IV
Indications sur d’autres singuiarités de b(x).
20. Lorsque la fonction b(x) de l'équation (1) présente un point critique logarithmique, la méthode précédente s'applique aussi, et les résultats sont presque les
mêmes.
Soit en effet l’équation
ROETOTEETOLIEEES
oO
c(x) étant une fonction holomorphe dans le même domaine que 4(x). Cherchons à | ; : à déterminer une solution formelle du type (23); la formule (24) n’est pas changée
tandis que (25) est remplacée par
oO (e)
+ a@a, (+ ) os (: SR . rer) ee (E }ee (: a . ) de
(eo)
Il en résulte que la première équation (26) et l’équation (27) sont remplacées
respectivement par
D'où les solutions
46e fo, 2602 face, 20e fa je
Oxo
au lieu de celles données par les formules (28).
En tenant compte de ces changements, l’étude faite dans la section précédente pour le pôle simple est applicable au cas du point critique logarithmique. On remarquera que ®,(x) est ici une fonction holomorphe qui s’annule en x,, et que par suite f(x) tend vers o lorsque x tend vers x, sur un chemin ordinaire.
Lorsque la fonction b(x) de l’équation (1) présente des point critiques algébriques, leur influence sur les solutions est beaucoup plus complexe. Il n’y a rien d’analogue à la décomposition en éléments simples signalée au n° 9, qui ramenait l’étude des pôles à celle d’un pôle unique. Si, par exemple, b(x) était une fonction algébrique, il faudrait ‘tenir compte de toutes ses singularités à la fois pour étudier leur répercussion sur la solution f(x). Quand a(x) est une fonction entière et que b(x) n’a pour point singulier à distance finie qu’un seul point critique algébrique x, (non situé à l’origine), l'équation peut être étudiée par une méthode analogue à celle de la section précédente, mais le résultat obtenu a beaucoup moins de portée.
Soit m l’ordre de multiplicité du point critique; b(x) considérée comme fonction
PTS , nt . . « . : c . .
de (x — x,)” est uniforme et ne peut avoir pour point singulier à distance finie que n
le pôle x,, elle peut être représentée sous la forme b(x) = (x — An x fonction
entière de (x — x)".
En groupant dans la fonction entière les termes dont les degrés sont congrus entre eux (mod m), b(x) sera la somme de ” fonctions entières de x— x, multipliées
respectivement par (x— x)", (x—x)"
2—n ; CR etc. Il suffit donc d’étudier le cas où bG)= (x —x)'e(x)
v étant un nombre fractionnaire et c(x) une fonction entière. La nature du nombre v n'intervenant presque jamais dans le raisonnement, nous supposerons que c’est un nombre quelconque (réel ou complexe), autre qu’un entier réel (dans ce dernier cas, la fonction b(x) serait uniforme).
Premier cas: 2 1.
