OR OC = ONG NON CRE ES SC

Les équations (36) et les valeurs particulières imposées aux fonctions se trans-

forment en

D) AO) DEEE) L (x) = b OS GC d Ce) 26 DC) = fast x) 4, (x) (x) = 0

joe er

LU Ge) = oi ta(o tx) 4, (x) Pre

système d'équations différentielles linéaires avec valeurs initiales de toutes les fonctions inconnues en un même point. On sait qu'il y a une solution unique, elle est constituée par des fonctions holomorphes dans le domaine D, où a(x) est elle-même holomorphe. Le théorème d’existences appliqué à léquation (37) montre que (x) est une fonction holomorphe dans le même domaine. Si a(x) est une fonction entière, ce sont des fonctions entières. Si au second membre de léquation (20), on ajoutait des éléments simples ayant pour pôles simples certains des points 6? x,, il suffirait de tenir compte de leurs résidus dans les valeurs initiales des fonctions ®,(x).

Au début du n° 12, nous avons calculé les fonctions @ (x), ®. (x), ..., de la formule (23) dans un cas très simple. Calculons-les maintenant pour l’équation

FO=f- a+ —,

où nous supposons en outre 6 — — 1, c’est-à-dire k — 2. il y aura deux fonctions définies par le système

LG)= CG) 4) PC) = — 4, (x) g, (x) = 0

qui a pour solution Y (x) = cos (x — x) PC) = — sin (x — x)

d’où les fonctions

(x) = cos (x — x,) n(GD—= sn(x+x)

La partie non uniforme de f(x) sera donc

cos (x — x) log (: — =) —+ sin (x + x, )log (: + =)

C’est d’ailleurs ce que l’on obtiendrait en portant dans le développement formel (23) les valeurs des p,(x) trouvées au début du n° 12, et en réduisant les termes où figure le même logarithme par suite de la valeur — 1 de 6.

Les relations entre les différentes branches de la fonction sont les mêmes que dans le premier cas, un peu simplifiées du fait que les points critiques sont en nombre fini.

17. Pôle multiple. Le changement de fonction inconnue (34) permet de ramener léquation (33) à une équation en F(x) dans laquelle b(x) a plusieurs pôles simples. Le calcul est exactement le même qu’au n° 14 lorsque l’ordre de multiplicité du pôle est assez petit (n 7 k).

Examinons le cas # => k. Ecrivons la formule (34) en rassemblant les termes qui ont le même pôle (5x, et x, par exemple)

Il y a un changement dans la formule

More) Cr

G Yo À ET 4e ES Nas, 0 X

x, figure parmi les pôles (tout comme il figurait parmi les points critiques au n° précédent). L’équation déterminant F(x) s'écrit par suite:

tea «GDF - )

I 6 ' G à (x — 5x Gi È 07 = A) Gus Ê La one =)

La réduction des éléments simples d’ordre supérieur au premier détermine bien

FLAMANT

sans ambiguïté et sans impossibilité les coefficients des polynômes G,. En effet, dans

: ‘ [0] la première ligne, a(x) 6, (——) n'apporte aucun terme en de degré o o supérieur à # — k; donc pour les k termes de degrés n, n — 1, ..., n—k+1, la réduction doit s’opérer uniquement entre ceux provenant de G', et ceux de b(x), ce qui détermine les & premiers coefficients de G, ,. La seconde ligne détermine de

la même manière les k premiers coefficients de G,,, etc. Lorsque la dernière ligne aura fourni les k premiers coefficients de G,,, on reviendra à la première d’où lon tirera la seconde tranche de k coefficients de G,., et ainsi de suite jusqu’à épuisement.

L’allure de la fonction quand x tend vers un point singulier est la même que dans le cas précédent; il faut toutefois observer que les points singuliers sont seulement au nombre de k; l’entier p du n° 15 ne peut avoir que les valeurs o, 1, …., k—1; le cas p NN n ne se présente plus dès que # N 4.

