignés. Il est plus commode de poser