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Le)

Lorsque ce logarithme est positif, il est donc borné supérieurement; c’est seulement lorsqu'il est négatif qu’il peut être très grand en valeur absolue mais alors

LT Cali fu É Ha her de On a donc dans tous les cas et par suite + A o8 (a sx, P, 21 SES LS Comme d’autre part nous avons trouvé 4e) DOPAine il en résulte que I A 4rCAp, ee ë

Re Nous mappliquerons pas cette formule à la valeur o de l'indice #; alors on augmente encore le membre de droite en remplaçant p, par sa borne supérieure 2r,, o

ce qui donne

< B( Si on met à part le terme correspondant à lindice o, la série (23) est donc

normalement convergente jusque sur le cercle C,, et elle y représente une fonction finie et continue. Quant au terme laissé de côté

blog (1 — . ):

à © - : I à il devient infini comme L-— quand x tend vers x,. La fonction f(x) a donc bien

nee

Ge (2)

. . %. na . 0 DA ® 2

x, pour point singulier. Il résulte immédiatement de l’équation que 6x,, 5°x,, ..., seront aussi points singuliers. La circonférence C, est donc bien une coupure naturelle comme on l'avait prévu, quoique f(x) y soit finie et continue sauf en x.

Si maintenant, nous avons une équation dans laquelle b(x) admet un certain nombre fini de pôles simples parmi les points x,, 5x, ..., certaines des formules (28) en nombre fini seront modifiées par l’addition de constantes d’intégration égales aux résidus. Toutes les fonctions correspondantes seront holomorphes et bornées dans D. Il sufhra de commencer le tableau analogue à (38) au rang à partir duquel toutes

les constantes d’intégration sont nulles; les inégalités seront par exemple du type

D de OP

étant un entier fixe, ce qui ne change rien aux raisonnements. Pour l’étude de f(x q ) q 8

jusque sur le cercle C,, on mettra à part les termes correspondant à tous les pôles ; la fonction devient infinie comme le logarithme quand x tend vers un de ces points; elle est continue partout ailleurs.

19. Pôle multiple. Comme au n° 14, l’équation (33) sera réduite par le changement de fonction inconnue (34) à une équation en F(x) où b(x) a plusieurs pôles simples. Comme dans le premier cas, la fonction (x) de la série (23) aura des pôles. Quand x tend vers un point c?x,, f(x) se comporte comme dans le premier cas, mais on ne doit envisager que des chemins ordinaires.

De plus, sauf aux points x,, 6x,,..., 6" ‘x, la fonction est continue jusque

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