Troisième cas; È — 1, © n'étant pas racine de l'unité,

18. Pôle simple. Reprenons l'équation (20), en supposant comme dans les deux premiers cas (n”* 10 et 16) a(x) holomorphe dans un cercle D ayant l’origine pour. centre et un rayon supérieur à [x] “°). Le théorème d’existence ne peut s’appliquer que dans un cercle D’ concentrique et de rayon inférieur à |x.|. La solution est holomorphe dans un tel cercle. Par analogie avec les deux premiers cas, elle doit admettre Xe FX 5° Xos --. pour points singuliers; ces points forment un ensemble dense sur tout le cercle de rayon |x,|, qui doit par suite, être une coupure pour cette fonction. Nous voulons étudier comment elle se comporte quand x tend vers un point de ce cercle. Pour cela, nous allons la représenter par un développement (23). Les raisonnements faits au n° 11 établissaient, pour que la série (23) satisfasse formellement à ‘équation (20), dans le cas 2 >> r, les conditions nécessaires et suffisantes suivantes: d’abord

8) = 4, = | a(x)b.dx,

Oxo

p,(x) = face (=)}es, Le PE = Je a(9e, (+) dx AE

15) Il suffit d'interpréter les conditions du n° 1 dans le cas actuel. La division par G correspond géométriquement à une rotation d'amplitude incommensurable avec 2x. Un domaine D ne peut con-

: D ; 1) tenir son transformé 0 et par suite ge?" Ho: que s’il est formé de couronnes circulaires

de centre 0; pour qu’il soit simplement connexe, il faut que ce soit l’intérieur d’un cercle.

puis, ces fonctions une fois déterminées, p(x) devait satisfaire À l’équation (27) que nous écrirons sous la forme

(275) o'(x) = «Ge (+) 2 AAA 2e Res lee pes

Le raisonnement montrant la nécessité de ces conditions perd toute valeur dans le cas présent; mais il est Cvident que, au point de vue formel comme au n° 11, elles sont toujours sufhsantes. Nous allons voir d’ailleurs que leur valeur n’est pas purement formelle dans le cas actuel.

Tout «d’abord, les formules (28) montrent clairement que les o (x) sont holomorphes dans D, comme 4(x). Nous pouvons même limiter supérieurement leurs

modules conformément au tableau suivant. Posons: 4 — max (a(x)| dans D, B — lb RCALAB ROLE Amex] À (+)L.4n ex, ; ; | A|x—6°x,|) Ax—6x

Ge) (POILAB AE ROLE) (| CPE

(x (Alx—0x, |) à (AÏx— 5x, |) (Alx—5tx,|) ROLAND

(dans chaque ligne, on passe de la 1° inégalité à la 2% en prenant l’intégrale corresrésulte immédiatement de la 2% et

me

pondante de (28) le long d’une droite; la 3 de l5| == Dh

On aurait, en général, (AÏx — 5" x)

A 0e xl)

La dernière de ces inégalités permet de voir que la série du second membre de l'équation (27) est normalement convergente et représente une fonction holomorphe dans D. Soient en effet r, le module de x,, R et R' les rayons respectifs des circonférences limitant D et D' (R' <r, << R). Quel que soit x dans D, et quel que soit

l’entier #, on a

rca) |

RG) Z AB. ke, 1 Z 84

n X— GX,

LA c” CES A n | :

bp ox] C4 al LR,

d'où résulte immédiatement le fait annoncé; (x) est donc, comme les ?,(x), une fonction holomorphe dans D.

La convergence normale des séries figurant aux seconds membres de (23), (24) et (25) s’établirait d’une manière analogue, en utilisant les autres inégalités, et en

supposant x dans D’, de manière que les modules de tous les logarithmes admettent une même borne supérieure finie (il s’agit des déterminations s’annulant à l’origine).

Il est donc établi que la série (23) représente, dans tout le cercle D, une fonction holomorphe satisfaisant à l’èquation (20). D’après le théorème d’unicité (section I, n° 3) cette fonction coïncide avec la solution obtenue par approximations successives et prenant à l’origine la valeur @(x,).

Laissons maintenant varier x dans tout le cercle C, de rayon r,, y compris la circonférence. Les logarithmes n’admettent plus de borne supérieure finie maïs on a:

log (1 — é er

col

DIMM I ARTE

T tee à L’argument reste compris entre — et + qe puisqu'il s’agit de la détermi-

nation du logarithme qui s’annule avec x. D'autre part,

Res n Pr 10 Ke te donc

n Tr OU